Ơn thi Đại học & Cao đẳng Chuyên đề: Tích phân và ứng dụngCHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG I.. và biến đổi lượng giác bằng các công thức lượng giác cơ bản.. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ D
Trang 1Ơn thi Đại học & Cao đẳng Chuyên đề: Tích phân và ứng dụng
CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
I BẢNG TÍNH NGUYÊN HÀM CƠ BẢN
Bảng 1 Bảng 2
Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x) +C
1
x C
a
1 ( ) 1
1
ax b C
1
1
x
a
ln
x
ln
mx n
x
a
a
2
1
1 cos (ax b ) 1 tan(ax b C )
a
2
1
1 sin (ax b ) 1 cot(ax b C )
a
Phương pháp 1:
Phân tích tích phân đã cho thành những tích phân đơn giản có công thức trong bảng nguyên hàm cơ bản
Cách phân tích : Dùng biến đổi đại số như mũ, lũy thừa, các hằng đẳng thức và biến đổi lượng giác bằng các công thức lượng giác cơ bản
Ví dụ : Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
1
2 2
2x 5 f(x)
x 4x 3
Phương pháp 2: Sử dụng cách viết vi phân hóa trong tích phân
Ví dụ: Tính các tích phân: 1.cos sin5x xdx 2 costgx dx
x
x
II TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG ĐN VÀ CÁC TÍNH CHẤT TÍCH PHÂN
1 Định nghĩa: Cho hàm số y=f(x) liên tục trên a b; Giả sử F(x) là một
nguyên hàm của hàm số f(x) thì:
Trang 2b ( ) ( )b a ( ) ( )
a
f x dx F x F b F a
2 Các tính chất của tích phân:
Tính chất 1 : Nếu hàm số y=f(x) xác định tại a thì : b ( ) 0
a
f x dx
Tính chất 2 : b ( ) a ( )
f x dx f x dx
Tính chất 3 : Nếu f(x) = c không đổi trên a b; thì: b ( )
a
cdx c b a
Tính chất 4 : Nếu f(x) liên tục trên a b; và f x ( ) 0 thì b ( ) 0
a
f x dx
Tính chất 5 : Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên a b; và
( ) ( ) x a;b
f x g x thì: b ( ) b ( )
f x dx g x dx
Tính chất 6 : Nếu f(x) liên tục trên a b; và
( ) ( m,M là hai hằng số)
a
m b a f x dx M b a
Tính chất 7 : Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên a b; thì
b ( ) ( ) b ( ) b ( )
f x g x dx f x dx g x dx
Tính chất 8 : Nếu hàm số f(x) liên tục trên a b; và k là một hằng số thì: b ( ) ( )b
k f x dx k f x dx
Tính chất 9 : Nếu hàm số f(x) liên tục trên a b; và c là một hằng số thì: b ( ) c ( ) b ( )
f x dx f x dx f x dx
Tính chất 10 : Tích phân của hàm số trên a b; cho trước không phụ thuộc vào biến số , nghĩa là : b ( ) b ( ) b ( )
f x dx f t dt f u du
Bài 1: Tính các tích phân sau:
a)
1
3 0
x dx
(2x 1)
b)
1 0
x dx 2x 1
c)
1 0
x 1 xdx
d)
1
2
0
4x 11 dx
x 5x 6
e)
1 2 0
2x 5 dx
x 4x 4
f)
2 0
x 2x 1
0
(sin x cos x)dx
0
4sin x dx
1 cosx
i)4 2
0
1 sin 2xdx cos x
Trang 3Ơn thi Đại học & Cao đẳng Chuyên đề: Tích phân và ứng dụng
k) 2 4
0
cos 2xdx
l)2
6
1 sin 2x cos2xdx sin x cosx
1 x 0
1 dx
e 1
n) 4(cos x sin x)dx
0
4 4
o)
4
01 2sin2
2 cos
dx x
x p)
2
02cos3 1
3 sin
dx x
x
q)
2
05 2sin
cos
dx x
x s)
0
4 dx
x x
v)
1
1 x2 2x 5
dx
Bài 2: Tính các tích phân sau:
a)
3
2
3
x 1dx
4 2 1
x 3x 2dx
c)
5 3
( x 2 x 2 )dx
d)
2
2
2 1
2
1
x
3 x 0
2 4dx
f)
0
1 cos2xdx
2 0
1 sin xdx
Bài 3:
a) Tìm các hằng số A,B để hàm số f(x) Asin x B thỏa mãn đồng thời các điều kiện f (1) 2 ' và
2 0
f(x)dx 4
b) Tìm các giá trị của hằng số a để có đẳng thức :
2
0
[a (4 4a)x 4x ]dx 12
III TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ :
1) DẠNG 1:Tính I =
b
' a
f[u(x)].u (x)dx
Công thức đổi biến số dạng 1:
) ( ) (
) ( )
( ' )
a u
b
a
dt t f dx
x u x u f
Cách thực hiện:
Bước 1: Đặt t u(x) dt u' (x)dx
Bước 2: Đổi cận : x x a b t t u u((b a))
Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được
) ( ) (
) ( )
( ' )
a u
b
a
dt t f dx x u x u f
Bài 4: Tính các tích phân sau:
a) 2 3 2
0
cos xsin xdx
0
cos xdx
0
sin 4x dx
1 cos x
d)
1
0
x 1 x dx
e) 2 2 3
0
sin 2x(1 sin x) dx
0
1 dx cos x
Trang 4g) e
1
1 ln xdx
x
h) 4
0
1 dx cosx
i) e 2
1
1 ln xdx x
k)
1
0
x (1 x ) dx
0
cosx dx
6 5sin x sin x
0
tg x dx cos2x
m) 4
0
cos sin
3 sin 2
x x dx
x
n)
2
4 1 sin2
cos sin
dx x
x x
o) 4
0
8 ) 1
(
dx x
p)
2
0 ( 2 sin )2
2 sin
dx x
x q)
3
4
2 sin
) ln(
dx x
tgx
2) DẠNG 2: Tính I =
b a
f(x)dx
bằng cách đặt x = (t)
Công thức đổi biến số dạng 2:
t t dt f
dx x f
a
) ( ' ) ( )
(
Cách thực hiện:
Bước 1: Đặt x (t) dx ' (t)dt
Bước 2: Đổi cận :
t
t a x
b x
Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được
t t dt f
dx x f
a
) ( ' ) ( )
Bài 5: Tính các tích phân sau:
a)
1
2 0
1 x dx
1 2 0
1 dx
1 x
1
2 0
1 dx
4 x
d)
1
2
0
1 dx
x x 1
e)
1
0
x x 1
f) 2
0
1
1 cosx sinx dx
g)
2
2
2
2 0
x dx
1 x
2
1
x 4 x dx
i)
2 3 2 2
1 dx
x x 1
k) 3 2 2
1
9 3x dx
x
l)
1
5 0
1 (1 x dx)
x
m)
2 2 2 3
1
1dx
x x
n) 2
0
cos
7 cos2
x dx x
6 0
1
1 x dx x
p) 2
0
cos
1 cos
x dx x
q)
0
1x2 2x 2
dx
s)
1
0 1 1 3x
dx
v)
2
1 5
1
dx x
x
x
Trang 5Ơn thi Đại học & Cao đẳng Chuyên đề: Tích phân và ứng dụng
Bài 6: Tính các tích phân sau:
a) 8 2
3
1
1dx
x x
b) 7 3 3 2
x dx x
c) 3 5 2
0
1
x x dx
d)
ln2
x
0
1 dx
e 2
e)
7 3 3 0
1
3 1
x
f)
2
0
1
x x dx
V TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
Công thức tích phân từng phần:
b
a
b
a
b
a v x u x dx x
v x u dx x v x
Hay:
b
a
b
a
b
a vdu v
u
Cách thực hiện:
Bước 1: Đặt u dv u v('x()x)dx v duv(u x')(x)dx
Bước 2: Thay vào công thức tích phân từng từng phần :
b
a
b
a
b
a vdu
v
u
Bước 3: Tính b
a v
u. và
b
a
vdu
Bài 7: Tính các tích phân sau:
a)
2
5
1
ln xdx
x
b) 2 2
0
x cos xdx
c)
1 x 0
e sin xdx
d)
2
0
sin xdx
e)
e 2 1
x ln xdx
f) 3 2
0
x sin xdx cos x
0
xsin x cos xdx
0
x(2 cos x 1)dx
1
ln(1 x)dx x
k)
1
2 2x 0
(x 1) e dx
l)
e
2 1
(x ln x) dx
m) 2
0
cosx.ln(1 cosx)dx
1
ln
( 1)
e
e
x dx
x
o)
1 2 0
xtg xdx
p)
2 0
) 1 ln(
) 7 2
q)
1
0
2) 1
ln( x dx
x s)
e
dx x
x
1
ln
v)
2
0
3 )sin
cos
(
xdx x
x
Trang 6
VI MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍCH PHÂN QUAN TRỌNG VÀ ỨNG DỤNG Bài 8: 1) CMR nếu f(x) lẻ và liên tục trên [-a;a] (a>0) thì:
a a
f(x)dx 0
2) CMR nếu f(x) chẵn và liên tục trên [-a;a] (a>0) thì:
f(x)dx 2 f(x)dx
Bài 9: CMR nếu f(t) là một hàm số liên tục trên đọan [0,1] thì:
f(sin x)dx f(cosx)dx
xf(sin x)dx f(sin x)dx
2
ÁP DỤNG Tính các tích phân sau:
0
cos x dx với n Z
cos x sin x
0
cos x dx cos x sin x
0
sin x dx sin x cos x
d) 5
0
xsin xdx
e) 2 2
2
4 sinx cosx dx
x
1 4 2 1
sin 1
x
0
xsin x dx
4 cos x
h) 4 3
0
cos sin
Bài 10: CMR nếu f(x) liên tục và chẵn trên R thì:
0
( ) ( ) với R và a > 0 1
x
f x dx f x dx a
ÁP DỤNG : Tính các tích phân sau:
1)
1 2 1x
x dx
2) 1 2
1
1
1 2x dx x
3) sin3 1x 2 x dx
VII ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG :
Công thức:
b
a
dx x g x f
S ( ) ( )
Bài 11: Tính diện tích của các hình phẳng sau:
b x
a x
x g y
C
x f y
C H
:
) ( :
) (
) ( :
) (
: ) (
2 2
x
y
)
(H
) ( :
) (C1 yf x
) ( : ) (C2 yg x
a
O
Trang 7Ơn thi Đại học & Cao đẳng Chuyên đề: Tích phân và ứng dụng
1) (H1):
1 :
) (
2 :
) (
: ) (
x d
e y
2) (H2):
)
(
2 :
)
(
:
)
(
Ox
x y
d
x y
C
3) (H3):
2
y 2y x 0
x y 0
4) (H4):
2 2
y x
5) (H5): y xy 2 x2
6) (H6):yx y 3 02 x 5 0
7) (H7):
ln x y
2 x
y 0
x e
x 1
8) (H8) :
2 2
y x 2x
y x
VIII ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY Công thức:
V b f x dx
a
2
) (
Bài 1: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : x2 + x - 5 = 0 ; x + y - 3 = 0
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 2: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : y (x 2) 2 và y = 4
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 3: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : y 4 x y x2 ; 2 2
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 4: Cho miền D giới hạn bởi các đường : 2 1 ; 2
x
x
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
IX ĐỀ THI ĐẠI HỌC CHUNG CỦA BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
Bài 1: (A-2002) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
2
yx x y x
Bài 2: (B-2002) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
2
x
4 và
2
x y
4 2
Bài 3: (D-2002) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
3x 1
) ( :
) (C yf x
b
a
x
b
x
x y
O
Trang 8Bài 4: (A-2003) Tính tích phân: I =
3 2
5 x x2 4
dx
Bài 5: (B-2003) Tính tích phân: I =
4 0
2
2 sin 1
sin 2 1
dx x x
Bài 6: (D-2003) Tính tích phân: I =x x dx
2 0
2
Bài 7: (A-2004) Tính tích phân: I =
2
1 1 x 1dx
x
Bài 8: (B-2004) Tính tích phân: I =
1
1 3ln ln
e
x x dx x
Bài 9: (D-2004) Tính tích phân: I =
3 2
ln(x x dx
Bài 10: (A-2005) Tính tích phân: I =
2
0 1 3 cos
sin 2
sin
dx x
x x
Bài 11: (B-2005) Tính tích phân: I =
2
0 1 cos
cos 2 sin
dx x
x x
Bài 12: (D-2005) Tính tích phân: I =2
0 sin cos )cos (
xdx x
Bài 13: (A-2006) Tính tích phân: I =
2
0 cos2 4 sin2
2 sin
dx x x
x
Bài 14: (B-2006) Tính tích phân: I =
5 ln 3
ln e x 2e x 3
dx
Bài 15: (D-2006) Tính tích phân: I =
1 0
2
) 2 (x e x dx
Bài 16: (A-2007) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
( 1) , (1 x)
y e x y e x
Bài 17: (B-2007) Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường: yxln ,x y 0,x e Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox
Bài 18: (D-2007) Tính tích phân: I = 3 2
1
ln
e
x x dx
Bài 19: (A-2008) Tính tích phân: I =6 2
0
tan cos 2
x dx x
Bài 20: (B-2008) Tính tích phân: I =4
0
sin( )
4 sin 2 2(1 sin cos )
Bài 21: (D-2008) Tính tích phân: I =
2 3
ln x dx x
Trang 9Ơn thi Đại học & Cao đẳng Chuyên đề: Tích phân và ứng dụng
Bài 22: (A-2009) Tính tích phân: I =2 3 2
0
(cos x 1) cos xdx
Bài 23: (B-2009) Tính tích phân: I =
3
2 1
3 ln ( 1)
x dx x
Bài 24: (D-2009) Tính tích phân: I =
3
1 x 1
dx
e
-0
