Đề toán ôn thi vào lớp 10

Chứng minh các điểm M, G, D, H cùng nằm trên một đờng tròn.. Viết phơng trình đờng thẳng song song với d và tiếp xúc với P.. Chứng minh khi A thay đổi trên cung BFC thì đờng thẳng d luôn

đề thi tuyển sinh vào lớp 10

môn toán

( Thời gian làm bài 150 phút )

Câu 1: ( 3 điểm )

Cho parabol y = x2 và điểm A( 1; 4 )

1 Điểm A( 1; 4 ) có thuộc parabol y = x2 không ? Tại sao ?

2 (d) là đờng thẳng đi qua A( 1; 4 ) và có hệ số góc bằng k Lập phơng trình của đờng thẳng (d)

a. Với k = 2, hãy tìm toạ độ giao điểm của (d) với parabol y

= x2

b. Chứng tỏ rằng với mọi giá trị của k , đờng thẳng (d) luôn cắt parabol

y = x2

Câu 2 : ( 2 điểm )

Giải các phơng trình sau:

1 x- 2 = x

2 x+ 2 + 6 −x= 4

Câu 3: (4 điểm )

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn tâm O M là một điểm thuộc cung CD ( cung không chứa đỉnh nào của tứ giác ) Gọi E, F, G, H lần lợt là hình chiếu vuông góc của M trên các đờng thẳng AB, BC,

CD và DA

1 Chứng minh các điểm M, G, D, H cùng nằm trên một đờng tròn Xác định tâm của đờng tròn đó

2 Chứng minh góc MHG và góc MEF bằng nhau

3 Chứng minh : ME MG = MF MH

Câu 4: (1 điểm)

Cho a, b, c là ba số đôi một khác nhau thoả mãn :

m.a2+ n.a + p = 0

m.b2+ n.b + p = 0

m.c2+ n.c + p = 0

Chứng minh : m = n = p = 0

đề thi tuyển sinh vào lớp 10

môn toán

( Thời gian làm bài 150 phút )

Câu 1 : (2 điểm)

Rút gọn các biểu thức sau:

1

1 + 2

2 2 + 3

− 1

− 2

1

=

A

2

2

3

− 2

3

− 2

=

B Câu 2 : ( 2 điểm )

Giải các phơng trình sau:

a 2x+ 1 +x− 1 = 0

b 3x2 + 2x= 2 x2 +x+ 1 −x

Câu 3: (2 điểm )

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho Parabol (P) : y = 2x2 và đờng thẳng :

y = kx + 4 +k ( k là tham số )

1 Tìm giá trị của k để đờng thẳng đi qua đỉnh của Parabol (P), gọi đờng thẳng trong trờng hợp này là (d) Tìm toạ độ giao điểm thứ hai của (d) và (P)

2 Viết phơng trình đờng thẳng song song với (d) và tiếp xúc với (P)

Câu 4: (4 điểm)

Cho đờng tròn (O) và đờng tròn (O’) cắt nhau tại A và B Kẻ cát tuyến CAD

( C trên đờng tròn O, D trên đờng tròn O’ )

1 Chứng minh các góc của tam giác BCD không đổi khi cát tuyến quay quanh điểm A

2 Kẻ các đờng kính COC’, DO’D’ Chứng minh A, C’, D’ thẳng hàng

3 Xác định vị trí của cát tuyến CAD sao cho đoạn thẳng CD là lớn nhất ở vị trí CD lớn nhất hãy chứng minh diện tích tam giác BCD bằng 4 lần diện tích tam giác OAO’

4 Biết bán kính các đờng tròn (O), (O’) lần lợt là r, r’ và góc OAO’

= 900

2 + +

=

2 r ' r r ,

r B

D ˆ C tg

đề thi tuyển sinh vào lớp 10

môn toán

( Thời gian làm bài 150 phút )

Câu 1 : (2 điểm)

Cho biểu thức :









2

−

1 +

− 1

−

2 +













1

−

1

−

1

=

x

x x

x : x x

x ≠ 4 )

1 Rút gọn A

2 Tìm x để A = 0

Câu 2 : ( 3,5 điểm )

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho Parabol (P) và đờng thẳng (d)

có phơng trình :

(P) : y = x2; (d) : y = 2(a - 1)x + 5 - 2a ( a là tham số )

1 Với a = 2 tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng (d) và parabol (P)

2 Chứng minh rằng với mọi a đờng thẳng (d) luôn cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt

3 Gọi hoành độ giao điểm của đờng thẳng (d) và Parabol (P) là x1, x2 Tìm a để + 2 = 6

2

2

1 x x

Câu 3: (3,5 điểm )

Cho đờng tròn (O) đờng kính AB Điểm I nằm giữa A và O ( I khác

A và O ) Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I Gọi C là điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN ( C khác M, N và B ) Nối AC cắt MN tại E Chứng minh :

1. Tứ giác IECB nội tiếp

2. AM2 = AE AC

3. AE AC - AI IB = AI2

Câu 4: (1 điểm)

Cho a≥ 4, b≥ 5, c≥ 6 và a2 +b2 +c2 = 9 0

Chứng minh : a+b+c≥ 16

đề thi tuyển sinh vào lớp 10

môn toán

( Thời gian làm bài 150 phút )

Câu 1:

1 Thực hiện phép tính : 4 5 − 3 20

2 Rút gọn biểu thức :

1

−

1

− 1

+

2 + 1 +

b

a : a

b

b ( với a, b ≥ 0; a,b ≠ 1)

3 Chứng minh biểu thức :

( 3 + 1)

3

− 2

2. có giá trị là số nguyên

Câu 2 : Giải các hệ phơng trình :

1







4

= 2

− 3

5

= + 2

y x

y x

2













4

= 3

−

2

− 1 + 3

5

= 3

−

1 + 1 + 2

y x

y x

Câu 3:

Cho đờng tròn (O) đờng kính EF; BC là một dây cung cố

định vuông góc với EF; A là điểm bất kỳ trên cung BFC ( A ≠ B , A ≠ C )

1 Chứng minh AE là phân giác của góc BAC

2 Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD = AB

Chứng minh BD song song với AE

3 Gọi I là trung điểm của BD Chứng minh I, A, F thẳng hàng

4 M là điểm trên dây cung AB sao cho k

MB

MA= ( k không

đổi ), qua M kẻ đờng thẳng (d) vuông góc với AC Chứng minh khi A thay đổi trên cung BFC thì đờng thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định

Câu 4:

Cho a , b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 1 Chứng minh rằng : ab + ac + bc > abc

đề thi tuyển sinh vào lớp 10

môn toán

( Thời gian làm bài 150 phút )

Câu 1 : (2,5 điểm)

Cho biểu thức :  3 + 1 

2

− 3

− 1









1

− 9

8 + 1 + 3

1

− 1

− 3

1

−

=

a

a :

a

a a

a

a

9

1

)

1 Rút gọn P

2 Tính giá trị của P khi a= 4 − 2 3

Câu 2 : ( 2 điểm )

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đờng thẳng (d) : 2x- y - a2 = 0

và Parabol (P) :

y = ax2 ( a là tham số dơng )

1 Tìm a để đờng thẳng (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A

và B Chứng minh rằng khi đó A, B nằm bên phải trục tung

2 Gọi u, v theo thứ tự là hoành độ của A, B Tìm giá trị nhỏ nhất của

v u v u

T + 1 +

4

=

Câu 3: (1,5 điểm )

1 Giải phơng trình :

5 −x+ x− 1 = −x2 + 2x+ 1

2 Cho x, y liên hệ với nhau bởi hệ thức : x2 + 2xy + 7(x+y) + 2y2 + 10 = 0

Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của S = x + y

Câu 4: (4 điểm)

Cho điểm A nằm ngoài đờng tròn (O) bán kính R, biết OA = 2R Qua A kẻ các tiếp tuyến AB , AC tới đờng tròn (O) ( B, C là các tiếp

điểm ) Từ điểm I bất kỳ trên cung nhỏ BC kẻ tiếp tuyến thứ ba với

đờng tròn , cắt AB , AC theo thứ tự ở M và N Đờng thẳng qua O vuông góc với AO cắt AB , AC theo thứ tự ở D và E

1 Chứng minh tam giác ABC và tam giác ADE là các tam giác

đều

2 Tính tích DM.EN theo R

3 Gọi giao điểm của BC với OM, ON lần lợt là P và Q Chứng minh 3 đờng thẳng OI, MQ, NP đồng quy

4 Chứng minh từ 3 đoạn BP, PQ, QC có thể dựng đợc một tam giác Tính giá trị lớn nhất của diện tích tam giác đó theo R

Hết

đề thi tuyển sinh vào lớp 10

môn toán

( Thời gian làm bài 150 phút )

Câu 1 ( 2,0 điểm ):

Rút gọn biểu thức :

m n m n 2 mn

P

− + (với m≥0,n≥ 0,m n≠ )

:

Q

=

+ ( với a>0,b>0)

Câu 2 ( 1,0 điểm ):

Giải phơng trình : 6− +x x− =2 2

Câu 3 (3,0 điểm ) :

Cho các đờng thẳng :

(d1) : y = 2x + 2 (d2) : y = -x + 2 (d3) : y = mx (m là tham số)

a Tìm toạ độ giao điểm các điểm A,B, C theo thứ tự của (d1) với (d2) ; (d1) với trục hoành; (d2) với trục hoành

b Tìm tất cả các giá trị của m sao cho (d3) cắt cả 2 đờng thẳng (d1) và (d2)

c Tìm tất cả các giá trị của m sao cho (d3) cắt cả hai tia AB và AC

Câu 4 (3,0 điểm ):

Cho tam giác đều ABC nội tiếp đờng tròn tâm (O) và D là

điểm nằm trên cung BC không chứa điểm A Trên tia AD ta lấy

điểm E sao cho AE = DC

a Chứng minh ∆ABE= ∆CBD

b Xác định vị trí của D sao cho tổng DA + DB + DC lớn nhất.

Câu 5 (1,0 điểm ) :

Tìm x, y thoả mãn hệ :

( 4 4)

1

1

x y

xy

+ =







đề thi tuyển sinh vào lớp 10

môn toán

( Thời gian làm bài 150 phút )

Câu 1 ( 2,0 điểm ):

Rút gọn biểu thức :

m n m n 2 mn

P

− + (với m≥0,n≥ 0,m n≠ )

:

Q

=

+ ( với a>0,b>0)

Câu 2 ( 1,0 điểm ):

Giải phơng trình : 6− +x x− =2 2

Câu 3 (3,0 điểm ) :

Cho các đờng thẳng :

(d1) : y = 2x + 2

(d2) : y = -x + 2 (d3) : y = mx (m là tham số)

a Tìm toạ độ giao điểm các điểm A,B, C theo thứ tự của (d1) với (d2) ; (d1) với trục hoành; (d2) với trục hoành

b Tìm tất cả các giá trị của m sao cho (d3) cắt cả 2 đờng thẳng (d1) và (d2)

c Tìm tất cả các giá trị của m sao cho (d3) cắt cả hai tia AB và AC

Câu 4 (3,0 điểm ):

Cho tam giác đều ABC nội tiếp đờng tròn tâm (O) và D là

điểm nằm trên cung BC không chứa điểm A Trên tia AD ta lấy

điểm E sao cho AE = DC

a Chứng minh ∆ABE= ∆CBD

b Xác định vị trí của D sao cho tổng DA + DB + DC lớn nhất.

Câu 5 (1,0 điểm ) :

Tìm x, y thoả mãn hệ :

( 4 4)

1

1

x y

xy

+ =







đề thi tuyển sinh vào lớp 10

môn toán

( Thời gian làm bài 150 phút )

Câu 1 ( 2,0 điểm ):

1 Chứng minh rằng với mọi x thoả mãn 1≤ ≤x 5ta có :

5− +x x− ≥1 2

2 Giải phơng trình : 5− +x x− = − +1 x2 2x+1

Câu 2 ( 2,0 điểm ):

Cho x, y, z là các số dơng thoả mãn : xy yz zx+ + =1

1 Chứng minh rằng : 1 x+ 2 =( x y x z+ ) ( + )

2 Tính giá trị biểu thức :

(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )

Câu 3 (3,0 điểm ) :

Cho hai đờng tròn tâm (O) và đờng tròn tâm (O') cắt nhau tại Avà B sao cho hai tâm O và O' nằm về hai phía khác nhau đối với đờng thẳng AB Đờng thẳng (d) quay quanh B cắt các đờng tròn (O) và (O') lần lợt tại C và D (C A B≠ , và

,

D A B≠ )

1 Chứng minh tam số đo ãACD ADC CAD,ã ,ã không đổi.

2 Xác định vị trí của (d) sao cho đoạn thẳng CD có độ dài lớn nhất

3 Các điểm M và N lần lợt chạy trên (O) và (O') ngợc chiều nhau sao cho MOA NO Aã = ã ' Chứng minh đờng trung trực của đoạn thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định

đề thi tuyển sinh vào lớp 10

môn toán

( Thời gian làm bài 150 phút )

Câu 1 ( 1,5 điểm ):

Cho hệ phơng trình :

x y m

+ =



 (với m là tham số)

a Giải hệ khi m = 4

b Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm

Câu 2 ( 2,0 điểm ):

a Biết rằng x 1 5

x

− = Tính giá trị của biểu thức x4 14

x

+

b Chứng minh rằng phơng trình sau có nghiệm với mọi giá trị của m

2 1 2 1 2 2 0

Câu 3 (1,5 điểm ) :

Cho đa thức ( )5( 2 )3

P x = x− x − Kí hiệu A là tổng tất cả các hệ

số của P(x) và B là tổng các hệ số của các số hạng bậc lẻ của P(x) ( sau khi khai triển ) Tính A và B

Câu 4 (4,0 điểm ):

Cho tam giác ABC nhọn, đờng cao AH Điểm M di động trên đoạn thẳng BC (M khác B và C ) Đờng trung trực của đoạn BM cắt đ-ờng thẳng AB tại E và trung trực của đoạn CM cắt đđ-ờng thẳng

AC tại F Qua M dựng đờng thẳng Mx vuông góc với EF Mx cắt

đờng tròn tâm E bán kính EM tại điểm thứ hai N

a Chứng minh N nằm trên đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC và

đờng thẳng Mx luôn đi qua một điểm cố định K

b Xác định dạng của tam giác ABC để MK.KN có giá trị không

đổi

Câu 5 (1,0 điểm ) :

Chứng minh tồn tại các số thực a, b, x, y sao cho a + b = -2 , ax + by = 3, ax2+by2=4, ax3+by3=11 Tính ax7+by7

đề thi tuyển sinh vào lớp 10

môn toán

( Thời gian làm bài 150 phút )

Câu 1 ( 2,0 điểm ):

Cho biểu thức :

= − ữ   − + + ữữ (với x>0 và x≠1)

a Rút gọn biểu thức Q

b Tìm x để Q = 8

Câu 2 ( 1,0 điểm ):

Giải phơng trình : x+ = −1 x 1

Câu 3 (3,0 điểm ) :

Cho phơng trình : (m+2)x2+(m−1)x m+ − =3 0 ( với x là ẩn , m là tham số )

a Giải phơng trình khi 9

2

m= −

b Chứng minh rằng phơng trình đã cho có nghiệm với mọi giá trị của m

c Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phơng trình có 2 nghiệm phân biệt và nghiệm này gấp ba lần nghiệm kia

Câu 4 (4,0 điểm ):

Cho tam giác ABC (AB AC≠ ) nội tiếp đờng tròn tâm (O) Đờng phân giác trong AD và đờng trung tuyến AM của tam giác (

,

D BC M BC∈ ∈ ) tơng ứng cắt đờng tròn (O) tại P và Q (P và Q khác A) Gọi I là điểm đối xứng với P qua M

a Kẻ đờng cao AH của tam giác ABC Chứng minh AD là đờng phân giác của góc OAH

b Chứng minh tứ giác PMIQ nội tiếp

c So sánh DP và MQ.

Câu 5 (1,0 điểm ) :

Tìm x, y thoả mãn hệ :

1 2

 + =







đề thi tuyển sinh vào lớp 10

môn toán

( Thời gian làm bài 150 phút )

Câu 1 ( 2,0 điểm ):

Cho

P = x 1 1 2 x x x

1 Rút gọn biểu thức đã cho

2 Tìm x là số nguyên để P nhận giá trị nguyên thoả mãn biểu thức đã cho

Câu 2 ( 2,0 điểm ):

Trong mặt phẳng Oxy cho Parabol y x= 2(P) và đờng thẳng : y = 2(m-1)x +m+1 (d)

1 Khi m = 3 hãy tìm hoành độ giao điểm của (d) và (p)

2 Chứng minh rằng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi

m Gọi hai giao điểm của (d) và (P) là A(x1;y1) và B(x2;y2) Hãy xác định m để :

y1x2 + y2x1 = 1

Câu 3 (3,0 điểm ) :

Cho nửa đờng tròn tâm O bán kính R với đờng kính AB ; C là một điểm chính giữa của cung AB ; điểm M thuộc cung AC sao cho M khác A và C Kẻ tiếp tuyến (d) của đờng tròn tâm O bán kính R tại tiếp điểm M Gọi H là giao điểm của BM và OC

Từ H kẻ một đờng thẳng song song với AB, đờng thẳng đó cắt (d) tại E

1 Chứng minh tứ giác OHME là tứ giác nội tiếp

2 Kẻ MH vuông góc với OC tại K Chứng minh đờn tròn ngoại tiếp tam giác OBC đi qua tâm đờng tròn nội tiếp tam giác OMK

Câu 4 (2,0 điểm ):

1 Giải hệ phơng trình

2 4( 1)( 1)

3 4

x y xy





 + + = −



2 Giải phơng trình

8 (x x2+ =1) 3(x2− +x 1)

Câu 5 (1,0 điểm ) :

Cho các số x và y thay đổi thoả mãn điều kiện : x2+ ≥y 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

M y= 2+(x2+2)2

đề thi tuyển sinh vào lớp 10

môn toán

( Thời gian làm bài 150 phút )

1 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có :

1 1

n

+ − >

+

Từ kết quả trên hãy chứng minh :

1 1 1 1 1 2 6 2

2+ 3+ 4+ 5+ 6< −

2 Giải phơng trình:

4

x − x+ + x − + = −x x + x−

Câu 2 ( 2,0 điểm ):

Cho tam giác ABC có đờng tròn nội tiếp tam giác là (I,r) với A'; B'; C' theo thứ tự là các điểm trên các cạnh BC, CA, AB

1 Kí hiệu góc BCA là c; chứng minh :

2 ( )

2

C

r= BC CA AB tg+ −

2 Giả sử điểm M thay đổi trên cung nhỏ B'C' của đờng tròn (I,r) sao cho M khác B' và C' Tiếp tuyến tại M của (I,r) cắt AB'

và AC' theo thứ tự tại E và F Đờng thẳng B'C' căt IE và IF theo thứ tại P và Q Chứng minh rằng tỷ số PQ

PE có giá trị không đổi

Câu 3 (1,5 điểm ) :

Cho đờng tròn tâm O bán kính R và hai điểm phân biệt A;B

cố định nằm trên (O;R) sao cho đờng thẳng AB không đi qua tâm O Gọi d và d' thứ tự là tiếp tuyến của (O;R) tại các điểm A

và B Điểm M thay đổi trên cung nhỏ AB của (O;R) sao cho M khác A và khác B Kẻ MH vuông góc với d tạ H, kẻ MK vuông góc với d' tại K

Hãy tìm vị trí của M để 1 1

MH MK+ đạt giá trị nhỏ nhất

Câu 4 (2,0 điểm ):

Cho phơng trình : ax2+bx c+ =0(1)

Với các hệ số a;b;c trong đó ac≠0

1 Khi a = 1 hãy tìm b và c là các số nguyên để phơng trình (1) nhận x= −2 2 3 là nghiệm

2 Gỉa sử phơng trình (1) nhận x = k là một nghiệm Chứng minh rằng tồn tại số thực d để phơng trình a x3 2+dx c+ =3 0 nhận x k= 3là nghiệm

Câu 5 (2,0 điểm ) :

1 Cho các số dơng a; b thoả mãn : a+ b≥2

Chứng minh rằng : a3+ b3 ≥ +a b

2 Tìm tất cả các bộ số thực x;y;z thoả mãn hệ :

2 2 2

( 1) ( 1) ( 1)

 + =





đề thi tuyển sinh vào lớp 10

môn toán

( Thời gian làm bài 150 phút )

Câu 1 ( 2,0 điểm ):

Cho 2 biểu thức : a b b a

M

ab

+

4 ab a b N

=

−

a Tìm điều kiện của a và b để mỗi biểu thức đã cho có nghĩa

b Rút gọn M và N

c Tính tích M.N với a= 4 2 3− và b= 4 2 3+

Câu 2 ( 2,0 điểm ):

Trên mặt phẳng toạ độ 0xy cho đờng thẳng (d): y=(m+1)x+2m+3 (m là tham số)

a Tìm m để đờng thẳng d đi qua gốc toạ độ

b Với 2 điểm A( 3; )− y1 và B( 1; )− y2 nằm trên đờng thẳng (d), tìm

điều kịn của m để y1>y2

c Tìm m để đờng thẳng (d) cắt đờng thẳng () : y=2x−2

và giao điểm nằm trên trục Oy

Câu 3 ( 2.0 điểm ) :

Cho phơng trình : x−3 x− + −2 k2 4k+ =4 0 (k là tham số)

a Giải phơng trình khi k = 2

b Tìm k để phơng trình đã cho có nghiệm

Câu 4 ( 3.0 điểm ) :

Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm (O) và đờng tròn tâm (I) nội tiếp tam giác ABC Các tia AI, CI cắt đờng tròn (O) lần lợt tại M và N, gọi D là giao điểm của AI với BC

a Chứng minh : AM.AD = AB.AC

b Chứng minh : BI vuông góc với MN

c Với điều kiện 2 điểm B và C cố định, tìm vị trí của điểm A trên đờng tròn (O) cho trớc để đờng tròn (I) có bán kính lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất ấy

Câu 5 ( 1.0 điểm ) :

Cho x, y, z là các số tự nhiên khác 0

Chứng minh rằng :

3 2

đề thi tuyển sinh vào lớp 10

môn toán

( Thời gian làm bài 150 phút )

Câu 1 ( 3,0 điểm ):

1 Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho 3 điểm A(2;-3); B(-2; 1); C(4; -1)

a Chứng minh tam giác ABC vuông

b Lập phơng trình đờng thẳng đi qua điểm C cắt trục Ox tại

điểm M và cắt trục Oy tại điểm N thoả mãn diện tích tam giác ABC bằng diện tích tam giác OMN

2 Tìm giá trị các số thực a, b để đa thức 3x3+ax2+bx a+ +4 chia hết cho đa thức x2−2x+3

Câu 2 ( 2,5 điểm ):

1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

A= 4x2+12x+ +9 4x2−4x+1

2 Gọi x và 1 x là 2 nghiệm của phơng trình 2 x2−2x+ − =1 m 0 (m

là tham số) Tính giá trị của biểu thức :

P= x +x + x +x theo tham số m

Câu 3 ( 3.5 điểm ) :