4 Ứng dụng của tích phân PHẦN 2: PHÂN DẠNG BÀI TẬP TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG A/ TÍCH PHÂN... x x I =∫1 + + 0 1 Hướng dẫn, ta thấy tích phân đã cho có dạng phân thức có tử là hằng số và mẫu l
Trang 1PHẦN I: CƠ SỞ LÝ LUẬN
1) Nguyên hàm thừa nhận
2) Tính chất của tích phân
3) Phương pháp tính tích phân
4) Ứng dụng của tích phân
PHẦN 2: PHÂN DẠNG BÀI TẬP TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
A/ TÍCH PHÂN Để tính =∫b ( )
a
dx x f I
−
= 1
1
2 2
x x x
Hướng dẫn: Nhận thấy các hàm số trong dấu tích phân có thể sử dụng các tích phân thừa nhận để tính.
Ta có,
1
1
2 3
4 1
1
2 2
3
2 ln 3 3
2 4
3 2
−
x x
x dx e x x x I
2 2
2
2
1 2 3
4 2
0 3 3
2 4
1 2 0 3 3
2 4
1
e
e e
+ + −
−
= 2
1
2
x x x I
) (
) (
x h
x g x
f = (tích phân phân thức)
TH1: Nếu h( )x =ax+b⇒ chia đa thức g (x) cho h( )x đưa về tích phân thừa nhận
a b ax d a x b d b x d x d
dx= − − = ± = − − = 1 ± = −1 −
x
x x x
I =∫1 − ++ −
0
2 4
1
7 5 3 2
Hướng dẫn, ta thấy tích phân đã cho có dạng phân thức có tử là một đa thức còn mẫu số là nhị thức nên để đưa về tích phân thừa nhận thực hiện chia tử cho mẫu.
+
− +
−
−
= +
− +
−
0
2 3 1
0
2 4
1
13 6 2
2 1
7 5 3 2
dx x x
x x dx
x
x x x I
= 1
0
1 0
2 3
1
1 13
6 2
2
x
x d dx
x x x
[ ] 13 ln 2
3
16 0 2 ln 13 0 6 2
1 3
2 2 1
1 ln 13 6
2 3
2 2
1 0 1
0
2 2 4
−
=
−
−
− − + −
=
+
−
x
x x x
I =∫2 − − + −
1
2 3
2 1
6 2 5 4
viết dx d(1 2x)
2
−
=
TH2: Nếu h( )x =ax2 +bx+c có ∆ =b2 − 4ac và g( )x =k là hàm hằng
Trang 2(1) Nếu ∆ > 0 : Ta có, 2 + + = ( − 1)( − 2) = ( 1− 2) − 1 − − 2
1 1
x x x x x x a
k x
x x x a
k c
bx ax
k
với
2
x >
⇒đưa về ∫du u để tính
x x
I =∫1 + −
0
1
Hướng dẫn, ta thấy tích phân đã cho có dạng phân thức có tử là hằng số và mẫu là tam thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt, ta sử dụng ứng dụng của định lý viets phân tích tam thức thành nhân tử chung sau đó tách thành hai phân thức có mẫu là nhị thức để tính.
+
−
−
=
− +
0
1 0
1 2
1 5
1 6
1
dx x
x
dx x x I
2
3 ln 5
1 3 ln 4 ln 5
1 2 ln 0 5 1
3 ln 5
1 2 ln 5
1 3
3 5
1 2
2 5
0
1 0
1 0
1 0
=
−
−
−
=
+
−
−
= +
+
−
−
−
x
x d x
x d
x x
I =∫1 − + +
0
3 1
(2) Nếu ∆ = 0
Ta có + + = ( − )2 ⇒
0 2
x x a
k c
bx ax
k
đưa về ∫ = −
u u
2
x x
I ∫
= 0
1
1
Hướng dẫn, ta thấy tích phân đã cho có dạng phân thức có tử là hằng số và mẫu là tam thức bậc hai có nghiệm kép, ta biến đổi tam thức về dạng bình phương của một biểu thức để tính.
1 2
1 1 1
1 1
1 1
2
1
0
1 2
0 1
−
−
−
−
=
−
−
=
−
−
= +
−
x d dx x x I
x x
I ∫
= 0
1
3 1
(3) Nếu ∆ < 0
d u
k c
bx ax
k
+
= + + trong đó, u=u( )x,d = hằng số
⇒ sử dụng phương pháp đổi cơ số và đặt u=dtant
x x
I =∫1 + +
0
1
Hướng dẫn, ta thấy tích phân đã cho có dạng phân thức có tử là hằng số và mẫu là tam thức bậc hai vô nghiệm, ta biến đổi tam thức về dạng bình phương của một biểu thức cộng với một số không đổi để tính.
Trang 3Ta có, ∫ ∫
+
+
= + +
0
2 1
0
2
4
3 2
1 1
1
x
dx dx
x x
I
t
dt dx
t
2
3 cos
2
3 tan
2
3 2
=
⇒
= +
Đổi cơ số:
3
1 6
0⇒ =π = ⇒ =π
x
−
=
=
= +
+
= 3
6
3
6 3
6 2
2
3 3 6 3 3
2 3
2 3
2 4
3 tan 4 3
1 tan 2
3
π
π
π
π
π
π
π π
π
t dt
t
dt t I
x x
I ∫
= 0
1
3 1
TH3: Nếu h( )x =ax2 +bx+c có và g( )x =mx+n
+ +
+ + +
= + +
+
c bx ax
B c bx ax A c bx ax
n mx
2
2 2
'
Đồng nhất tìm A, B Đưa tích phân đã cho
về sử dụng ∫ =∫
u
du u
dx u'
và TH2
x x
x
I =∫1 +− +
0
1
Hướng dẫn, ta thấy tích phân đã cho có dạng phân thức có tử là nhị thức và mẫu là tam thức bậc hai, ta biến đổi đồng nhất đưa về trường hợp 2 để tính.
−
=
=
⇒
−
= +
=
⇒ + +
+ +
= + +
+ +
= + +
−
2 3 2 1 1
1 2 1
2 1
1 2 1
1
2 2
2
B
A B
A
A x
x
B A Ax x
x
B x
A x
x
x
+ +
+ +
= + +
− + +
+
= 1
0
1 0 2
2 1
0 2 2
3 3 2
3 1
1 2
1 1 2
3 1
1 2 2
x x
x x d x
x
dx x
x
dx x I
(sử dụng kết quả quả ví dụ 5)
3 2 3 ln 2
1 3 2 1 ln
2
0
=
x x
x
I ∫
+
= 0
1
3
1 2
TH4: Nếu h( )x =ax2 +bx+c có và g( )x có bậc lớn hơn hoặc bằng bậc của h( )x
⇒ Chia đa thức g( )x cho h( )x đưa về TH2 hoặc TH1
x x
x x x
I =∫1 − + +− −
0
2
2 3
6
5 7 4 2
Hướng dẫn, ta thấy tích phân đã cho có dạng phân thức có tử là đa thức có bậc lớn hơn bậc của mẫu và mẫu là tam thức bậc hai, ta thực hiện phép chia đa thức đa thức tử cho đa thức mẫu và đưa về TH 2 và TH3 để tính.
Ta có,
1
1 5
3 1
4 3 2 3
2 2
2 3
+ +
− + +
−
= +
+
+ + +
−
x x
x x
x x
x x x
Trang 4Khi đó, ( ) ( )
3 2 3 ln 2
1 5
2
3 1
1 5
3
1
0
2 1
0
1 0 2
π
− +
− +
= + +
− + +
−
x x
dx x dx x I
(sử dụng kết quả của TH3)
3 2 3 ln 2
1 2
7 3 2 3 ln 2
1 5 2
− +
=
TH5: Nếu h( )x phân tích các bậc nhất thì đồng nhất thành các phân thức có mẫu là từng bậc nhất Nêu bậc nhất có luỹ thừa bậc cao đồng nhất thành các phân thức có luỹ thừa từ bậc cao giảm dần xuống bậc 1 Tương tự, với mẫu bậc hai và thêm phân thức đạo hàm mẫu trên mẫu (Không thi đến)
1
2 x 1
x
dx I
Hướng dẫn, ta thấy tích phân đã cho có dạng phân tích về tích và luỹ thừa của các nhị thức nên động nhất ta được.
=
−
=
=
⇒ +
+ + + +
= + + +
= +
1 1
1 1
1 1
1
2
2 2
2
C A
B x
x
B x B A x C A x
C x
B x
A x
x
+ + +
−
1
4 1
4 1 2 4
1
1 1
1 1 1
x
x d x
dx x
dx dx
x x x I
8
5 ln 4
3 2 ln 5 ln 1 4
1 4 ln 1
ln
1
1 4
1
4
−
−
−
= + +
−
−
x x
Bài tập tương tự: Tính (x ) (x )dx
x
I ∫
+
= 0
1 3
2
3 1
1
Dạng 4 Tích phân chứa căn thức.
Tìm tích phân =∫b ( )
a
dx x f
I trong đó f( )x không chứa a2 −x2 , a2 +x2 , x2 −a2
có dx đi cùng x có luỹ thừa bậc chẵn ⇒ Sử dụng tích phân đổi cơ số và đặt u = căn thức
ĐẶC BIỆT
• Nếu f( )x chứa a2 −x2 , a2 +x2 , x2 −a2 có dx đi cùng x có luỹ thừa bậc chẵn
⇒ Sử dụng phương pháp đổi cơ số và đặt
=
t a
t a
t a x
cos
tan cos
• Nếu f( )x chứa căn trong biểu thức dưới mẫu nên nhân liên hợp trước khi nhận dạng để sử dụng phép đặt
0
7 8 8
8 1
0
x I
Trang 5Hướng dẫn, ta thấy tích phân có chứa căn thức không phải tích phân đặc biệt nên ta sử dụng phương pháp đổi cơ số để tính và đặt u chính là căn thức trong dấu tích phân.
4 4
1
u
Đổi cơ số, x= 0 ⇒u = 1và x= 1 ⇒u= 2
Khi đó,
30
2 3
1 5
1 3
2 2 5
2 4 4
1 3
5 4
1 1
4
1 4 1
2
1
3 5 2
1
2 2 2
1
−
−
−
=
−
=
−
=
−
= ∫ u u udu ∫ u u du u u
I
Bài tập tương tự: Tính =∫3 ++
7
0 3 3 1
1
dx x
x
−
3
4 3
xdx x
x
dx I
Đặt
−
=
−
=
⇔
−
=
⇒
−
16 16
16
u x
udu xdx
x u
x
Đổi cơ số, x= 2 3 ⇒u= 2 ,x= 4 ⇒u= 0
Khi đó, ∫ ( ) ∫ ∫ ( )( ) ∫ + +
−
= +
−
=
−
=
−
−
= 0
2
2 0
2 0
2 0 2
1 4
1 8
1 4
4 16
du u
du u
u
udu I
8
1 4
ln 4
ln 8
1 4
4 4
4 8
0 2
0
=
−
− +
=
−
−
− +
+
u
u d u
u d
3
dx I
2 nhưng lại có dx đi cùng x có luỹ thừa bậc chẵn nên ta sử dụng phương pháp đổi
cơ số để làm và đặt x=acost .
Đặt
=
−
=
−
−
=
⇒
=
t t
x
dt t dx
t x
sin 4 cos 16 16 16
sin 4 cos
4
2 2
6 2
3 cos 3
Khi đó, =∫0− = ∫ = =
6
6 0 6
sin 4
sin 4
π
π
π
π
t dt t
dt t I
2 2
dx x
x
cùng x có luỹ thừa bậc chẵn nên ta sử dụng phương pháp đổi cơ số để làm và đặt
t
a
x
cos
Trang 6Đặt
=
−
=
−
=
⇒
=
t t t
t x
x
t
tdt dx
t
x
cos sin 3 1 cos
3
3 cos
3 3
cos
sin 3
cos 3
2
2 2
2
2
3
1 tan 1 , 0 0
tan
x
=
−
=
=
0
6 0
2 6
0
2 6
0
cos
1 cos
cos 1 cos
sin cos
sin 3 cos sin 3 1
π π
π π
dt t t
dt t
t dt
t
t dt
t
t t
t I
Tính
−
+ +
=
−
=
=
0
6 0
6 0
2 6
0 2 6
0
1
sin 1
sin sin
1
sin 2
1 sin 1
sin cos
cos cos
π π
π
t
t d t
t d t
t d dt
t
t t
dt I
2
1 sin
1 ln sin 1 ln 2
1 sin
1
sin 1 sin
1
sin 1 2
0 6
0
6 0
=
−
− +
=
−
−
− +
+
t t
t
t d
t
t d
Tính
2
1 sin
0 6
0
π
t tdt I
Vậy,
2
1 3 ln 2
1
2
=I I
I
Bài tập tương tự: Tính
1
2 0
1 dx
4 x −
1
x 1 dx x
+
3 2 2
1 dx
∫ Chú ý:
(1) Đối với tích phân chứa căn ở biểu thức dưới mẫu nên sử dụng nhân liên hợp để
đưa về tích phân có dạng trên để tính
(2) Đối với tích phân chứa căn bậc hai mà trong căn là một tam thức bậc hai đưa
biến đổi đưa về dạng a2 −u2 , a2 +u2 , u2 −a2 trong đó, u là một biểu thức của
x và a là một số không đổi Sau đó nhận dạng để tính
Ví dụ 13: Tính tích phân ∫
= 1
dx
Hướng dẫn, ta thấy tích phân đã cho có chứa căn ở biểu thức dưới mẫu Do
đó, ta sử dụng nhân liên hợp để đưa về tích phân có các dạng như ở các trường hợp trên
−
−
−
−
−
+
− +
= +
− +
= + + +
1
2 1
1
1 1
1 1
2 1
1 2
1 2
1 2
1 2
1 1
1
x dx
x
dx dx
x
x x
x x
dx I
Tính ∫
=
=
= 1
1
1 1
x
dx
I
1
1
−∫dx x
I
Hướng dẫn, sau khi liên hợp song, ta thấy tích phân đã cho đưa về các tích
luỹ thừa bậc lẻ Do đó, để tính ta lại đặt cả căn làm ẩn phụ.
Trang 7Tính ∫ ∫
−
−
+
=
+
1 2
2 1
1
2 3
1 1
x
xdx x dx
x
x I
Đặt
−
=
=
⇔ +
=
⇒ +
=
1 1
u x
udu xdx x
u x u
Đổi cơ số: x= − 1 ⇒u= 2 ,x= 1 ⇒u= 2
−
= 2
2 2
2
1
u
du u I
2
1 2
1
= I
Ví dụ 14: Tính tích phân ∫
= 1
dx
Hướng dẫn, ta thấy tích phân đã cho có chứa căn và trong căn là tam thức bậc hai Do đó, ta thực hiện biến đổi dồn biến x vào thành bình phương của một biểu thức.
Ta có,
( )
∫
∫
−
1
dx x
x
dx I
dx đi với x có luỹ thừa bậc chẵn Nên ta sử dụng phương pháp đổi cơ số và đặt
t
a
Đặt
( )
= +
= + +
=
⇒
= +
t t
x
t
dt dx
t x
cos
2 4 tan 4 4 1 cos
2 tan
2 1
2 2
2
Đổi cơ số:
4 1
, 0
1⇒ = = ⇒ =π
−
x
cos
2 cos
2 0
cos 4
;
Khi đó, [ln 1 sin ln 1 sin ] ln(1 2)
2
1 cos cos
2 cos
2
4 0 4
0
4 0
2
+
=
−
− +
=
=
t t
t dt t
t
dt I
(Sử dụng kết quả của ví dụ 12)
Ví dụ 15: Tính tích phân I ∫ x x dx ∫ (x ) dx
−
−
−
−
= +
−
1
2 2
1
4
dx đi với x có luỹ thừa bậc chẵn Nên ta sử dụng phương pháp đổi cơ số và đặt
t
a
=
−
=
−
−
−
=
⇒
=
−
t t
x
tdt dx
t x
sin 3 cos 9 9 2
9
sin 3 cos
3 2
2 2
Đổi cơ số:
2 2
,
1⇒ =π = ⇒ =π
−
x
Vì t ; sint 0nên3 sint 3 sint
∈ π π
Trang 8Khi đó, ( ) ( )
4
9 2
sin 2
1 2
9 2
cos 1 2
9 sin
9 sin
3 sin 3
2 2
2
2
π
π
π
π
π
π
π
=
−
=
−
=
=
−
I
Bài tập tương tự:
Dạng 5: Nếu f( )x = g( ) ( )x.h x trong đó, g( )x là hàm đại số còn h( )x là một trong các hàm số lượng giác, mũ (cơ số e) và lôgarit (lôgarit tự nhiên = ln).
mu hoăo là
x h
sô đai là x g
lg ) (
) (
đặt
=
=
⇒
=
=
∫h x dx v
dx x g du dx
x h dv
x g u
) (
) ( ' )
(
) (
(tính ra kết quả của đạo hàm g ' x( ) và nguyên hàm của h (x))
Khi đó, =∫ = −∫b
a
b a
b a
vdu uv
udv
Ví dụ 1: Tính tích phân =∫2( − )
0
2 sin 3 2
π
xdx x
I
Hướng dẫn: Ta thấy, tích phân đã cho có dạng tích của một hàm đại số và hàm lượng giác nên ta sử dụng tích phân từng phần để tính.
Đặt
−
=
=
⇒
=
−
=
x v
dx du xdx
dv
x u
2 cos 2 1
2 2
sin
3 2
= +
−
−
0
2 0
2 0
3 2 2
sin 2
1 2
3 3 2
1 2
cos 2
cos 3 2 2 1
π
π
xdx x
x I
0
2
2 2x e dx x
Hướng dẫn ta thấy tích phân đã cho có dạng tích của hàm đại số với hàm số
mũ nên ta sử dụng tích phân từng phần để tính.
Đặt
( )
=
+
=
⇒
=
+
=
x
dx x du dx
e dv
x x u
2 2
2
2 1
1 2 2
Khi đó, = ( + ) −∫ ( + ) = − −
2 0
2 2
1 0
2
2
3 1
2 2
1
π
I e
dx e x e
x x
Sau khi sử dụng công thức tích phân từng phân cho tích phân đã cho ta đưa đến một tích phân mới vẫn có dạng tích của hàm đại số với hàm số mũ nên ta tiếp tục sử dụng tích phân từng phần để tính để phân mới xuất hiện Khi sử dụng hai
Xét =∫1( + )
0
2
1
Đặt
=
=
⇒
=
+
=
x
dx du dx
e dv
x u
2 1
1 2
1
1
2 1 1
Trang 9Khi đó, ( )
4
1 4
3 4
1 4 2
1 4
2
1 2
1 1
2
1 '
2 2
2 1
0
2 2
1 0 2 1
0
−
−
−
=
−
−
=
− +
I
x x
x
Vậy,
4
1 4
3 4
1 4
3 2
3 ' 2
+
= +
−
=
−
I
ln ) (
) (
là x h
sô đai là x g
đặt
=
=
⇒
=
=
∫g x dx v
dx x h du dx
x g dv
x h u
) (
) ( ' )
(
) (
(tính ra kết quả của đạo hàm h ' x( ) và nguyên hàm của g (x))
Khi đó, =∫ = −∫b
a
b a
b a
vdu uv
udv
Ví dụ 1: Tính tích phân I (3x 2x 1)ln(x 1)dx
1 0
=∫
Hướng dẫn ta thấy tích phân đã cho có dạng tích của hàm đại số với hàm số lôgarit nên ta sử dụng tích phân từng phần để tính.
+
−
= +
=
⇒
+
−
=
+
=
x x x v x
dx du dx
x x dv
x u
2 3
1 2 3
1 ln
Khi đó, =( − + ) ( + ) −∫1 − + +
0
2 3 1 0 2
3
1 1
x
x x x x
x x x I
−
=
+
− +
−
−
−
0
1
0 2
3
3
7 2 ln 3
7 2 ln 1
ln 3 3 3
2 ln 1
3 3 2 0
2
x x
x
Dạng 6: Tích phân lượng giác.
TH1: Biến đổi lượng giác đưa về thừa nhận (Không thi vào)
TH2: Biến đổi lượng giác đưa biểu thức trong dấu tích phân biểu diễn theo sinx và
cosx Khi đó, f( )x = f(sinx, cosx)
⇒ Sử dụng phương pháp đổi cơ số để tính và đặt
+
−
=
+
= +
=
⇒
=
2 2 2 2
1
1 cos
1
2 sin
1 2
2 tan
t
t x t
t x t
dt dx
x
phân đại số để làm
ĐẶC BIỆT
• Nếu f(− sinx, cosx)= −f(sinx, cosx)⇒ đặt t= cosx
• Nếu f(sinx, − cosx)= −f(sinx, cosx)⇒ đặt t = sinx
• Nếu f(− sinx, − cosx)= f(sinx, cosx)⇒ đặt t= tanx
Ví dụ: Tích tích phân
0
1
3 sin cos
2
π
x x dx I
Trang 102) dx
x x
x x
I =∫2 ++
0 sin 2 cos
sin 2
cos
π
3) =∫2 + +
sin 2
sin
π
dx x
x x
I
4
2
cos
2 sin
π
π
dx x x
x
6
2
3 sin sin
π
xdx I
Dạng 6: Tích phân chứa trị tuyệt đối.
Bước 1: Phá dấu giá trị tuyệt đối
Bước 2: Đưa ra dấu của biểu thức [ ]a; b
Bước 3: Tách tích phân đã cho thành các tích phân theo dấu ở bước 2
Trang 11Ví dụ: Tính tích phân
1) =∫4 − −
0
2x x dx
I
2) ∫
−
−
= 2
2
2
1
3 2
dx x
x x
I
3) ∫
−
+
−
−
= 2
1
2
x
I
Bài tập tương tự: =∫2 −
0
2 x dx x
I
Dạng 7: Một số dạng tích phân khác.
TH 1: Tích phân của hàm số mũ và biểu diễn theo một hàm số mũ ( )e x
⇒ Sử dụng phương pháp đổi cơ số để làm và đặt u=e x
Ví dụ 1: Tính tích phân =ln∫5 + − −
3
ln e x 2e x 3
dx I
Ví dụ 2: Tính tích phân
∫ +
=ln3
x
e
dx e I
Bài tập tương tự: =ln∫2 −+
0
2
1dx
e
e
x
∫ + ++
= 1
0
2 2
2 1
2
dx e
e x e x
x x
TH 2: Tích phân chứa lnx và
x
dx
⇒ Sử dụng phương pháp đổi cơ số và đặt u= lnx
Ví dụ 1: Tính tích phân ( )
∫
x
x I
1
ln sin
Ví dụ 2: Tính tích phân =∫ ( + )
e
dx x
x I
1
2
ln 2 2 ln
Bài tập tương tự: =∫e + dx
x
x x
I
1
3 2 ln 2
ln
−
e
xdx x
x
1
ln
3 2 ( )
= 2
1
2
1
ln
dx x
x
e
dx x
x I
ln
, =∫e + xdx
x
x I
1
2
ln 1
B/ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
I/ Ứng dụng trong vật lý
II/ Ứng dụng trong toán học
Trang 12Dạng 1: Hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y= f( )x , hai đường thẳng
b
x
a
x= , = và trục hoành ⇒ diện tích =∫b ( )
a
dx x f S
Chú ý: Nếu đề bài yêu cầu tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi một đồ thị hàm
số và trục hoành thì cận a, b là nghiệm của phương trình f( )x = 0
Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y =x3 − 5x2 + 4x và hai đường thẳng x= − 1 x= 2, trục hoành
Ví dụ 2:(D-2012) Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số
1
1
3
−
−
−
=
x
x
y và hai trục toạ độ
Chú ý: Nếu đề bài yêu cầu tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi một đồ thị
trình f(x) = 0 và hai đường thẳng x=a,x=b chính là nghiệm của phương trình.
Dạng 2: Hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y= f( )x ,y= g( )x và hai
đường thẳng x=a,x=b⇒diện tích =∫b ( ) ( )−
a
dx x g x f S
Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = 2 −x2 ,y=x
và hai đường thẳng x= 0 ,x= 1
Ví dụ 2: (A-2014)Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đường cong
3
2 − +
=x x
y và đường thẳng y= 2x+ 1
Chú ý: Nếu đề bài yêu cầu tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số mà không có hai đường thẳng x=a,x=b Đi giải phương trình f(x) =g(x)
và hai đường thẳng x=a,x=b chính là nghiệm của phương trình.
Ví dụ 3:(A-2007) Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường thẳng
(e )x y ( e )x
y = + 1 , = 1 + x
Ví dụ 4:(B-2002) Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số
2 4
,
4
4
2
y
x
Ví dụ 5: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số ( 8 7)
3
1 2 − +
−
y
và
3
7
−
−
=
x
x
y
Cách khác: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x),y= g(x) Dựa vào sự tương giao của hai đồ thị
để đưa ra tích phân Thường sự dụng khi việc giải phương trình f(x) =g(x)khó khăn
và phá dấu trị tuyết đối khó khăn
Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x2 − 4x+ 3 và
3
+
=x
Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị hàm số
x y
x
y
x
27
,
2
=
Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị hàm số
x
y x y
x
y
x
4
,
2
=