ĐỊNH LÍ LAGRANGE VÀ ỨNG DỤNG

GIỚI THIỆU Định lí Lagrange được phát biểu như sau: Cho hàm số Fx liên tục trên [a,b] và có đạo hàm trong khoảng a,b thì luôn tồn tại sao cho: Chúng ta sẽ đi tìm hiểu 3 bài toán sử dụng

ĐỊNH LÍ LAGRANGE VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên đề:

ĐỊNH LÍ LAGRANGE VÀ ỨNG DỤNG

A GIỚI THIỆU

Định lí Lagrange được phát biểu như sau: Cho hàm số F(x) liên tục trên [a,b] và có đạo hàm trong khoảng (a,b) thì luôn tồn tại sao cho:

Chúng ta sẽ đi tìm hiểu 3 bài toán sử dụng định lí Lagrange trong chương trình THPT như sau:

I Sử dụng định lí Lagrange chứng minh bất đẳng thức

II Sử dụng định lí Lagrange chứng minh phương trình có nghiệm

III Sử dụng định lí Lagrange giải phương trình

B NỘI DUNG

I SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ LAGRANGE CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC.

* Phương pháp

Từ định lí Lagrange , nếu thì:

Vậy

Từ định lí Lagrange để áp dụng được kết quả trên, điều quan trọng nhất là xác định được hàm số F(x)

*Ví dụ minh họa

VD1: CMR nếu th×:

Giải

Bất đẳng thức đã cho tương đương với:

Xét hàm số: liên tục trên , và có đạo hàm trong khoảng

Theo định lí Lagrange luôn tồn tại sao cho:

Ta có:

(đpcm)

NX: Điều quan trọng hơn cả trong bài toán này là chúng ta nhận ra được hàm số F(x) qua việc biến đổi tương đương BPT đã cho Ta xét VD 2 …

VD 2: Cho Chứng minh:

Giải

BĐT đã cho tương đương với:

Ta có:

AD định lí Lagrange đối với hàm số: trên , thì tồn tại

sao cho:

Từ (1) suy ra:

NX: Bài này khó hơn bài trên ở chỗ phải tinh ý lấy logaNepe hai vế mới nhận ra đựơc

hàm số f (x)

VD 3: Cho a<b<c CMR:

Giải

Xét hàm số:

Theo định lí Lagrange tồn tại sao cho:

Ta thấy:

Từ (1)

Do đó, từ Suy ra:

II SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ LAGRANGE CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM.

*Phương pháp:

Từ định lí Lagrange, nếu F(b)-F(a)=0 thì tồn tại sao cho:

phương trình có nghiệm thuộc

Để áp dụng được định lí Lagrange phải nhận ra hàm số F (x) (thực ra nó là

nguyên hàm của hàm số f(x))

Dạng bài toán này làm theo các bước sau:

Bước 1: Xác định hàm số F(x) liên tục trên [a,b] và có đạo hàm trên (a,b), thoả mãn:

a F'(x)=f(x)

b F(b)-F(a)=0

Bước 2: Khi đó tồn tại sao cho:

phương trình f(x)= 0 có nghiệm

*Ví dụ minh hoạ:

VD1: CMR phương trình:

có nghiệm với mọi a,b,c

Giải

Xét hàm số:

Dễ dàng nhận thấy:

Khi đó tồn tại sao cho:

Vậy phương trình đã cho có nghiệm thuộc khoảng

VD 2: Giả sử: CMR phương trình:

có nghiệm thuộc khoảng (0, 1)

Giải

Xét hàm số: liên tục trên [0,1] và có đạo hàm trong khoảng (0,1) Ta có:

Khi đó tồn tại sao cho:

Vậy phương trình đã cho có nghiệm thụôc khoảng (0,1)

Từ VD2 ta có thể giải được bài toán sau:

VD3: Giả sử: CMR phương trình:

có nghiệm thuộc khoảng (0,1)

Giải

Xét hàm số:

Nhận thấy, F(x) liên tục trên [0,1] và có đạo hàm trong khoảng (0,1)

Ta có:

Khi đó tồn tại sao cho:

V ậy ph ư ơng tr ình đ ã cho c ó nghi ệm thu ộc kho ảng (0,1)

III SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ LAGRANGE GI ẢI PH Ư ƠNG TR ÌNH.

* Phương pháp:

Đ ể áp d ụng đ ịnh l í Lagrange vào việc giải phương trình ta thực hiện theo các bước sau đây:

Bước 1: Gọi l à nghi ệm c ủa ph ư ơng tr ình

Bước 2: Biến đổi phương trình về dạng thích hợp , từ đó chỉ ra hàm

số liên tục trên [a,b] và có đạo hàm trên khoảng (a,b)

Khi đó theo định lí Lagrange tồn tại sao cho:

(*)

Bước 3: Giải (*), ta xác định được

Bước 4: Thử lại

* Ví dụ minh họa:

VD 1: Giải phương trình:

Giải

Gọi là nghiệm của phương trình đã cho Ta được:

Xét hàm số: Khi đó:

(1)

Vì F(t) liên tục trên [3,4] và có đạo hàm trong khoảng (3,4), do đó theo định lí Lagrange tồn tại sao cho:

Thử lại và thấy đúng.

Vậy phương trình có hai nghiệm x=0 và x=1

VD 2: Giải phương trình:

Giải

Gọi là nghiệm của phương trình đã cho, ta có:

Xét hàm số: , khi đó:

Vì F(t) liên tục trên [2,3] và có đạo hàm trên (2,3), do đó theo định lí Lagrange luôn tồn tại sao cho:

Thử lại thấy đúng vậy phương trình có hai họ nghiệm và

C BÀI TẬP ÁP DỤNG

1 CMR nếu x>y> 0 thì

2 CMR phương trình:

3 Giải các phương trình sau:

1

2