Sang kien KN Toan 9

Đặc biệt đối với phơng trình bậc hai dạng ax2 + bx + c = 0 và nghiệm của nó – việc giới thiệu về nghiệm của phơng trình bậc hai đợc tiến hành trong quá trình xây dựng công thức nghiệm tổ

A-đặt vấn đề

I) Đặt vấn đề

Kiến thức về phơng trình trong chơng trình THCS thể hiện ở 2 giai đoạn: Giai

đoạn ẩn tàng từ cấp I đến lớp 7; giai đoạn tờng minh bắt đầu từ lớp 8 đến cuối lớp 9

Đó là những hiểu biết cơ bản nhất về phơng trình Đại số ở THCS nhằm đáp ứng yêu cầu liên hệ với những môn học khác và yêu cầu tính toán trong thực tế cuộc sống

Đặc biệt đối với phơng trình bậc hai (dạng ax2 + bx + c = 0) và nghiệm của nó – việc giới thiệu về nghiệm của phơng trình bậc hai đợc tiến hành trong quá trình xây dựng công thức nghiệm tổng quát và đã đợc tiến hành qua xét các ví dụ cụ thể, song tính phức tạp của nó vẫn là điều mà khi giảng dạy mỗi giáo viên cần đặc biệt quan tâm chú ý để xác định đúng mức độ yêu cầu; giúp những học sinh trung bình nắm vững nội dung kiến thức cơ bản; những học sinh khá giỏi phát huy năng lực học tập tích cực chủ động của bản thân

II) Thực tế giảng dạy - học tập ở tr ờng THCS hiện nay

Nhiệm vụ chuyên môn cơ bản chính là nâng cao chất lợng giảng dạy, chất lợng học tập của học sinh Để làm tốt nhiệm vụ yêu cầu trên cần thực đổi mới phơng pháp dạy học cụ thể “ Nêu vấn đề và phát huy tính tích cực chủ động, sáng tạo của học sinh ,,.Giúp các em độc lập tích cực học tập; giải quyết các yêu cầu về kiến thức kỹ năng liên hệ thực tế, kết hợp ôn bài cũ học bài mới với những nội dung liên quan Bản thân tôi đã mạnh dạn áp dụng phơng pháp trên trong phần dạy về phơng trình bậc hai - nghiệm của phơng trình bậc hai

Song điều kiện hạn chế về thời gian trên lớp cũng nh năng lực học tập của học sinh ở một trờng THCS bình thòng nên việc nêu vấn đề và giải quyết đề cần có sự nỗ lực cao của giáo viên và học sinh Bản thân các em thờng chỉ áp dụng đơn điệu những vấn đề lý thuyết đã có sẵn nên kĩ năng giải quyết bài tập dới các cách diễn đạt của đề bài khác nhau còn rất hạn chế

III) Lí do chọn đề tài

Việc giới thiệu công thức nghiệm tổng quát, công thức nghiệm cũng nh một số trờng hợp tính nhẩm nghiệm mà cơ sở lý thuyết là định lí Viét nhằm làm cho việc tìm nghiệm của phơng trình bậc hai đợc sinh động linh hoạt có sự cân nhắc chọn lựa theo tiêu chuẩn nhanh, gọn và hợp lý

Hệ thức Viét là lý thuyết phát triển, nêu lên mối liên hệ giữa các các nghiệm (nếu có) và các hệ số a, b, c của phong trình

Là hệ thức có nhiều ứng dụng trong tính toán, giải và biện luận phơng trình bậc 2

về nghiệm, số nghiệm, dấu của các nghiệm…

Vấn đề đặt ra là: Trên cơ sở công thức nghiệm và định lí Viét ta cần nghiên cứu tính chất của các nghiệm

Nếu có phơng trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a 0) thì khi nào có thể có

nghiệm, có thể có bao nhiêu nghiệm, các nhiệm có liên quan nh thế nào với nhau? Chúng có sự liện hệ nh thế nào với các hệ số a, b, c ?

IV) Các nội dung cơ bản

ở một mức độ nhất định , qua thực tế giảng dạy một số năm và qua nghiên cứu các tài liệu liên quan đến nghiệm của phơng trình bậc hai Tôi xin nêu ra một số vấn

đề về nghiệm của phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a 0) nh sau:

1.Điều kiện để phong trình bậc hai có nghiệm

ứng dụng để tìm điều kiện cho hệ có nghiệm (hệ hai phơng trình)

2.Quan hệ giữa các nghiệm trong một phơng trình, giữa các nghiệm trong hai

ph-ơng trình

3 So sánh nghiệm của phơng trình bậc hai với một số cho trớc

4 ý nghĩa hình học của việc tìm nghiệm của phơng trình bậc hai

V) Các kỹ năng cần rèn luyện.

1.Kỹ năng chứng minh phơng trình bậc hai có một nghiệm, có hai nghiệm hay không có nghiệm hay vô số nghiệm

2.Kỹ năng sử dụng điều kiện có nghiệm của một phơng trình bậc hai để chứng minh hệ hai phơng trình có hay vô nghiệm, hoặc tìm điều kiện của tham số để hệ có nghiệm hay vô nghiệm

3.Kỹ năng lập mối kiên hệ giữa 2 nghiệm trong 1 phơng trình, giữa hai nghiệm trong hai phơng trình theo tham số cho trớc, hoặc tìm điều kiện của tham số để nghiệm của phơng trình thoả mãn một điều kiện nào đó…

4.Kỹ năng so sánh nghiệm của phơng trình với một số nào đó ( với số 0; với số thực nào đó )

5.Kỹ năng xác định sự tơng giao giữa đồ thị của hàm số bậc hai f(x) = ax2 + bx +

c = 0 (P) và đồ thị của hàm số bậc nhất g(x) = mx + n (d) (a 0, m 0) Kỹ năng tìm điều kiện của tham số để xác định các vị trí tơng đối của (P) và (d)

VI) ý nghĩa

Đồng thời với việc nêu những vấn đề nói trên là những phơng pháp giải quyết phù hợp với từng loại cùng các bài tập cụ thể, phù hợp với từng nội dung vấn đề

Điều này sẽ đáp ứng yêu cầu giải quyết phần lớn nội dung bài tập ở sgk Đại số 9 cho học sinh một cách chủ động, tích cực, độc lập Học sinh trên cơ sở nắm chắc đợc mấu chốt của từng loại vấn đề từ đó phát triển áp dụng linh hoạt cho nhiều dạng bài khác nhau với nhiều cách đặt vấn đề của đề bài khác nhau

Giúp các em có đợc sự tự tin mạnh bạo, cố gắng chăm chỉ chủ động lĩnh hội kiến thức và có quyết tâm giải quyết các bài tập

B Biện pháp thực hiện

B 1 Lý thuyết cơ bản

1.Công thức tính nghiệm của phơng trình (Pt)

ax2 + bx + c = 0 (a 0)

a Đặt = b2 - 4ac

*  < 0 Pt vô nghiệm

*  = 0 Pt có nghiệm kép: x =

a

b

2



*  > 0 Pt có 2 nghiệm phân biệt: x1 =

a

b

2





a

b

2





b Công thức nghiệm thu gọn: trờng hợp b = 2b’

Đặt  ' = b’2- 4ac ( ' và  cùng dấu,  = 4 ')

*  ' < 0 Pt vô nghiệm

*  ' = 0 Pt có nghiệm kép: x =

a

b'



*  ' > 0 Pt có 2 nghiệm phân biệt: x1 =

a

b'   '

a

b'   '



2 Tổng và tích các nghiệm số

a Định lí Viét:

Nếu phơng trình ax2 + bx + c = 0 ( a 0 ) có 2 nghiệm x1 , x2 thì

x1 + x2 =

a

b



= S

x1.x2 =

a

c

= P

b Định lí đảo: Nếu 2 số x1 , x2 có tổng bằng

a

b



và có tích bằng

a

c

thì hai

số đó là nghiệm của phơng trình bậc hai :x2 - Sx + P = 0

c Chú ý:

Nếu a + b + c = 0 thì : x1 = 1 ; x2 =

a c

Nếu a - b + c = 0 thì : x1 = -1 ; x2 =

a

c



3 Cần biết thêm về biểu thức ax2 + bx + c ( a 0 )

Tên gọi: Tam thức bậc hai ; kí hiệu f(x) = ax2 + bx + c ( a 0 ) các giá trị xi

mà f(xi) = 0 khi và chỉ khi xi là nghiệm của tam thức

a Tách ra một bình phơng đủ trong tam thức bậc hai











2

4

) 2

( 4

4 )

2

(

a a

b x a a

ac b

a

b

b Phân tích một tam thức bậc hai ra thừa số

- Nếu  < 0 thì theo (*) f(x) không phân tích đợc thành các thừa số bậc nhất

- Nếu   0 thì f(x) = a(x – x1)(x – x2) (**)

Với x1, x2 là nghiệm của tam thức

c Dấu của tam thức bậc hai

Dựa vào (*) và (**) ở trên ta có kết luận sau:

- Nếu  < 0 f(x) cùng dấu với a với mọi x

- Nếu  = 0 f(x) cùng dấu với a với mọi x

a

b

2





- Nếu  > 0 dấu của f(x) đợc ghi ở bảng sau:

Với x1 < x2

B 2 Một số vấn đề về nghiệm của ph ơng trình bậc 2

I.Vấn đề 1 Điều kiện để ph ơng trình bậc 2 có nghiệm

1 Các cách chứng minh ph ơng trình bậc 2 có nghiệm

a Cách 1 Chứng tỏ rằng  0

Ví dụ 1 Chứng minh rằng phơng trình sau đây có nghiệm với mọi a và b.

(a + 1)x2 – 2(a + b)x + b – 1 = 0 (1)

Giải:

*Với a -1 Pt (1) là Pt bậc 2 , xét  ' = (a + b)2 – (a + 1)(b – 1) Đặt a +

1 = m, b – 1 = n ta có : (a + b) = m + n khi đó ta có:  ' = (m + n)2 – mn = m2

+ mn + n2 = (m +

2

n

4

3 2



* Với a = -1 Pt (1) trở thành –2(b – 1)x = -(b – 1) (1’)

Nếu b 1 (1’) có nghiệm x =

2 1

Nếu b =1 (1’) có vô số nghiệm với b = 1

* Vậy (1) có nghiệm với mọi a; b

b Cách 2 Chứng tỏ rằng ac < 0 (Thật vậy nếu ac < 0 thì = b2 – 4ac > 0 )

Ví dụ 2 1: Chứng minh rằng phơng trình sau có nghiệm với mọi m

x2 – (3m2 – 5m + 1)x – (m2 – 4m + 5) = 0 (2)

Giải

* Xét tích ac = - (m2 – 4m + 5) = -(m –2 )2 – 1 < 0

Vậy (2) có nghiệm với mọi m

Ví dụ 2 2: Tìm điều kiện của phơng của m để phơng trình sau đây có nghiệm;

m2x2 – mx – 2 = 0 (3)

Với m 0 ta có: ac = -2m2 < 0 (3) có nghiệm

Với m = 0 (3) trở thành : 0x = 2 (3) vô nghiệm

- Nhận xét:

* Nếu ac  0 mà a 0 thì ta cũng có  0 nên Pt : ax2 + bx + c = 0 có nghiệm

* Nếu chỉ với điều kiện ac  0 cha đảm bảo phơng trình có nghiệm vì vậy khi gặp trờng hợp ac  0 ta cần xét 2 trờng hợp : a 0 ( Khi đó Pt có nghiệm ) và a

= 0

c Ngoài ra có thể sử dụng một số cách sau.

c1 Cho Pt bậc 2 ax2 + bx + c = 0 (Đặt f(x) = ax2 + bx + c) (4)

Chứng minh rằng nếu tồn tại số thực  sao cho af( )  0 thì Pt (4) có nghiệm Thật vậy: với f(x) = ax2 + bx + c  af() = a2x2 + abx + ac = (ax +

2

b

)2 – (

4

2

b - ac) = (ax +

2

b

)2 -

4



Do đó: af()  0 thì

4



 (a +

2

b

)2    0 Vậy Pt (4) có nghiệm

c2 Cho Pt : ax2 + bx + c = 0 (Đặt f(x) = ax2 + bx + c) (5)

Chứng minh rằng nếu tồn tại 2 giá trị  ;  sao cho f()f( ) 0 thì (5) có nghiệm

Thật vậy: f()f( ) 0  a2f()f() 0 Vậy tồn tại một trong 2 biểu thức f( ) ; f() nhỏ hơn bằng 0 Theo c1 thì (5) có nghiệm

Bài tập áp dụng

Bài 1 Cho Pt: ax2 + bx + c = 0 (a 0) với 5a + 2c = b

Chứng minh rằng Pt có nghiệm

Giải: Ta có = b2 – 4ac = (5a + 2c)2 – 4ac = 25a2 + 16ac + 4c2 = (2c + 4a)2 + 9a2

0 vậy Pt có nghiệm

Bài 2 Cho Pt: ax2 + bx + c = 0 (a 0) thoả mãn điều kiện 2   4

a

c a

b

chứng minh rằng Pt có nghiệm

Giải

- Nếu ac < 0 hiển nhiên Pt có nghiệm

- Nếu ac > 0 áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dơng

0 4 4

4 2

4 4

2

2

2

























a

c a

b a

c a

b a

c a

c

a

a

c

a

b

Bài 3 a.Tìm giá trị nguyên dơng để phơng trình sau có 2 nghiệm phân biệt:

x2 – 4x + k = 0

b Tìm giá trị nguyên âm của m để phơng trình sau có 2 nghiệm phân biệt:

2x2 – 6x + m + 7 = 0

Giải :

a có  ' = 4 – k > 0  k < 4 mà k nguyên dơng nên k = 1; 2 ; 3

b có  ' = 9 – 2m – 14 > 0  -2m –5 > 0  m < -2,5 mà m nguyên âm nên m = -3 ; -4 ; -5 ; -6 ;…

Bài tập về nhà

Bài 1 Chứng minh rằng Pt sau có nghiệm với mọi a, b, c

a) x(x – a) + x(x – b) + (x – a)(x – c) = 0

b) (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) =0

Bài 2 Chứng minh rằng với mọi a, b, c khác 0 tồn tại 1 trong các Pt sau có

nghiệm

ax2 + 2bx + c = 0

bx2 + 2cx +a = 0

cx2 + 2ax + b = 0 Bài 3 Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác, chứng minh rằng Pt sau có nghiệm: (a2 + b2- c2)x2 - 4abx + (a2 + b2- c2) = 0 Khi nào phơng trình có nghiệm kép ?





 a x x

b) Với giá trị nào của k thì phơng trình sau có nghiệm:

(k2 – 4)x2 + 2(k + 2)x + 1 = 0 2 Dùng điều kiện có nghiệm của ph ơng trình bậc 2 để chứng minh một hệ số có nghiệm

a Ví dụ 1 Tìm giá trị của m để hệ phơng trình sau có nghiệm.













) 6 ( 5

2

) 6 ( 7 3 4

2 2

2

1

m y x

y x

Giải

Từ (61)

4

3

7 y

x 

49y2 + 42y + (49 – 8m) = 0 (6 3 )

Từ (6 1 ) ta thấy: nếu tồn tại y thì cũng tồn tại x, do đó chỉ cần tìm điều kiện để (6 3 )

có nghiệm

Giải: (6 3 )  '  0 ta đợc: 212 - 49(49 – 8m)  0  9 – (49 – 8m)  0  m

 5

Vậy với m  5 thì hệ Pt đã cho có nghiệm

b) Ví dụ 2 Tìm giá trị của m để phơng trình mx4 – 10mx2 + m + 8 = 0 (7)

+) Có 4 nghiệm phân biệt ? +) Có 4 nghiệm x1; x2; x3; x4 (x1< x2< x3< x4) thoả mãn điều kiện:

Giải +) Đặt x2 = y thì (7) trở thành my2 – 10my + m + 8 = 0 (7’) cần tìm m để (7’)

có 2 nghiệm dơng phân biệt

đ/k: m 0 , '

 > 0 ; P = 8 0

m

m

; S = 10  0

m

m

ta đợc m < -8; m >

3

1

+) Gọi 2 nghiệm của (7’) là y1 , y2 với 0 < y1 < y2 , 4 nghiệm của (7) là: x1 = - y2 ;

x2 = - y1 ; x3 = y1 ; x4 = y2 Ta có x4 - x3 = x3 - x2 = x2 - x1 y2 - y1 = y1 - (- y1 ) y2 = 3 y1  y2 = 9 y1 mà y1 + y2 ; y1.y2 =

m

m 8

tính đợc y1= 1, y2 = 9,

m =1 Vậy với m = 1 thì Pt (7) thoả mãn điều kiện đầu bài

Bài tập áp dụng

Bài 1: Với giá trị nào của a thì hệ phơng trình sau có nghiệm













) 8 ( ) 8 ( 1 3

2 2

2

1

a y x y x

Giải

Từ (81) ta có : y = -3x + 1 Thế vào (82) , ta có : x2 + (-3x + 1)2 = a hay 10x2 – 6x + 1 – a = 0 (83)

Từ (81) nếu tồn tại x thì cũng tồn tại y, do đó chỉ cần tìm điều kiện để (83) có nghiệm  ' = 9 – 10(1 – a)  0  a

10

1

Vậy với a

10

1

thì hệ đã cho có nghiệm

Bài 2 Tìm giá trị của m để phơng trình sau có 3 nghiệm phân biệt

x3 – (m + 1)x2 + (m2 + m – 3)x – m2 + 3 = 0

Giải

Ta có : x3 – (m + 1)x2 + (m2 + m – 3)x – m2 + 3 = (x – 1)(x2 – mx + m2 – 3)

Pt trở thành (x – 1)(x2 – mx + m2 – 3) = 0 Để Pt có 3 nghiệm phân biệt thì

Pt (x2 – mx + m2 – 3) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khấc 1

Tìm đợc –2 m  1 ; -1 < m < 2

Bài tập về nhà

Bài 1 Tìm giá trị của m để phơng trình sau có nghiệm:

(m – 3)x4 – 2mx2 + 6m = 0

Bài 2 Tìm m để hệ phơng trình sau có nghiệm:

a) 













0 4

2

y x

m y

x

b) 











m y x

y x

2 2

2 7 2

Bài 3 a Chứng minh rằng hệ sau có nghiệm

b Tìm m để hệ có nghiệm













1

2

2 2

2

y x

m y

mx

II Vấn đề 2 Quan hệ giữa các nghiệm trong 1 ph ơng trình bậc hai và giữa hai ph

ơng trình bậc hai

1 Quan hệ giữa hai nghiệm trong 1 ph ơng trình bậc hai

(sử dụng định lí Viét và ứng dụng của nó)

a Ví dụ 1 Cho Pt: x2 – 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 (9)

+) Giải và biện luận về số nghiệm của phơng trình (9) theo m ?

+) Tìm m sao cho T = 10x1x2 + x1 + x2 đạt giá trị nhỏ nhất; tìm giá trị nhỏ nhất đó ?

Giải:

+) Tính  ' ta có :  ' = (m + 1)2 – 2m – 10 = 0 = m2 – 9  '  0

3



m  3 hoặc m 3 Pt (9) có 2 nghiệm phân biệt: x1 = m + 1 - 2 9



m , x2 = m +



m

Với m = -3 => x = -2 , m =3 => x = 4

.Với -3m 3 Pt (9) vô nghiệm

+) Ta có : T = (x1 + x2)2 + 8x1x2

Với m 3 ta có : T = 4(m + 1)2 + 8(2m +10) = 4(m +3)2 + 48

Ta luôn có: T 48 Dấu “ = ,, xãy ra khi m = -3 Vậy T nhỏ nhất là 48

b Ví dụ 2 Cho phơng trình.

(m – 1)x2 – 2(m – 4)x + m – 5 = 0 (m 1) (10)

Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m

Giải : -Phơmg trình có nghiệm với  ' = (m – 4)2 - 2(m – 1)(m – 5)  0

Hay : m2 – 8m + 16 – m2 + 6m – 5  0  m 

2

11

-Ta có: S = x1 + x2 = ;

1

4





m

m

P = x1x2 =

1

5





m

m

rút m theo x1 , x2 thế vào S ta

đ-ợc hệ thức: 3x1x2 – 4(x1 + x2) + 1 = 0

đây là hệ thức độc lập với m giữa x1, x2 của phơng trình với m 

2

11

*Nhận xét: Để giải bài toán này trớc hết cần tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm Sau đó tính S và P, nếu S và P không chứa tham số thì ta có ngay hệ thức phải tìm , nếu S và P có chứa tham số thì ta tìm cách khử tham số từ S và P rồi suy ra

hệ thức phải tìm

c Ví dụ 3 Cho Pt: x2 + 5x + 2 = 0 Có 2 nghiệm x1; x2 Không giải Pt; hãy tính

x1 + x2 ; x1 + x2 ; x1 x2 + x1 x2

Giải

Ta có : x1 + x2 = -5 ; x1x2 = 2 Nên x1 + x2 = (x1 + x2)2 - 2 x1x2 = (-5)2 – 2.2

= 21

x1 + x2 = (x1 + x2)3 - 3x1x2(x1 + x2) = (-5)3 – 2.2.(-5) = -95

x1 x2 + x1 x2 = x1 x2 (x1 + x2 ) = -20

Bài tập áp dụng

Bài 1 Hãy xác định vị trí của m sao cho Pt: x2 + (m – 2)x + m + 5 = 0 có 2 nghiệm x1; x2 thoả mãn hệ thức x1 + x2 = 10

Giải

- Điều kiện để phơng trình có nghiệm:  = (m – 2)2 – 4(m + 5)  0  m2

– 8m – 16  0  m  4  4 2 hoặc m  4 + 4 2

Ta có: x1 + x2 = 10 => (x1 + x2)2 – 2x1x2 – 10 = 0 => (m – 2)2 – 2(m + 5) – 10 = 0

Phơng trình với ẩn m có nghiệm m1 = -2, m2 = 8

Với m = 8 ,< 0 nên giá trị này bị loại

Với m = -2 > 0 nên m1 = -2 là giá trị cần tìm

Bài 2 Tìm các hệ số p và q của phơng trình x2 + px + q = 0 sao cho 2 nghiệm x1,

x2 của phơng trình thoả mãn hệ thức: 









35 5

3 3 2 1

x x x x

Giải

Điều kiện : = p2 – 4q  0 khi đó: x1 + x2 = -p ; x1x2 = q

Do đó ta có 









35 5

3 3 2 1

x x x x















7 25 4

2 2

q p

q p

giải hệ này tìm đợc p = 1 ; q = -6

và p = -1 ; q = 6 cả 2 cặp giá trị này đều thoả mãn

Bài 3 Gọi x1, x2 là nghiệm của phơng trình 2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + 3 = 0 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x1x2  2x1  2x2

Giải – Pt có nghiệm với   0 hay (m + 1)2 – 2(m2 + 4m + 3)  0 => (m + 1)(m + 5) 0  -5  m  1 (*)

-Khi đó : x1 + x2 = -m – 1 ; x1x2 =

2

3 4

2  m

2 3 4

2  m

m

A = (m1)(2m7) với đều kiện (*) thì (m +1)(m +7)  0 => A =

2

9 2

) 4 ( 9 2

7

2













2

9

khi m = -4 (Thoả mãn)

Bài tập về nhà

Bài 1, Cho Pt: x2 – 6x +1 = 0 Gọi x1 , x2 là nghiệm của Pt Không giải phơng trình hãy tính giá trị của biểu thức:

1) x1 + x2 ; 2) x1 x 1 x2 x2 ; 3)

) 1 ( ) 1 (

) (

2 2

2 2

2 1

2 1

2 1 2 1

2 2

2 1













x x x

x

x x x x x x

Bài 2 Cho Pt: x2 – 2mx + 2m – 1 = 0

a) Chứng minh rằng Pt luôn có nghiệm với mọi m ?

b) A = 2(x1 + x2 ) – 5x1x2

b 1 ) Tính giá trị của A theo m ?

b 2 ) Tìm m biết A = 27 ?

b 3 ) Tìm m sao cho nghiệm này gấp 2 lần nghiệm kia ?

c) Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm không phụ thuộc vào tham số m ?

Bài 3 Tìm giá trị của tham số m để phơng trình x2 – mx + m + 1 = 0 có nghiệm

x1 , x2 thoả mãn : x1x2 – 2(x1 + x2) – 19 = 0

Bài 4 Cho phơng trình bậc hai (k + 1)x2 – 2(k + 2)x + k – 3 = 0 Xác định k để (4x1 + 1)(4x2 + 1) = 18

Bài 5 Gọi x1 ; x2 là nghiệm của phơng trình (k – 1)x2 – 2kx + k – 4 = 0 Không giải phơng trình , hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào k

Bài 6 Cho phơng trình x2 – 2(m – 1)x + m – 3 = 0 (m là tham số)

a) Chứng minh phơng trình luôn có nghiệm với mọi m ?

b) Tìm một hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm không phụ thuộc vào m ?

c) Xác định m sao cho Pt có 2 nghiệm là hai số đối nhau ?

Bài 7 Gọi x1; x2 là các nghiệm của phơng trình: x2 – (2m – 3)x + 1 – m = 0 Tìm giá trị của m để A = x1 + x2 + 3x1x2(x1 + x2) đạt giá trị lớn nhất

2.Lập ph ơng trình bậc hai biết 2 nghiệm của nó

Nếu có 2 số u ,v có : u + v = S ; uv = P thì u và v là nghiệm của phơng trình: X2

– SX + P = 0

Chú ý : Chỉ tìm đợc nghiệm của phơng trình trên với điều kiện : S2 – 4P  0

a Ví dụ 1: Lập phơng trình bậc hai có nghiệm là các cặp số sau

*) 3 và 1 - 3 ; *) 3 + 2 và

2 3

1



Giải

*) Ta có : s = 3 + (1 - 3) = 1 ; p = 3(1 - 3) = 3 - 3 Vậy Pt cần lập là :

x2 – x + 3 - 3 = 0

b Ví dụ 2 Lập phơng trình bậc hai có các hệ số là số nguyên và có một nghiệm

là;

3

2

3

2





Giải:

Phơng trình cần lập có dạng : x2 + ax + b = 0 ( a ,b Z )

1

) 3 2 ( 3 2

3















khi đó ta có: (2 5 - 5)2 + (2a – 20)

6 = 0  (49 – 5a + b) + (2a – 20) 6 = 0

Nếu 2a – 20 0 ta có: 6 =

20 2

) 5 49 (









a

b a

là số hữu tỉ - vô lí! Vậy 2a – 20 =

0 => a = 10 khi đó b = 1 Vậy Pt cần lập là: x2 + 10x + 1 = 0

Bài tập áp dụng

Bài 1 Cho x = 17  12 2 ; y = 17  12 2

a Lập phơng trình bậc 2 có nghiệm là hai số x; y nói trên?

b Tính A = x4 + y4

Giải:

a Ta có : x = 17  12 2 = (3 + 2 2)

y = 17  12 2 = (3 - 2 2)

Do x.y = (3 + 2 2)(3 - 2 2) = 1

x + y = 3 + 2 2 + 3 - 2 2 = 6 nên x, y là 2 nghiệm của phơng trình:

b Theo Pt trên ta có: x2 = 6x + 1  x2 + y2 = 6(x + y) – 2

 x3 = 6x2 – x  x4 = 6x3 – x2

Tơng tự : y4 = 6y3 – y2

Vậy A = x4 + y4 = 6(x3 + y3) – (x2 + y2) mà x2 + y2 = 6(x + y) – 2 = 34

x3 + y3 = 6(x2 +y2) – (x + y) = 6.34 – 6 = 198  A = x4 + y4 = 6(x3 + y3) – (x2 + y2) = 6.198 – 34 = 1154

Chú ý : -Tơng tự có thể tính x5 + y5 ; x6 + y6

-Với câu hỏi b), còn có thể khai triển A = x4 + y4 theo tam giác Pascan

Bài 2 a Tìm phần nguyên của ( 3 + 2 2)7

Giải

Đặt x = 3 + 2 2, y = 3 - 2 2 ta có x + y = 6 và xy = 1  x , y là nghiệm của

Pt x2 – 6x + 1 = 0

Mặt khác: x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = 36 – 2 = 34

x3 + y3 = (x + y)(x2 + y2 – xy) = 6(34 - 1) = 198

x4 + y4 = (x2 + y2)2 - 2 x2y2 = 342 – 2 = 1154

x7 + y7 = (x3 + y3)(x4 + y4) – x3y3(x + y) = 198.1154 – 1.6 = 228486

Do y = 3 - 2 2< 1 nên 0 < y7 < 1

   x7 x7 y7 1 = 228486 – 1 = 228485

2 2

Chú ý: - Có thể tính x7 + y7 theo cách tính tơng tự nh bài tập 1 trang 17 (x4 + y4;

x5+ y5; x6 + y6)

b Tơng tự

Tìm số nguyên lớn nhất không vợt quá (7 + 4 3)7 Bài tập về nhà

Bài 1 Cho Pt: 3x2 + 7x + 4 = 0 có nghiệm  ,  Lập phơng trình bậc 2 có







và

1







(không cần tính  ,  ) Bài 2 Cho pt : x2 + ax + b = 0 (a 0) Tìm a; b hữu tỉ để phơng trình có nghiệm x

= 2 - 1

Bài 3 Lập một Pt bậc 2 với các hệ số và số hạng tự do là số hữu tỉ và có 1

nghiệm là: x =

2 1

2



3 Quan hệ giữa các nghiệm của hai ph ơng trình bậc hai

a Ví dụ 1 Tìm giá trị của a để hai phơng trình sau có ít nhất một nghiệm chung

Tìm nghiệm chung đó ?

x2 + ax + 8 = 0 (1) và x2 + x + a = 0 (2)

Giải Giả sử x0 là nghiệm của 2 phơng trình, ta có : 













) 2 ( 0

2

) 1 ( 0

2

0 0 8

a x x ax x

 (a – 1)x0

+ (8 – a) = 0

*Nếu a 1 thì x0 =

1

8





a

a

thay vào (2) và rút gọn ta đợc : a3 – 24a + 72 = 0 

(a +6)(a2 – 6a + 12) = 0  a = -6

Với a = -6 thì (1) trở thành : x2 – 6x + 8 = 0

(2) trở thành : x2 + x - 6 = 0 chúng có nghiệm chung x = 2

** Nếu a = 1 Cả hai Pt đều vô nghiệm Vậy với a =-6 thì hai phơng trình có ít nhất một nghiệm chung

b Ví dụ 2 Cho 2 Pt : x2 + p1x + q1 = 0 (3) và x2 + p2x + q2= 0 (4) Chứng minh rằng nếu p1p2 = 2(q1 + q2) thì ít nhất một trong hai phơng trình có nghiệm

Giải:

Ta có  1 = p1 – 4q1 ;  2 = p2 – 4q2   1 +  2 = p1 – 4q1 + p2 – 4q2 =

p1 + p2 – 4(q1 + q2) Vì : 2(q1 + q2) = p1p2  4(q1 + q2) = 2p1p2

Do đó:  1 +  2 = p1 + p2 – 4(q1 + q2) = p1 + p2 - 2 p1p2 = (p1 – p2)2  0

Điều này chứng tỏ ít nhất một trong hai biệt số  1 hoặc  2 phải không âm Vậy

ít nhất một trong hai phơng trình có nghiệm

Bài tập áp dụng

Bài 1 Chứng minh rằng nếu hai phơng trình x2 + p1x + q1 = 0 và x2 + p2x + q2= 0

có nghiệm chung thì : (q1 – q2)2 + (p1 – p2)(q2p1 – q1p2) = 0

Giải : Hai phơng trình có nghiệm chung  













0 0

2 2 2

1 1 2

q x p x

q x p x

- Nếu p1 p2 Giải hệ đợc x =

2 1

1 2

p p

q q





2 1

2 1 2 1

p p

q p p q





Do y = x2 

2 1

2 1 2 1

p p

q p p q





= (

2 1

1 2

p p

q q





)2  q1 – q2)2 + (p1 – p2)(q2p1 – q1p2) = 0

(đpcm)

-Nếu p1 = p2 Ta có hệ 













2 1

1 1

q y

x p

q y

x p

hệ này có nghiệm  q1 = q2 Đẳng thức đã

cho có dạng 0 = 0 (hiển nhiên đúng)

Bài 2 Cho a, b là nghiệm của Pt: x2 + px + 1 = 0 và b , c là nghiệm của pt: x2 +

qx + 2 = 0 Chứng minh rằng: (b – a)(b – c) = pq – 6

Giải : Theo định lí Viét ta có 







 1

ab

p b

a

và 







 2

bc

q c

b

do đó : (b – a)(b – c) =

b2 + ac – 3

pq – 6 = (-p)(-q) – 6 = (a + b)(b + c) – 6 = b2 + ac – 3 Vậy (b – a)(b – c)

= pq – 6

Bài tập về nghà

Bài 1 Tìm giá trị của tham số m để hai phơng trình bậc hai x2 + mx + 1 = 0 và x2

+ x + m = 0 có ít nhất một nghiệm chung

Bài 2 Với giá trị nào của k thì hai phơng trình sau có ít nhất một nghiệm chung? tìm nghiệm chung đó

2x2 + (3k + 1)x – 9 = 0 6x2 + (7k – 1)x – 19 = 0

Bài 3 Chứng minh rằng nếu a + b  2 thì trong hai phơng trình x2 + 2ax + b = 0

và ax2 + bx + a = 0 phải có ít nhất 1 phơng trình có nghiệm

Bài 4 Cho các phơng trình: ax2 + bx + c = 0 và ax2 + bx – c = 0

a) Tìm điều kiện để 2 Pt trên có ít nhất 1 nghiệm chung

b) giả sử p ; q và m; n theo thứ tự là cặp nghiệm của 2 pt nói trên Chứng minh (p – q)2 + (m – n)2 = 2(p + q)2

III Vấn đề 3 So sánh nghiệm của ph ơng trình bậc hai với một số cho tr ớc 1 So sánh nghiệm của ph ơng trình bậc hai với số 0

a) Theo định lí Viét; ta biết rằng phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 ( a 0) có nghiệm x1 ; x2 thì S = x1 + x2 =

a

b



; P = x1x2 =

a

c

do đó điều kiện Pt bậc 2

- Có nghiệm dơng:   0 , P > 0, S > 0

- Có 2 nghiệm âm : > 0, P > 0, S < 0

- Có 2 nghiệm trái dấu : P < 0 ( khi đó hiển nhiên > 0)

b) Nếu bài toán đòi hỏi tìm điều kiện để phơng trình bậc hai ( a 0) có ít nhất một nghiệm không âm, ta có thể thực hiện:

- Cách 1 Xét P =

a

c

Pt có ít nhất 1 nghiệm không âm nếu:

+P < 0 ( hai nghiệm trái dấu )

+P = 0 ( có 1 nghiệm bằng 0; 1 nghiệm dơng hoặc âm )

+P > 0 ;   0, S > 0 ( 2 nghiệm đều dơng )