CHỦ ĐỀ ĐẠI SỐ :PHƯƠNG TRÌNH.BẤT PHƯƠNG TRÌNH-HỆ PHƯƠNG TRÌNH... b Tìm tất cả các giá trị của m để BPT có nghiệm.
Trang 1CHỦ ĐỀ ĐẠI SỐ :PHƯƠNG TRÌNH.
BẤT PHƯƠNG TRÌNH-HỆ PHƯƠNG TRÌNH.
CHÚ Ý : 1) Nếu f(x) có GTLN và GTNN trên K thì :
f f((x x))><m m,,∀∀x x∈∈K K ⇔⇔minmaxf f((x x))><m m
f(x) =m có nghiệm ∀x∈K ⇔ min f(x) ≤m≤ max f(x)
f(x) <m có nghiệm x K∈ ⇔ min f(x) <m
f(x) >m có nghiệm x K∈ ⇔ min f(x) <m
f f((x x))><m m,,vôvônghiêmnghiêm∀∀x x∈∈K K ⇔⇔minmaxf f((x x))≥≤m m
2) Nếu f(x) không tồn tại GTLN hoặc GTNN trên K ta sử dụng tương giao đồ thị:
Xét (C) : y = f(x) và đường thẳng d : y = m trên TXĐ K
f(x) <m, ∀x∈K ⇔ (C) nằm hoàn toàn phía dưới d.
) ( ,
)
f ≤ ∀ ∈ ⇔ không có điểm nằm phía trên d
⇔
∈
∀
>m x K x
f( ) , (C) nằm hoàn toàn phía trên d
⇔
∈
∀
≥m x K x
f( ) , (C) không có điểm nằm phía dưới d
m x
f( ) < có nghiệm x K∈ ⇔ ∃x∈K để có điểm M(x;f(x)) nằm phía dưới d
m x
f( ) > có nghiệm x K∈ ⇔ ∃x∈K để có điểm M(x;f(x)) nằm phía trên d
(Nếu hai trường hợp sau có dấu ≤ hoặc ≥ thì điểm M(x;f(x)) có thể nằm trên d
I )HỆ PHƯƠNG TRÌNH
BÀI 1: Giải hệ phương trình :
+ +
= +
−
=
−
2
3
y x y x
y x y
x
2
1
; 2
3 ) 1
; 1 ( (Khối B-2002)
HD: Dùng hai ẩn phụ u = x – y ≥0 ; v = x + y ≥0
BÀI 2: Giải hệ phương trình:
+
=
−
=
−
1 2
1 1
3
x y
y
y x
x
2
5 1
; 2
5 1
; 2
5 1
; 2
5 1 );
1
; 1 (
HD: (xy≠ 0) Xét hàm số f(t) = −1 ∀t ≠ 0
t
t có f ‘(t)>0 nên f(t) là hàm số đồng biến PT đầu xảy ra khi
x = y Thay y = x vào PT sau để giải tìm x, từ đó tìm y
BÀI 3: Giải hệ phương trình:
+
=
+
=
2 2 2 2
2 3
2 3
y
x x x
y y
(( 1 ; 1 )) (Khối B – 2003 )
Trang 2HD: + Từ ĐK (xy≠ 0)thì VP >0 nên x > 0 , y > 0.
+ Qui đồng được hệ đối xứng loại II
BÀI 4: Tìm m để hệ sau có nghiệm :
−
= +
= +
m y
y x x
y x
3 1
1
≤ ≤
4
1
0 m
HD: + Đặt ĐK x≥ 0 ;y ≥ 0 (Nhận xét là hệ đối xứn loại I)
+ (Do ĐK của x và y nên có thể
3
1 0
3
1 − ≥ ⇔ ≤
+ Đặt ẩn phụ đưa về hệ đa thức đối xứng loại I
BÀI 5: Giải hệ phương trình :
+ +
= +
−
=
−
2
) (7
2 2
3 3
y x y x
y x y
x
2
5 1
; 2
5 1
; 2
5 1
; 2
5 1 ) 1
; 2 ( );
2
; 1 (
BÀI 6: Giải hệ phương trình :
= +
−
= +
5 2
1 1 1
2 2
y x
y
x (( 2 ; − 1 ); ( − 1 ; 2 ))
HD: Dạng hệ đối xứng loại I
BÀI 7: Giải hệ phương trình :
= +
=
+ 35 8
15 2
3 3
2 2
y x
xy y
x
;2)
2
3 ( );
3
; 1 (
HD: Các vế tái hai PT có nhân tử (2x + y)
BÀI 8: Giải hệ phương trình :
−
=
−
−
=
−
2 3 2
2 3 2
2 2
2 2
y x y
x y
x
(( 1 ; 1 ); ( 2 ; 2 ))
HD: Hệ đối xứng loại II
BÀI 9: Cho hệ phương trình :
= + + + + + + +
= + + +
m x y
x y y x
y x
1 1
1 1
3 1
1
a/Giải hệ với m = 6 b/Tìm tất cả các giá trị của m để hệ có nghiệm
4
27 0
/ )
0
; 3 ( );
3
; 0 (
a
HD: (Dạng hệ đối xứng loại I) Biến đổi vế trái PT thứ hai về dạng tích, sau đó dùng ẩn phụ
Trang 3BÀI 10: Tìm a để hệ sau có nghiệm duy nhất :
= +
−
≤
−
+
0
2 2
2 2
a y x
x y
x
(a= − 1 − 6 ∨a= − 1 + 6)
HD: Có thể giải bằng phương pháp hình học : Định điều kiện để đường thẳng tiếp xúc với hình tròn
BÀI 11: Tìm a để hệ sau có nghiệm duy nhất :
≤ +
≥ + +
+
1
1 2
y x
m xy y
x
=−
2
1
m
BÀI 12: Cho hệ: ( )
= +
−
≤
− +
−
0
2 )1 (
m y x
y
x
(m= 0)
Xác định m để hệ nghiệm đúng ∀x∈[ ]0 ; 2
HD: Có thể giải bằng phương pháp hình học : Định điều kiện để đường thẳng có điểm chung với hình tròn
∀x∈[ ]0 ; 2
BÀI 13: Cho hệ:
=
− +
=
−
+
0
0
2 2
a ay x
x y
x
< <
3
4
0 a
Tìm a để hệ có 2 nghiệm phân biệt
HD: Có thể giải bằng phương pháp hình học : Định điều kiện để đường thẳng cắt đường tròn
BÀI 14: Cho hệ:
= +
=
+
4
2 2 2
y x
m y
x
(m ≥ 2 2)
Tìm m để hệ có nghiệm
BÀI 15: Giải hệ:
= +
= +
2
2
3 2
3 2
y x y
x
y x
(( 1 ; 1 ))
BÀI 16: Cho hệ:
+
=
−
=
−
26
12 2
2
m xy x
y xy
( m > -14)
Trang 4BÀI 17: a) Giải hệ:
−=
+
=
+
2 2
3 3 3
6
19 1
x xy
y
x y
x
−
3
1
; 3
; 2
1
b) Giải hệ :
= +
=
+
)2 ( 5 1
)1(
6
2 2 2
2 2
x y x
x xy
y
( )
;1 2
1
; 2
; 1
HD: Các hệ PT dạng khác (câu a) và b) tương tự).
HD: Câu b) + x =0 thì (2) vô nghiệm.
+ x ≠0 chia hai vế PT của hệ cho x2 ta được
=−
+
=
+
⇔
=+
=+
5 2 1
6 1
5 1
6
2 2
2
2 2
x
y y x
y xx y
y x
x
y x y
+ Đặt hai ẩn phụ thì được hệ đa thức
BÀI 18: Giải hệ:
=
−
−
−
= +
−
+
3 8 9 2 3
1 4 3 2 2
2 2
y x y x
y x y
x
−
−
−
+
−
2
13 3
; 4
; 2
13 3
; 0
; 2
13 3
; 0
; 2
13 3
HD: ( ) ( )
=−
=+
⇔
=+
−−
=+
+−
32 3
1 3
4 2
3
3
1 4
3
2 2
2 2
vu
vu y
y x
x
y yx
x
BÀI 19: Định m để hệ sau có nghiệm :
; 0
2 1
2
1
≥
=−
++
=−
++
m m x y
m y
x
(m≥ 3)
II ) PHƯƠNG TRÌNH:
Trang 5BÀI 20: Giải phương trình : 3x− 2 − x+ 7 = 1 (x= 9)
BÀI 21: Giải p/t:
2
3 1
2 1
x (x= 1 ∨x= 5 )
BÀI 22: Giải p/t : x+ 2 + 5 −x+ (x+ 2 )( 5 −x) = 4 = ±2
5 3 3
x
HD: PT có dạng a( f(x) ± g(x ) +b f(x).g(x) =c với f(x)+g(x) =const Đặt một ẩn phụ
t = f(x) ± g(x) (Nếu bài toán có chứa tham số cần lấy ĐK đúng cho t )
BÀI 23: Cho phương trình : 1 +x+ 8 −x+ ( 1 +x)( 8 −x) =a (1)
a/Giải phương trình khi a =3 ( x = -1 ; x = 8)
b/Xác định a để (1) có nghiệm 3 2 )
2
9 3
( ≤a≤ +
HD: Giống bài 22
BÀI 24: Cho phương trình : x+ 9 −x = −x2 + 9x+m
Tìm m để phương trình có nghiệm ?
− ≤ ≤10
4
9
HD:+ Nhận xét x + (9-x) = 9 và x(9-x) = -x2 +9x Từ đó đặt ẩn phụ t = x+ 9 −x (Lấy ĐK đúng cho t ) + Dùng GTLN và GTNN
BÀI 25: Cho phương trình : x+ 4 x− 4 +x+ x− 4 =m (1)
a/Giải phương trình khi m =3 ( x = 4)
b/Xác định a để (1) có nghiệm (m≥ 6 )
BÀI 26: Định m để pt sau có nghiệm duy nhất:
1 −x2 + 2 3 1 −x2 =m (m= 3)
HD:Dùng ĐK cần và đủ
BÀI 27: Giải pt : 3 x+ 1 + 3 x+ 2 + 3 x+ 3 = 0 (x= − 2)
HD: Chuyển một căn thức sang vế phải ; Lập phương hai vế rồi dùng phép thế trong
BÀI 28: Giải pt : x+ 3 − 3 x = 1 (x= 1 ∨x= 2 2)
BÀI 29: Giải pt : 3 2 −x = 1 − x− 1 (x∈{1;2;10} )
BÀI 30: Định m để pt sau có nghiệm : 1 2 1 1 0
2
= + + +
+
x
x m x
x
HD: Đặt t =
x
x
+
1
(x>0) ⇒t≥ 2.→ t2 + 2mt+ 1 = 0có nghiệm t ≥ 2
BÀI 31: Định m để pt sau có nghiệm : x x + x+ 12 =m( 5 −x+ 4 −x)
HD: ĐK 0≤x≤4 , rút m = f(x) =
x x
x x x
− +
−
+ +
4 5
12 ; f ’(x)>0 ⇒ f(0) ≤m= f(x) ≤ f( 4 )
Trang 6BÀI 32: Giải phương trình : 4x− 1 + 4x2 − 1 = 1 ( )
2
1
=
x
HD: ĐK :
2
1
≥
x ; nhẩm nghiệm ( )
2
1
=
x ; chứng minh y = 4x− 1 + 4x2 − 1 đồng biến với mọi
2
1
≥
x
BÀI 33: Giải phương trình : x2 + 8 = 2x− 1 + x2 + 3
HD: Dùng tính chất đơn điệu của hàm số (Nhẩm tìm một nghiệm x =1 rồi chứng minh nghiệm đó duy nhất)
BÀI 34: Giải phương trình : 2x− 3 + 5 − 2x −x2 + 4x− 6 = 0
HD :+ Lấy ĐK
2
5 2
3 ≤x≤ BĐPT về dạng 2x− 3 + 5 − 2x =x2 − 4x+ 6 + Tìm GTLN và GTNN của f(x) = 2x− 3 + 5 − 2x trên D = 2
5
; 2
3
+ Max f(x)=2
D ⇒ f(x) ≤ 2 ∀x∈D
+ g(x) =x2 − 4x+ 6 = (x− 2 ) 2 + 2 ≥ 2
PT có nghiệm ⇔ f(x) = 2 ∧g(x) = 2 ⇒ x=2 là nghiệm PT
III ) BẤT PHƯƠNG TRÌNH:
BÀI 35: Giải bất p/t:(x2 − 3x) 2x2 − 3x− 2 ≥ 0
≤− ∨ =2∨ ≥3
2
1
x x
x
HD: Dùng phép BĐTĐ
BÀI 36: Giải bất phương trình: x+ 12 ≥ x− 3 + 2x+ 1 (3 ≤x≤ 4)
HD: Dùng phép BĐTĐ
BÀI 37: Giải bất p/t:
3
7 3 3
) 16 (
2 2
−
−
>
− +
−
−
x
x x
x
x
(x> 10 − 34)
HD: ĐK x≥ 4 , sau đó dùng phép BĐTĐ
BÀI 38: Giải bpt :
2
3 1 2 1
2 − + − − >
x (x≥ 1)
BÀI 39: Giải hệ bất phương trình :
≤ +
−
≤
−
0 4 5
0 2 2 4
2
x x
x
x
(1 ≤x≤ 2)
BÀI 40: Định m để hệ sau có nghiệm:
≥
−
−
−
≤
−
−
0 15 3
0 4 3
2 3
2
m m
x x x
x
x
(− 1 ≤m≤ 16)
BÀI 41: Giải bất phương trình : x+ 11 ≥ x− 4 + 2x− 1 (4 ≤x≤ 5)
Trang 7BÀI 42: Giải bất phương trình : x2 +x− 6 ≥x+ 2 (x≤ − 3)
BÀI 43: Giải bất phương trình sau: 2 2 2
2
2 4
x x x x x
x
−
<
−
−
−
(0 <x< 2)
BÀI 44: Định m để bpt :x3 + 2x2 +mx− 2m− 16 < 0 có nghiệm lớn hơn 3 ( m< -29)
BÀI 45: Định m để bpt : 2x−x2 (x2 −x−m) < 0có nghiệm
>−
4
1
m
BÀI 46: Định m để bpt : (m+ 2 )x2 − 2mx+ 1 ≤ 0có nghiệm x∈[ ]0 ; 3
≥ ∨ ≤−
3
19
m
BÀI 47: Định m để bpt : 1 0
2
3
3 − mx + <
x có nghiệm với x∈( )0 ; 1 (m>3 2)
BÀI 48: Cho bất phương trình (x2 + 1)2+m≤x x2 + 2 + 4
a) Giải bất phương trình khi m = 3
b) Tìm m sao cho bất phương trình thỏa ∀x∈[ ]0 ; 1
HD: Đặt t =f(x) = x x2 + 2 (Câu a/ 0≤x≤ 2 − 1 )
b/ f ‘(x) > 0 → 0 = f( 0 ) ≤t≤ f( 1 ) = 3 ; BPT trở thành m ≤g(t) = −t2 +t+ 3 ∀t∈[0 ; 3]
⇔ ming(t) ≥m⇔ 3 ≥m
BÀI 49: Cho bất phương trình : mx− x− 3 ≤m+ 1
a) Giải bất phương trình khi m =
2
1
b) Tìm m để bất phương trình có nghiệm
HD: ĐK x≥3 ; đặt t = x− 3; t ≥0Viết BPT theo t là: m(t2 + 3 ) −t≤m+ 1 (*)
a) Khi m =
2
1
kết quả 3 ≤ x≤ 7
b) (*)
2
1 )
+
+
=
≤
⇔
t
t t f
m có nghiệm khi t ≥0
⇔
1 3 )
( max
;
BÀI 50: Cho bất phương trình : 4x− 2 + 16 − 4x ≤m
a) Giải BPT khi m = 4
b) Tìm tất cả các giá trị của m để BPT có nghiệm
HD: a) Dùng phép BĐTĐ kết hợp với ĐK của x ta được 3 4
4
9 3 4
9 2
1 ≤ x≤ − ∨ + ≤ x≤ c) Đặt f(x) = 4x− 2 + 16 − 4x , ∈ =2;4
1
D
f(x) ≤m có nghiệm ⇔Mìnf D(x) ≤m⇔ 14 ≤m
BÀI 51: Cho BPT : x− x− 1 >m Tìm tham số m > 0 để BPT có nghiệm ? (Đ số : 0 < m <1)
HD: (Bài này xét f(x) = x− x− 1 với x ≥1 không có GTLN và GTNN)
BPT f(x) > m có nghiệm ⇔∃x≥1 để có điểm (x ; f(x)) nằm phía trên đường thẳng d : y = m
⇔0<m<1
-Tạm
