sang kien KN mon toan 7

Một bài toán đợc giải dới nhiều hình thức khác nhau sẽ tạo cho học sinh hứng thú học tập, say mê tìm tòi sáng tạo, giúp học sinh hiểu sâu nhớ lâu các kiến thức cơ bản một cách có hệ thốn

Bµi tËp nghiªn cøu khoa häc:

T×m nhiÒu lêi gi¶i cho bµi to¸n h×nh häc nh»m ph¸t triÓn n¨ng lùc gi¶i to¸n

cho häc sinh líp 7

Mục lục

Mục lục

Mục lục

A Mở đầu

B Cơ sở lý luận

I Mục đích của việc tìm nhiều lời giải cho một bài toán

hình học

II Mục đích của việc TNLGBT hình học nhằm phát triển

năng lực giải toán cho học sinh lớp7

III Phát triển trí tuệ và rèn luyện kỹ năng thực hành thông

qua việc giải một bài toán

C Nội dung

I Bài toán

II áp dụng

Kết quả thực hiện

D Kết luận

Tài liệu tham khảo

Trang 2

A: Mở đầu

Toán học là một môn khoa học tự nhiên giúp học sinh phát triển trí thông minh, t duy sáng tạo góp phần đào tạo ra những con ngời phát triển toàn diện

Thông qua thực tế giảng dạy môn toán, tôi nhận thấy việc giảng dạy cho học sinh những kiến thức cơ bản về các quan hệ hình học xung quanh chúng ta, mà nó còn dạy cho học sinh cách suy nghĩ sáng tạo, t duy logic Lớp7 là lớp đầu tiên học sinh chính thức đợc học môn hình học do đó việc tiếp thu kiến thức, giải các bài tập hình học còn nhiều hạn chế

Để giảng dạy môn hình học đạt đợc kết quả cao, ngoài việc truyền đạt những kiến thức cơ bản trong sách giáo khoa, thì ngời giáo viên còn phải biết hệ thống các kiến thức cơ bản đó, xây dựng các phơng pháp giải toán Một bài toán đợc giải dới nhiều hình thức khác nhau sẽ tạo cho học sinh hứng thú học tập, say mê tìm tòi sáng tạo, giúp học sinh hiểu sâu nhớ lâu các kiến thức cơ bản một cách có hệ thống, rèn luyện cho học sinh những kỹ năng, thói quen cần thiết tìm đợc hớng đi từ giả thiết

đến kết luận một cách đúng đắn

Trong đề tài này tôi xin nêu một số phơng pháp: “Tìm nhiều lời giải cho một bài toán hình học”

B - Cơ sở lý luận

I Mục đích của việc bồi dỡng năng lực giải toán

1 Vị trí

Tìm nhiều lời giải (TNLG) cho một bài toán giúp cho học sinh phát triển các năng lực và phẩm chất trí tuệ Thực vậy, do tính trừu tợng của toán học, đặc biệt là hình học, có thể giúp rất nhiều cho việc rèn luyện ở học sinh óc trừu tợng, suy luận logic chặt chẽ Việc tìm kiếm lời giải cho bài toán có tác dụng to lớn trong việc rèn luyện cho học sinh phơng pháp khoa học trong suy nghĩ, trong suy luận, trong giải quyết các vấn đề: biết quan sát, mò mẫm, dự đoán, chứng minh và qua đó có tác dụng lớn rèn luyện cho học sinh trí thông minh sáng tạo

TNLG cho một bài toán tích cực vào việc giáo dục cho học sinh t tởng, đạo

đức trong cuộc sống và lao động, xây dựng cơ sở của thế giới quan khoa học, giáo dục long yêu nớc xã hội chủ nghĩa, rèn luyện nhiều đức tính quý báu nh lao động có

kỷ luật, kiên trì, tự lực, yêu thích chính xác, ham chuộng chân lý Nó có khả năng góp phần giáo dục học sinh năng lực cảm thụ cái đẹp: cái đẹp trong lao động sáng tạo, cái đẹp của những ứng dụng phong phú của toán học, cái đẹp của những lời giải hay

2 Mục đích

TNLG cho một bài toán làm cho học sinh nắm đợc một cách chính xác, vững chắc và có hệ thống những kiến thức và kỹ năng giải toán, có năng lực vận dụng những tri thức đó vào những tình huống cụ thể khác nhau, vào đời sống, lao động sản xuất, vào việc học tập những môn học khác

TNLG cho một bài toán nhằm phát triển học sinh những năng lực và phâm chất trí tuệ, giúp học sinh biến những tri thức thu nhận đợc thành tri thức của bản thân, thành công cụ để nhận thức hành động đúng đắn trong các lĩnh vực hoạt động cũng nh trong việc học tập hiện nay và mãi mãi về sau

II Mục đích của việc TNLG cho một bài toán hình học

Về kiến thức và kỹ năng

Hình thành cho học sinh một hệ thống khái niệm (tam giác, tam giác cân, tam giác vuông cân, tính chất các đờng trong tam giác, hệ quả ) và nắm đợc phơng pháp giải quyết một loạt vấn đề, giúp học sinh nắm đợc ngôn ngữ, ký hiệu toán học liên quan đến các khái niệm, tính chất

Rèn luyện cho học sinh kỹ năng các đoạn thẳng bằng nhau ,hai đoạn thẳng song song ,hai đờng thẳn vuông góc , kỹ năng vẽ hình, kỹ năng vận dụng kiến thức

để giải bài tập và trình bày lời giải rõ ràng

2 Về phát triển trí tuệ

- Phát triển ở học sinh t duy logic, ngôn ngữ chính xác thông qua các khái niệm, định nghĩa, phân chia các khái niệm thông qua việc thành lập các phán đoán

và suy luận

- Phát triển ở học sinh năng lực t duy trừu tợng và trí tởng tợng trong quá trình nhận thức lời giải và các khái niệm định lý tính chất ngôn ngữ của hình học

- Phát triển ở học sinh các phẩm chất trí tuệ: t duy độc lập, t duy linh hoạt, sáng tạo: tìm nhiều lời giải, nhìn một vấn đề dới nhiều khía cạnh

- Phát triển óc quan sát và trí nhớ

3 Về t tởng đạo đức

Xây dựng cho học sinh nhận thức đúng đắn về tính chất thực tiễn của toán học, nêu rõ quan điểm hành động và tơng quan giữa các sự vật, giáo dục lòng yêu

n-ớc thông qua lời giải của một bài toán

III Phát triển trí tuệ và rèn luyện kỹ năng thực hành thông qua việc giải một bài toán bằng nhiều cách

1 Rèn luyện các thao tác t duy

a) Phân tích và tổng hợp

Phân tích giả thiết và kết luận, sự liên hệ giữa giả thiết và kết luận Phân tích các ý, các bớc chứng minh, mối liên hệ giữa định lý này và định lý khác rồi tổng hợp lại để đợc lời giải của bài toán đã cho

b) So sánh

So sánh giữa các cách giải của một bài toán nh: cùng chứng minh một ý nào? các ý khác nhau chứng minh khác nhau nh thế nào? Rồi tổng hợp lại các cách giải, xem cách giải nào hay, ngắn gọn, dễ hiểu, dễ nhớ

2 Rèn luyện t duy logic và ngôn ngữ chính xác thể hiện quá cách trình bày

các cách giải khác nhau của bài toán

3 Rèn luyện các phẩm chất trí tuệ nh tính linh hoạt, tính độc lập và sáng

tạo: biểu hiện ở khả năng tự mình thấy đợc vấn đề phải giải quyết và tự mình tìm ra lời giải đáp cho bài toán, không đi tìm những lời giải sẵn, không dựa dẫm vào ý nghĩ và lập luận của ngời khác

4 Rèn luyện các kỹ năng thực hành: đo đạc, vẽ hình tạo cho học sinh tính

cẩn thận, chu đáo, nhanh trí

C nội dung

Để giải bài toán bằng nhiều cách đòi hỏi học nắm vững kiến thức cơ bản Giáo viên ngời hớng dẫn và dẫn dắt học sinh phân tích và tổng hợp kiến thức để học sinh

có thể tìm đợc những cách giải hay cho bài toán Sau đây là một số bài toán quen thuộc đối với học sinh lớp 7 đợc giải bằng nhiều cách

I Bài toán :

1.Bài toán 1

Trong một tam giác nếu trung tuyến ứng với một cạnh và bằng nửa cạnh đó thì tam giác đó là tam giác vuông

Chứng minh :

+ Cách 1: Dùng kiến thức của tam giác cân

Ta có : AM = BM = MC = 12BC (gt)

⇒ ∆ ABM và ∆ AMC cân

∠ B = ∠ A1 ; ∠ C = ∠ A2

∠ A1 + ∠ A2 = 900

Vậy tam giác ABC vuông tại A

Đờng trung bình của tam giác đợc giới thiệu trong chơng trình lớp

8 Tuy nhiên học sinh có thể chứng minh đợc các định lí sau bằng kiến thức Hình học 7

Định lí 1:

Đờng thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba

Định lí 2:

Đờng trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy

Trong đề tài này tôi không đa ra cách chứng minh hai định lí mà nêu ra

để áp giải các bài toán

b

m

b

m

+ Cách 2: Dùng kiến thức đờng trung bình trong tam giác

Kẻ MN// AC Khi đó :

∠ BMN = ∠ ACM (1)

∠ NMA = ∠ MAC (2)

∆ MAC cân (vì AM =MC (gt))

=> ∠ ACM = ∠ MAC (3)

Từ (1) (2) (3) suy ra : ∠ BMN = ∠ NMA

⇒MN là tia phân giác của ∆ MAB cân

⇒ MN ⊥AB (4)

Mà: MN // AB (5)

Từ (4) (5) suy ra : AC⊥AB

Vậy tam giác ABC vuông tại A

+ Cách 3 : Lấy B' thuộc tia đối của tia BA sao cho :

AB = AB'

Ta có AM là đờng trung bình của ∆ BCB,

,

1

2

1

( ) 2

AM BC gt

⇒ =

=

= => B'C = BC

=> ∆ CB'B cân tại C có AC là đờng trung tuyến

nên suy ra : AC ⊥BB, ⇒ AC ⊥ AB

Vậy tam giác ABC vuông tại A



b

m n

b

m

b'

+ Cách 4 :

Dùng hai tia phân giác của hai góc kề bù tạo thành một góc vuông

Kẻ tia xy // BC

Ta chứng minh đợc tia AB ,AC

là hai tia phân giác của góc xAM và yAM

∠ A1 = ∠ A2; ∠ A3 = ∠ A4

∠ A2 + ∠ A3 = 900 => BAC = 900

Vậy tam giác ABC vuông tại A

+ Cách 5 : Dùng phơng pháp chứng minh phản chứng.

Giả sử góc : A < 900

Từ ∆ ABM và ∆ AMC cân ta có :

∠ B = ∠ A1; ∠ A2 = ∠ C

=> ∠ B + ∠ C < 900

∠ A + ∠ B + ∠ C < 1800 (Điều này vô lí)

Chứng minh tơng tự :

Nếu góc A > 900

=> ∠ A + ∠ B + ∠ C > 1800 (Điều này vô lí )

Vậy góc A=900 suy ra ∆ ABC vuông tại A

c B

A

m

c

B A

m

+ Cách 6: Dùng kiến thức

Trờng hợp bằng nhau của tam giác (c.c.c ); (c.g.c)

Trên tia đối của MA lấy MA=MD

Xét ∆ AMB và ∆ DMC có :

MD = MA (gt)

∠ BMA = ∠ DMC (đối đỉnh ) ⇒∆ AMB = ∆ DMC (c-g-c)

MB =MC (gt)

=> ∠ ABC = ∠ BCD => AB // CD ( Vì cặp góc so le trong bằng nhau)

=> ∠ BAC + ∠ DCA = 1800 (1)

Xét ∆ ABC và ∆ CDA có :

AB =CD (vì ∆ AMB = ∆ DMC)

BC = AD (gt) ⇒∆ ABC = ∆ CDA(c.c.c)

AC cạnh chung

=> ∠ BAC = ∠ BCA (2)

Từ (1)(2) suy ra : góc BAC =900

Vậy tam giác ABC vuông tại A

Tóm lại: Qua bài toán trên học sinh nắm đợc hệ thống kiến thức về

tam giác cân, đờng trung bình trong tam giác, tia phân giác, trờng hợp bằng nhau của tam giác và các phơng pháp chứng minh Đồng thời học sinh có thể áp dụng nội dung bài toán để giải các bài tập hình học khác.





b

d m

2 Bài toán 2 :

Cho tam giác ABC cân ở A Gọi AM là phân giác ngoài của góc A Chứng minh rằng :AM//BC

GT Cho ∆ ABC có AB=AC

∠ DAM = ∠ MAC

KL AM// BC

Chứng minh :

+ Cách 1: Dựa vào cặp góc so le trong

Ta có: ∠ DAC = ∠ B + ∠ C

(Vì góc DAC là góc ngoài của ∆ ABC)

mà ∠ B = ∠ C (gt)

=> ∠ B = ∠ C = 1/2 ∠ DAC (1)

∠ ADM = ∠ MAC = 1/2 ∠ DAC (tính chất tia phân giác ) (2)

Từ (1)(2) => AM // BC (vì cặp góc so le trong bằng nhau)

+ Cách 2: Dựa vào cặp góc đồng vị

Chứng minh tơng tự cách 1 :

suy ra : ∠ MAC = ∠ B => AM // BC ( vì cặp góc đồng vị bằng nhau )

+ Cách 3 : Dựa vào cặp góc trong cùng phía bù nhau

Ta có: ∠ DAC = ∠ B + ∠ C (Vì góc DAC là góc ngoài của ∆ ABC)

mà ∠ B = ∠ C (gt)

 ∠ B = ∠ C = 1/2 ∠ DAC (1) ∠ AMC=1/2 ∠ DAC (tính chất tia phân giác ) (2) Trong ∆ ABC : ∠ BAC + ∠ B + ∠ C = 1800 (3)

Từ (1)(2)(3) suy ra : ∠ BAC + ∠ B + ∠ AMC = 1800 hay

∠ MAB + ∠ B = 1800 => AM //BC (Vì cặp góc trong cùng phía bù

nhau )

a D

m

+ Cách 4: Sử dụng tính chất đờng trung bình

Trên tia đối của tia AB lấy AD=AB

⇒AD =AC (1) ⇒∆ ADC cân tại A có

AM là tia phân giác (gt)⇒AM là trung tuyến

⇒ MC=MD (2)

Từ (1)(2)⇒AM là đờng trung bình của ∆ BDC

⇒ AM// BC

+ Cách 5 : Dùng tính chất của tam giác cân

Kẻ AH⊥BC(1)

⇒AH là đờng phân giác của góc A

∠ HAM = 90 0

(Góc tạo bởi 2 tia phân giác của

hai góc kề bù )

⇒HA ⊥AM(2)

Từ (1) và (2) ta có : AM//BC

Tóm lại: Bài toán 2 giúp học sinh hế thống đợc các phơng pháp

chứng minh hai đờng thẳng song song Ngoài ra tìm thêm đợc một phơng pháp mới đó là sử dụng tính chất đờng trung bình trong tam giác.

a

D

m

A

M D

3.Bài toán 3:

Cho tam giác ABC trung tuyến AM, gọi I là trung điểm của AM ,các

đờng thẳng CI và AD cắt nhau tại D Chứng minh rằng AD=1/3AB.

GT Cho ∆ ABC có MB =MC

IA=IM; AB cắt CI tạiD

KL AD=1/3AB

Chứng minh :

+ Cách 1 : Sử dụng định lí về đờng trung bình

Kẻ ME // CD

Dễ dàng chứng minh đợc :

BE = ED; ED= AD

⇒ AD = DE = BE

Vậy AD= 1/3 AB

+ Cách 2

Từ B đờng thẳng song song với AM cắt CD tại K

Lấy điểm P và Q là trung điểm của BK và BD

Ta chứng minh đợc ∆ BPQ = ∆ ADI

⇒BQ=QD=AD

Suy ra: AD=1/3AB

A

m

i

d e

A

m

i

d k

p q

A i d

n

+ Cách 3:

Kẻ MN// AB

MN là đờng trung bình của ∆ DBC

⇒MN=12BD(1)

Dễ dàng chứng minh đợc ∆ AID = ∆ MNI(g c g )

⇒ MN=BD(2)

Từ (1) và (2) ⇒AD=1/2BD hay AD=1/3AB

II áp dụng

Tìm nhiều lời giải cho các số bài sau:

Bài 1: Tam giác có hai góc bằng nhau là tam giác cân

Bài 2: Cho ∆ABC cân ở A, trung tuyến CD, trên tia đối của tia BA lấy điểm K sao cho BK =BA Chứng minh rằng CD = 1

2CK

Bài 3 : Cho tam giác ABC vuông ở A, AC > AB, phân giác AD Đờng thẳng vuông

góc với BC ở D cắt AC ở E Chứng minh rằng BD = DE

Bài 4: Chứng minh rằng nếu một tam giác có trung tuyến cũng là phân giác thì tam

giác ấy là tam giác cân

Bài 5: Vẽ ở phía ngoài tam giác ABC các tam giác ABD và ACE vuông cân ở A

Vẽ AH vuông góc với BC Đờng thẳng HA cắt DE ở K Chứng minh rằng DK = KE

C Kết quả thực hiện:

1.Kết quả đối với học sinh:

Khi cha áp dụng đề tài trên, tôi nhận thấy phơng pháp giải bài toán của học sinh cha rõ ràng hoặc kĩ năng trình bày lời giải lủng củng, các kiến thức rời rạc, đôi khi kiến thức cơ bản còn cha vững và học sinh còn cảm thấy ngại khi học môn hình học, không tự tin khi giải bài tập, suy nghĩ lời giải còn dựa dẫm ngời khác

Sau khi áp dụng đề tài trên các nhợc điểm của học sinh nêu trên đã giảm Khi đa

ra lời giải cho một bài toán hính học 7 học sinh đã biết lựa chọn những cách giải hay ,tìm đợc hớng đi đúng khi giải quuyết vấn đề

Tỉ lệ học sinh hiểu bài,nắm kiến thức cơ bản tốt hơn, khả năng trình bày lời giải

có nhiều lời giải có nhiều tiến bộ và giờ học hình các em học sôi nổi hơn Sau đây là bảng thống kê kết quả

Năm học áp dụng Nắm vững kiến thức Trình bày lời giải Hứng thú học tập

2.Bài học kinh nghiệm:

Qua việc áp dụng đề tài , bản thân tôi rút ra đợc một số kinh nghiệm trong dạy học :

Việc giải bài toán dới nhiều cách giải khác nhau tạo cho học sinh hứng thú học tập môn hình học ,khắc sâu kiến thức cơ bản một cách có hệ thống

Giáo viên phải bám sát học sinh , tìm hiểu thông tin ngựoc từ phía học sinh để có phong pháp giảng dạy dể hiểu Giờ luyện tập ( hoặc chuyên đề , hoặc ngoại khoá ,

tự chọn ) là giờ học tạo niềm say mê toán học và bồi dỡng năng lực giải toán cho học sinh , giáo viên không nhất thiết phải giải nhiều bài tập hoặc giải bài tập một cách tràn lan không hệ thống mà cần chọn lựa bài tập phù hợp không những củng

cố kiền thức vừa học mà còn củng cố các kiến thức đã học trớc, rèn kỹ năng trình bày lời giải bài toán và cho học sinh (hoặc hoạt động nhóm) tìm các lời giải khác nhau tạo cho không khí buổi học sôi nổi hơn , vui vẻ hơn

Dới hình thức cho về nhà một bài toán và yêu cầu tìm nhiếu cách giải cũng là phát huy năng lực giải toán cho học sinh Nếu nh không có thời gian chữa trên lớp thì có thể động viên các em gặp riêng các thầy cô giáo ngoài giờ học gợi ý hoặc chữa bài cho mình Từ đó tạo ra không khí thi đua học tập trong lớp tốt hơn, và tình

Tìm nhiều lời giảicho một bài toán hình học nhằm phát triển năng lực giải toán cho học sinh không những làm cho học sinh giải đợc bài toán mà điều quan trọng là học sinh đợc củng cố kiến thức, rèn cho học sinh kỹ năng trình bày lời giải

bài toán, tìm đợc mối liên hệ, móc xích giữa các kiến thức cơ bản “Tìm nhiều lời giải cho một bài toán hình học nhằm phát triển năng lực giải toán cho học sinh lớp 7” giúp học sinh đợc mở rộng kiến thức và cũng làm cho học sinh chủ động suy

nghĩ, hứng thú hơn khi học toán, đặc biệt là môn hình học

Với đề tài "Tìm nhiều lời giải cho một bài toán hình học nhằm phát triển năng lực giải toán cho học sinh lớp 7" và tùy theo phơng pháp tổ chức của mỗi

giáo viên, tùy theo đối tợng học sinh, tôi hy vọng sẽ cung cấp ít nhiều niềm say mê yêu thích môn toán cho học sinh hiện nay

Việc đa ra một số bài toán đơn giản làm ví dụ cụ thể có nhiều cách giải và nếu tiếp tục suy nghĩ, chắc chắn chúng ta sẽ còn tìm thêm đợc nhiều cách giải khác Rất mong sự giúp đỡ của các bạn đồng nghiệp

Xin chân thành cảm ơn!

Tiên Dơng, ngày 06 tháng 4 năm 2006

Ngời viết

Nguyễn Thị Thu Hà