Định lý Lagrange và ứng dụng (Tĩnh Gia 1)

định lý lagrange và ứng dụngA.Định lý Lagrange 1.Định lý Weierstrass Nếu hàm số fx liên tục trên a; b thì nó đạt đợc giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất và mọi giá trị trung gian giữa

định lý lagrange và ứng dụng

A.Định lý Lagrange

1.Định lý Weierstrass

Nếu hàm số f(x) liên tục trên a; b thì nó đạt đợc giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất và mọi giá trị trung gian giữa giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên a; b

(SGK ĐS&GT 11)

2.Định lý Fermat

Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại điểm đó thì f' x0  0

(SGK Giải tích 12)

3.Định lý Rolle

Giả sử f(x) liên tục trên a; b và có đạo hàm trên (a;b) Nếu f(a) f(b) thì tồn tại ít nhất một điểm c  ( b a; ) sao cho f' (c)  0

Chứng minh

Vì f(x) liên tục trên a; b nên f(x) đạt giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M trên a; b

+ Nếu m=M thì f(x)=m=M xa;b suy ra f' (x)  0 x (a;b)

Do đó c (a;b) ta có f' (c)  0

+ Nếu m<M thì f(a) m hoặc f(a) M

Giả sử f(a) f(b) m Vì f(x) liên tục trên a; b nên theo định lý Weierstrass

tồn tại ít nhất một điểm c  [ b a; ] sao cho f(c) m Hiển nhiên c  và a c  b

suy ra c  ( b a; ) Vì f(x) f(c) x (a;b) nên f(x) đạt cực tiểu tại c

Theo định lý Fermat ta có f' (c)  0

( Chứng minh tơng tự cho TH f(a) f(b) M)

4.Định lý Lagrange

Nếu hàm số f(x) liên tục trên a; b và có đạo hàm trên (a;b) thì tồn tại ít nhất một điểm c  ( b a; ) sao cho f(b)  f(a) f' (c).b a

Chứng minh

Xét hàm số ( ) ( ) ( ) ( ) ( )(x a)

a b

a f b f a f x f x









Ta có g(x) liên tục trên a; b và có đạo hàm trên (a;b) :

a b

a f b f x f x g







) ( ' ) (

Mặt khác g(a) g(b)  0 nên theo định lý Rolle tồn tại c  ( b a; ) sao cho 0

)

(

' c 







 ' ( ) ( ) ( ) 0 )

(

'

a b

a f b f c f c

g f(b)  f(a) f' (c).b a (Đpcm)

5.ý nghĩa hình học của định lý Lagrange

Do f(x) liên tục trên a; b nên đồ

thị của f(x) trên a; b là một cung liền AB

với A(a;f(a)), B(b;f(b))

Cát tuyến AB có hệ số góc

a b

a f b f



 ( ) )

(

Định lý Lagrange khẳng định c  ( b a; )

sao cho

a b

a f b f c

f





 ( ) ( ) )

(

' nghĩa là hệ số góc của tiếp tuyến của cung AB tại C(c;f(c)) bằng hệ số góc của cát tuyến AB Nói cách khác, trên cung AB tồn tại

ít nhất một điểm C sao cho tiếp tuyến tại C song song với AB

B.Một số ứng dụng của định lý Lagrange

I.Một số tính chất của hàm số và đồ thị

1.Định lý Nếu f'(x)0x(a;b) thì f(x) constx (a;b)

Chứng minh

Xét x0 cố định ,x 0 (a;b).x (a;b)ta có

+ Nếu x  x0 thì f(x) f(x0)

+ Nếu x  x0 thì theo định lý Lagrange c nằm giữa x0 và x sao cho

) )(

( ' )

(

)

(x f x0 f c x x0

f    Vì c  ( b a; ) nên f' (c)  0 suy ra f(x) f(x0)

Vậy f(x) f(x0) constx (a;b)

2.Điều kiện đủ để hàm số đồng biến ,nghịch biến

Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên (a;b)

a Nếu f' (x)  0 x (a;b) thì f(x) đồng biến trên (a;b)

b Nếu f' (x)  0 x (a;b) thì f(x) nghịch biến trên (a;b)

Chứng minh

2 1 2

1 ,x (a;b);x x

 ta có f(x) liên tục và có đạo hàm trên x1; x2

Theo định lý Lagrange c (x1;x2) sao cho f(x2)  f(x1) f' (c)(x2  x1)

a Nếu f' (x)  0 x (a;b) thì f' (c)  0 do đó f(x2)  f(x1) suy ra f(x)

đồng biến trên (a;b)

b Nếu f' (x)  0 x (a;b) thì f' (c)  0 do đó f(x2)  f(x1) suy ra f(x) nghịch biến trên (a;b)

3.Điều kiện đủ để đồ thị hàm số lồi, lõm

Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên (a;b) Đồ thị hàm số f(x) trên (a;b) là cung (C).Với x 0 (a;b), tiếp tuyến của (C) tại Mx0;f(x0) có phơng trình là

) )(

( ' ) (x0 f x0 x x0 f

Định nghĩa: Cung (C) đợc gọi là lồi nếu mọi điểm của cung này đều nằm dới

tiếp tuyến bất kỳ của cung ( trừ tiếp điểm ).

Tức là : Nếu x 0 (a;b) ta luôn có

f(x) yf(x0)  f' (x0)(x x0) x (a;b);xx0

thì cung (C) đợc gọi là lồi

Tơng tự Cung (C) đợc gọi là lõm nếu mọi điểm của cung này đều nằm trên tiếp

tuyến bất kỳ của cung ( trừ tiếp điểm ).

Tức là : Nếu x 0 (a;b) ta luôn có

f(x) yf(x0)  f' (x0)(x x0) x (a;b);xx0

thì cung (C) đợc gọi là lõm

Định lý: Giả sử hàm số f(x) có đạo hàm cấp 2 trên (a;b).

a Nếu f " (x)  0 x (a;b) thì đờng cong y=f(x) lõm trên )

;

(a b

b Nếu f " (x)  0 x (a;b) thì đờng cong y=f(x) lồi trên

)

;

(a b

Chứng minh

a Giả sử f " (x)  0 x (a;b)

)

; (

x 

 Tiếp tuyến của đờng cong y=f(x) tại Mx0;f(x0) có phơng trình là yf(x0)  f' (x0)(x x0)

áp dụng định lý Lagrange cho f(x) trên (a;b), ta có:

tồn tại c nằm giữa x0 và x sao cho f(x)  f(x0) f ('c).x x0

Suy ra f(x)  yf(x)  f(x0)  f' (x0)(x x0) f' (c)(x x0)  f' (x0)(x x0)

 f ('c)  f ('x0)(x x0) (*) Vì f " (x)  0 x (a;b) nên f ' x( ) đồng biến trên (a;b) Do đó

+ Nếu x  x0 thì x0cx suy ra f' (x0)  f' (c)

Khi đó (*) f(x)  y 0  f(x) y

+ Nếu x  x0 thì xcx0 suy ra f' (c)  f' (x0)

Khi đó (*) f(x)  y 0  f(x) y

Vậy f(x) yf(x0)  f' (x0)(x x0) x (a;b);xx0

 Đờng cong y=f(x) lõm trên (a;b)

b Chứng minh tơng tự.

II.ứng dụng của định lý Lagrange trong chứng minh Bất đẳng thức

















2

; 0

b)sinx x xR

Bài 2: CMR x,yR Ta có

a)sinx siny x y

b) cosx cosy x y















2

; 0

a)tgx tgy x y

b) cotgx cotgy x y















2

; 0

a)

b

a b tga tgb a

a b

2

cos











b)

a

a b gb ga

b

a b

2

sin











Bµi 5: Cho 0<a<b CMR

a

a b a

b b

a





 ln

Bµi 6: Cho x>y>0 CMR

2006y2005x y x2006 y2006 2006x2005x y

1   x x x x

x

Bµi 8: Cho n  N* T×m GTLN cña hµm sè 













 

n

x e

x

f( ) x 1 trªn 0 ; 

Bµi 9: Cho a<b<c CMR

a) a2b2c2abbcca

b) 3aabc a2b2 c2  ab bc ca

a b c a2 b2 c2 ab bc ca 3c





















Bµi 10: Cho 0<a<b<c<d

CMR

6 4

3 abc abd acd bcd abacadbcbdcd









Bµi 11: Cho 





 0 1 0

x



CMR 1 x  1  x

Bµi 12: Cho 3 n Z CMR n n1n 1n

Bµi 13: Cho a<b ; k 0 CMR

k

kb ka





 sin sin

k

kb ka





 cos cos

Bµi 14: CMR e a(b a) e b  e a e b(b a) ab

Bµi 15: CMR 1   ,  0



x

e e

a

ax ax

1

1 1

1







































x x

x

x x

Bµi 17: CMR 1 1 1 1 0

1







































x x

e x

x x

Bµi 18: Cho x ( 0 ; 1 ) ,nN* .CMR

ne x

x n

2

1

1  



















2

; 0 voi

, 1 2

1 sin

)

x

tgx x x

f

Bµi 20: Cho

2

0 xxy CMR sin(x y)  sinx ycosx

Bài 21: Cho f : (a;b)  R có đạo hàm cấp 2 trên (a;b).

CMR a) Nếu f " (x)  0 x (a;b) thì

)

; ( , 2

) ( ) (

y f x f y x









  b) Nếu f " (x)  0 x (a;b) thì

, ( ; )

2

) ( ) (

y f x f y x









 

Bài 22: Cho f : (a;b)  R có đạo hàm cấp 2 trên (a;b)

CMR a) Nếu f " (x)  0 x (a;b) thì

x y f(x)  f(y) x,y (a;b)   ,   0 ,     1

f

b) Nếu f " (x)  0 x (a;b) thì

f x y f(x)  f(y) x,y (a;b)   ,   0 ,     1

Bài 23: Cho f :a;  R thoả mãn 2 điều kiện sau:

a) f(a)  0 b) f' (x)  1 xa; 

CMR fa f(a) 0

Bài 24: CMR a) ln( 1 x) x x 0

















2

;

0 

x x tgx

c) e x x 1 x 0

2

2 ) 1





x

x x

1 cos ) 1



x

x x

Bài 26: Cho f :0 ;  R thoả mãn 3 điều kiện sau:

a) f liên tục trên 0 ;  b) f' tăng trên 0 ;  c) f(0) =0 CMR

x

x f x g x

R g

) ( ) (

)

; 0 ( :







 tăng trên 0;.

Bài 27: (Định lý Cauchy)

Cho f, g là các hàm liên tục trên a; b và có đạo hàm trên (a;b),

)

; ( 0

)

(

CMR c  ( b a; ) sao cho

) ( '

) ( ' ) ( ) (

) ( ) (

c g

c f a g b g

a f b f







Bài 28: Cho f, g có đạo hàm trên R, f' (x) g' (x) xx0 (x0là hằng số ),

g là hàm đồng biến trên R

CMR f(x)  f(x0 ) g(x)  g(x0 ) xx0

Bài 29: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên a; b (a>0)

CMR c  ( b a; ) sao cho ( ) ' ( )

) ( ) (

b f a f

b a

b

Bài 30: Giả sử f liên tục trên a; b,có đạo hàm cấp 2 trên (a;b), f(a) f(b)  0

và c là một điểm cho trớc của (a;b)

) (

"

).

)(

( )

Bài 31: Giả sử f(x) khả vi trên (a;b) và x af x x b f x A





) ( lim ) (

CMR c  ( b a; ) để f' (c)  0

Bài 32: CMR Nếu f(x) liên tục trên a; b, khả vi trên (a;b) và f(x) không là hàm bậc nhất thì c  ( b a; ) để

a b

a f b f c f





) ( '

Bài 33: CMR

2001

1 2001

2002 ln 2002

1





2

2











x

Bài 35: Cho

2

0 xy CMR xcosxycosy

















2

; 0 3

sin

b) Tìm GTNN của hàm số





















2

; 0 2006

3

2006 sin

2 )

x

tgx x x

f

c) CMR  ABC nhọn , ta có :

2 (sinA sinB sinC)  (tgAtgBtgC)  3 

Bài 37: CMR n u  n vn u w n v w với   











1

; 0

\ 0

N n

u v w

Bài 38: Cho x>1,a>1 CMR x a  1 a(x 1 )

Bài 39: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên 0 ; 2và thoả mãn các điều kiện f( 0 ) f( 2 )  1 , f' (x)  1 x  0 ; 2  CMR  

2 0

1 ) (x dx f

Bài 40: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên a; b và f(a) f(b)  0

Đặt M xmaxa;b f'(x) CMR   

b

a

dx x f a b

) (

4

2

III ứng dụng của định lý Lagrange trong phơng trình

1

2   

c m

b m

a

CMR Phơng trình 2 0





bx c

ax có nghiệm thuộc ( 0 ; 1 )

2 3

1 2





n

a n

CMR Phơng trình a n x n a n1x n1 a2xa0  0 có nghiệm thuộc )

1

;

0

Bài 3: CMR Phơng trình asin 7xbcos 5xcsin 3xdcosx 0 luôn có nghiệm với mọi số a,b,c,d

Bài 4: Giải phơng trình 2000x  2002x  2 2001x

Bài 5: Cho f : a;b  R có đạo hàm trên (a;b)

CMR Phơng trình ( )

) ( ' ).

(

) ( ) ( a b f f x x

e b f a

 có ít nhất một nghiệm trên (a;b)

Bài 6: Cho f(x) khả vi trên a; b và phơng trình f'(x)=0 có đúng một nghiệm trên a; b CMR Phơng trình f(x)=0 không thể có quá hai nghiệm phân biệt trên

a; b

Bài 7: Cho a-b+c=0 CMR Phơng trình

0 5 sin 25 3 sin 9 sinx b x c x

0 ; 

Bài 8: CMR Phơng trình a25 sin 5x sinxb49 sin 7x 9 sin 3x 0 có ít nhất 7 nghiệm trên 0 ; 2 

Bài 9: Giả sử hàm số f(x) có đạo hàm cấp n trên a; b CMR Nếu pt f(x)=0 có n+1 nghiệm phân biệt trên a; b thì phơng trình f(n)(x)  0 có ít nhất 1 nghiệm trên (a;b)

Bµi 10: CMR Ph¬ng tr×nh acos 4xbcos 3xccos 2xdcosx 0 lu«n cã nghiÖm trong ( 0 ;  ) víi mäi a,b,c,d

Bµi 11: CMR NÕu ph¬ng tr×nh a0x n a1x n1 a n1x 0 cã nghiÖm d¬ng x1

th× ph¬ng tr×nh na0x n1 (n 1 )a1x n2  a n1 0 còng cã nghiÖm d¬ng x2 ,

)

(x 2 x1

Bµi 12: Cho f(x) liªn tôc trªn a; b CMR NÕu