Gọi I là một điểm di chuyển trên cạnh BC.. Qua I, kẻ đường thẳng song song với cạnh AC cắt cạnh AB tại M.. Qua I, kẻ đường thẳng song song với cạnh AB cắt cạnh AC tại N.. Chứng minh rằng
Trang 1UBND HUYỆN YÊN DŨNG
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm có 01 trang)
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2013-2014 Môn: Toán lớp 8 Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1 (4 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
1) x2 2014x 2013
2) x x( 2)(x2 2x 2) 1
Câu 2 (4 điểm)
1) Tìm a b, biết 1 2 3 7 3
a
2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x 2 2y2 2xy 2x 4y 2013
Câu 3 (4 điểm)
1) Cho a a1 , , 2 a2013 là các số tự nhiên có tổng bằng 2013 2014
1 2 2013
B a a a chia hết cho 3.
2) Cho a và b là các số tự nhiên thoả mãn 2a2 a 3b2 b
Chứng minh rằng: a b và 3a 3b 1 là các số chính phương.
Câu 4 (6 điểm)
Cho tam giác ABC Gọi I là một điểm di chuyển trên cạnh BC Qua I, kẻ đường thẳng song song với cạnh AC cắt cạnh AB tại M Qua I, kẻ đường thẳng song song với cạnh
AB cắt cạnh AC tại N
1) Gọi O là trung điểm của AI Chứng minh rằng ba điểm M, O, N thẳng hàng.
2) Kẻ MH, NK, AD vuông góc với BC lần lượt tại H, K, D Chứng minh rằng MH + NK = AD.
3) Tìm vị trí của điểm I để MN song song với BC.
Câu 5 (2 điểm)
Cho a b c d và x (a b c d y )( ), (a c b d z )( ), (a d b c )( ) Sắp xếp theo thứ tự giảm dần của x y z, , .
Hết
Họ và tên thí sinh: , Số báo danh:
Trang 2UBND HUYỆN YÊN DŨNG
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐÁP ÁN ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
MÔN: TOÁN LỚP 8 (Đáp án - thang điểm gồm 2 trang)
Chú ý: Dưới đây là hướng dẫn cơ bản, bài làm của học sinh phải trình bày chi tiết HS giải
bằng nhiều cách khác nhau đúng vẫn cho điểm từng phần tương ứng.
1
1
2
2
x x x x (x2 2 )(x x2 2x 2) 1 0.5
(x 2 )x 2(x 2 ) 1x
4
(x 1)
2
1
Từ 1 2 7 3
Thay a 1 vào tỉ lệ thức 1 2 3
a
ta được 1 2.1 3
b
Suy ra 2
b
0.5
2
Ta có A x 2 2y2 2xy 2x 4y 2013
Nhận thấy với mọi x,y ta có (x y 1) 2 0;(y 3) 2 0.Suy raA 2003
Dấu “=” xảy ra khi x 4,y 3
0.5
Vậy Giá trị nhỏ nhất của A là 2003 đạt được khi x 4,y 3 0.5
3
1
Dễ thấy 3
a a a a a là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết
B a a a a a a a a a
Mà a a1 , , 2 a2013 là các số tự nhiên có tổng bằng 2013 2014 3 0.5
2
Từ 2a 2 a 3b2 b có(a b )(3a 3b 1) a2 0.5 Cũng có (a b )(2a 2b 1) b2 Suy ra (a b ) (2 2 a 2b 1)(3a 3b 1) ( ) ab 2 0.5 Gọi (2a 2b 1,3a 3b 1) d Chứng minh được d=1 0.5
=>3a 3b 1 là số chính phương => a b là số chính phương (đpcm) 0.5
Trang 31
Ta có IM//AC, IN//AB => AMIN là hình bình hành 1
=> MN cắt AI tại trung điểm mỗi đường Mà O là trung điểm AI 0.5
2
Kẻ OE vuông góc với BC Chứng minh MHKN là hình thang vuông 0.5
Ta có O là trung điểm MN mà OE//MH//NK Suy ra OE là đường trung
bình của hình thang vuông MNKH nên MH + NK = 2OE (1) 0.5 Xét ΔADIADI có O là trung điểm của AI và OE//AD Suy ra OE là đường trung
bình của ΔADIADI nên AD = 2OE (2) 0.5
3
Ta có MN // BC khi và chỉ khi MN là đường trung bình của ABC(Do O là
Vậy để MN song song với BC thì I là trung điểm BC 0.5 5
Xét hiệu x y (a b c d )( ) ( a c b d )( ) ( d a b c )( ) 0.5
Vì d a b c , nên (d a b c )( ) 0 Suy ra x y (1) 0.5 Xét hiệu y z (a c b d )( ) ( a d b c )( ) ( a b d c )( ) 0.5
Vì b a c d , nên (a a d c )( ) 0 Suy ra y z (2)
Từ (1) và (2) ta sắp xếp theo thứ tự giảm dần là zy x 0.5
UBND HUY N ỆN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN THI H C SINH GI I C P HUY N ỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ỎI CẤP HUYỆN ẤP HUYỆN ỆN
D
O M
N A
Trang 4PHÒNG GI O D C V ÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ỤC VÀ ĐÀO TẠO À ĐÀO TẠO ĐÀ ĐÀO TẠO O T O ẠO
……… N M H C 2018 - 2019 MÔN: TO N 8 ĂM HỌC 2018 - 2019 ỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
Th i gian l m b i: 150 phút ời gian làm bài: 150 phút àm bài: 150 phút àm bài: 150 phút (không k th i gian ể thời gian ời gian phát đề) )
A MA TR N ẬN ĐỀ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
C p ấp độ độ
Ch ủ đề đề Nh n bi t ết ận Thông hi u ểu
V n d ng ận ụng
C ng ộ
C p ấp độ độ
th p ấp độ C p ấp độ độ cao
1 S h c ố học ọc.
- V n d ngận dụng ụng
c các tính
được các tính
ch t chia h t ất chia hết để ết để để
ch ng minh m tứng minh một ột
t ng chia h t choổng chia hết cho ết để
m t s ột ố
- Áp d ng tínhụng
ch t l y th a ất chia hết để ũy thừa để ừa để để
ch ng minh giáứng minh một
tr c a bi u th cị của biểu thức ủa biểu thức ể ứng minh một
nh h n 1.ỏ hơn 1 ơn 1
S câu ố câu
S i m-T l ố câu đ ể thời gian ỉ lệ ệ
%
2(C1ab)
4,0 2 4,0 20% đ –20% –20%
2 Đại số ố học i s
V n d ng ận dụng ụng được các tínhc
h ng ằng đẳng thức đẳng thứcng th cứng minh một
ch ng minh
để ứng minh một
m t ột đẳng thứcng th c,ứng minh một
so sánh hai s ,ố
phân tích đa
th c th nh nhânứng minh một àm bài: 150 phút
t v tìm c c trử và tìm cực trị àm bài: 150 phút ực trị ị của biểu thức
c a tam th c b của biểu thức ứng minh một ận dụng hai
V nận dụng d ngụng
c h ng
được các tính ằng đẳng thức
ng th c
đẳng thức ứng minh một để
ch ng minhứng minh một
m t bi u th c.ột ể ứng minh một
S câu ố câu
S i m-T l ố câu đ ể thời gian ỉ lệ ệ
%
4(C2ab, C3ab)
8,0 1(C6) 1,0 5 9,0 45% đ –20% –20%
3 Hình h c ọc.
- Hi uể
c các
được các tính
d u hi uất chia hết để ệu
nh n bi tận dụng ết để
v t giácề tứ giác ứng minh một
ch ng
để ứng minh một minh m tột
t giác lứng minh một àm bài: 150 phút hình chữ
nh t, m tận dụng ột
t giác lứng minh một àm bài: 150 phút hình thoi
-V n d ngận dụng ụng
c tính được các tính
chât quan hệu
gi a ba c nhữ ạnh
c a m t tamủa biểu thức ột giác để ch ngứng minh một minh
- V n d ngận dụng ụng
ng k ph
đười gian làm bài: 150 phút ẻ phụ ụng
ch ng
để ứng minh một minh m tột
ng th c
đẳng thức ứng minh một
S câu ố câu
S i m-T l ố câu đ ể thời gian ỉ lệ ệ
%
2(C5ab)
3,0 2(C4,C5c) 4,0 4 7,0 - 35% đ –20%
T ng s câu ổng số câu ố học.
T ng s ổng số câu ố học.
i m
đ ểu
T l % ỉ lệ % ệ %
2 3,0 15%
6 12,0 60%
3 5,0 25%
11 20,0 100%
CH NH
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ÍNH
TH C ỨC
Trang 5B ĐỀ
Câu 1: (4,0 i m ) đ –20% ểm ) Ch ng minh r ng: ứng minh một ằng đẳng thức
a) A = 1 + 3 + 32 + 33 + + 311 chia hết cho 40
b) B = 12 12 12 1 2
2 3 4 100
Câu 2: (4,0 i m ) đ –20% ểm )
a) Cho a + b + c = 0, chứng minh rằng a3+b3+c3=3abc
b) So sánh hai số sau: C = (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1) và D = 232
Câu 3: (4,0 i m ) đ –20% ểm )
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 + 2019x2 + 2018x + 2019
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của E = 2x2 – 8x + 1
Câu 4: (3,0 i m) đ –20% ểm ) Ch ng minh r ng trong m t t giác, t ng hai ứng minh một ằng đẳng thức ột ứng minh một ổng chia hết cho đười gian làm bài: 150 phút ng chéo l nớn
h n n a chu vi nh ng nh h n chu vi c a t giác y.ơn 1 ử và tìm cực trị ư ỏ hơn 1 ơn 1 ủa biểu thức ứng minh một ất chia hết để
Câu 5: (4,0 i m) đ –20% ểm )
Cho tam giác ABC vuông t i A (AB < AC) G i I l trung i m c a c nh ạnh ọi I là trung điểm của cạnh àm bài: 150 phút đ ể ủa biểu thức ạnh
BC Qua I v IM vuông góc v i AB t i M v IN vuông góc v i AC t i N.ẽ IM vuông góc với AB tại M và IN vuông góc với AC tại N ớn ạnh àm bài: 150 phút ớn ạnh
a) Ch ng minh t giác AMIN l hình ch nh t.ứng minh một ứng minh một àm bài: 150 phút ữ ận dụng
b) G i D l i m ọi I là trung điểm của cạnh àm bài: 150 phút đ ể đố ứng minh mộti x ng c a I qua N Ch ng minh t giác ADCI l hình ủa biểu thức ứng minh một ứng minh một àm bài: 150 phút thoi
Trang 6c) Đường thẳng BN cắt DC tại K Chứng minh rằng DK 1DC
3
Câu 6: (1,0 i m) đ –20% ểm )
Ch ng minh r ng: ứng minh một ằng đẳng thức a2 b2 c2 d2 e2 a b c d e( )
H T
“HẾT” ẾT” ”
C ĐÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO P N V BI U I M À ĐÀO TẠO ỂU ĐIỂM Đ ỂU ĐIỂM
Câu 1: (4,0 i m ) đ –20% ểm ) Ch ng minh r ng: ứng minh một ằng đẳng thức
a) A = 1 + 3 + 32 + 33 + + 311 chia hết cho 40
b) B = 12 12 12 1 2
2 3 4 100
a A = 1 + 3 + 32 + 33 + + 311
= ( 1 + 3 + 32+ 33) + (34 + 35 +36 + 37)+ (38 + 39+ 310 + 311)
= ( 1 + 3 + 32+ 33) + 34 (1 + 3 + 32+ 33) + 38(1 + 3 + 32+ 33)
= 40 + 34 40 + 38 40
= 40 (1 + 34 + 38) 40
V y A ận dụng 40
0,5 0,5 0,5 0,5 b
1
1 1
100
V y B < 1ận dụng
0,5 0,5 0,5 0,5
Câu 2: (4,0 i m ) đ –20% ểm )
a) Cho a + b + c = 0, Ch ng minh r ng aứng minh một ằng đẳng thức 3+b3+c3=3abc
b) So sánh hai s sau: C = (2+1)(2ố 2+1)(24+1)(28+1)(216+1) v D = 2àm bài: 150 phút 32
Trang 7a Ta có:
a + b + c = 0 suy ra a + b = - c
M t khác: ( a + b )ặt khác: ( a + b ) 3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
Suy ra (- c)3 = a3 + b3 + 3ab(-c)
a3 + b3 + c3 = 3abc( pcm)đ
0,5 0,5 0,5 0,5
b C = (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)
(2-1)C = (2-1) (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)
C = (22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)
C = (24-1)(24+1)(28+1)(216+1)
C = (28-1) (28+1)(216+1)
C = (216-1)(216+1)
C = 232-1
Vì 232 - 1 < 232 nên C < D
0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5
Câu 3: (4,0 i m ) đ –20% ểm )
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 + 2019x2 + 2018x + 2019
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của E = 2x2
– 8x + 1
M
a x4 + 2019x2 + 2018x + 2019
= x4 + (x2 + 2018x2 )+ 2018x +( 2018 + 1) + x3 – x3
= (x4 + x3 + x2 )+ (2018x2 + 2018x +2018) – (x3 - 1)
= x2(x2 + x + 1) + 2018(x2 + x + 1) – (x – 1)(x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)(x2 + 2018 – x + 1)
= (x2 + x + 1)(x2– x + 2019)
0,5 0,5 0,5 0,25 0,25
b E = 2x2 – 8x + 1
= 2x2 – 8x + 8 - 7
= 2(x2 – 4x + 4) – 7
= 2(x – 2)2 – 7 - 7
V y giá tr nh nh t c a E = - 7 khi x = 2ận dụng ị của biểu thức ỏ hơn 1 ất chia hết để ủa biểu thức
0,5 0,5 0,5 0,5
Câu 4: (3,0 i m) đ –20% ểm )
Ch ng minh r ng trong m t t giác, t ng hai ứng minh một ằng đẳng thức ột ứng minh một ổng chia hết cho đười gian làm bài: 150 phút ng chéo l n h n n a chu viớn ơn 1 ử và tìm cực trị
nh ng nh h n chu vi c a t giác y.ư ỏ hơn 1 ơn 1 ủa biểu thức ứng minh một ất chia hết để
P N
M
G i O l giao i m c a hai ọi I là trung điểm của cạnh àm bài: 150 phút đ ể ủa biểu thức đười gian làm bài: 150 phút ng chéo AC, BD c a t giác ABCD.ủa biểu thức ứng minh một
t AB = a, BC = b, CD = c, DA = d
Đặt khác: ( a + b )
Xét AOB, ta có: OA + OB > AB (Quan h gi a ba c nh c a tam giác).ệu ữ ạnh ủa biểu thức
Xét COD, ta có: OC + OD > CD (Quan h gi a ba c nh c a tam giác).ệu ữ ạnh ủa biểu thức
Suy ra: OA + OB + OC + OD > AB + CD
AC + BD > AB + CD
AC + BD > a + c (1)
Ch ng minh tứng minh một ươn 1.ng t : ực trị
AC + BD > AD + BC
AC + BD > d + b (2)
T (1) v (2) suy ra 2(AC + BD) > a + c + d + bừa để àm bài: 150 phút
a c d b
AC + BD > (*)
2
0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25
Trang 8Xét ABC, ta có: AC < a + b
Xét ADC, ta có: AC < d + c
Suy ra: 2AC < a +b + c + d
a c d b
AC <
2
(3)
Ch ng minh tứng minh một ươn 1.ng t : ực trị BD < a c d b (**)
2
(4)
T (3) v (4) suy ra: AC + BD < a +b + c +d.ừa để àm bài: 150 phút
T (*) v (**) suy ra ừa để àm bài: 150 phút a c d b < AC + BD a + b + c + d
2
( pcm)đ
0,25 0,25 0,25
Câu 5: (4,0 i m) đ –20% ểm )
Cho tam giác ABC vuông t i A (AB < AC) G i I l trung i m c a c nh ạnh ọi I là trung điểm của cạnh àm bài: 150 phút đ ể ủa biểu thức ạnh
BC Qua I v IM vuông góc v i AB t i M v IN vuông góc v i AC t i N.ẽ IM vuông góc với AB tại M và IN vuông góc với AC tại N ớn ạnh àm bài: 150 phút ớn ạnh
a) Ch ng minh t giác AMIN l hình ch nh t.ứng minh một ứng minh một àm bài: 150 phút ữ ận dụng
b) G i D l i m ọi I là trung điểm của cạnh àm bài: 150 phút đ ể đố ứng minh mộti x ng c a I qua N Ch ng minh t giác ADCI l hình ủa biểu thức ứng minh một ứng minh một àm bài: 150 phút thoi
c) Đường thẳng BN cắt DC tại K Chứng minh rằng DK 1DC
3
M
a Xét t giác AMIN có: ứng minh một
MAN = 900 (vì tam giác ABC vuông A)ở A)
AMI = 900 (vì IM vuông góc v i AB)ớn
ANI = 900 (vì IN vuông góc v i AC)ớn
V y t giác AMIN l hình ch nh t (Vì có 3 góc vuông)ận dụng ứng minh một àm bài: 150 phút ữ ận dụng
0,25 0,25 0,25 0,25 b
ABC
vuông t i A, có AI l trung tuy n nên ạnh àm bài: 150 phút ết để AI IC 1BC
2
Do ó đ AIC cân t i I, có ạnh đười gian làm bài: 150 phút ng cao IN đồng thời là trung tuyếnng th i l trung tuy nời gian làm bài: 150 phút àm bài: 150 phút ết để
NA NC
M t khác: NI = ND (tính ch t ặt khác: ( a + b ) ất chia hết để đố ứng minh mộti x ng) nên ADCI l hình bình àm bài: 150 phút
h nh (1) àm bài: 150 phút
M àm bài: 150 phút AC ID
(2)
T (1) v (2) suy raừa để àm bài: 150 phút t giác ADCI l hình thoi.ứng minh một àm bài: 150 phút
0,5 0.5 0,5 0,5
c K qua I ẻ phụ đười gian làm bài: 150 phút ng th ng IH song song v i BK c t CD t i H ẳng thức ớn ắt CD tại H ạnh
IH l àm bài: 150 phút đười gian làm bài: 150 phút ng trung bình BKC
H l trung i m c a CK hay KH = HC àm bài: 150 phút đ ể ủa biểu thức
(3)
Xét DIH có N l trung i m c a DI, NK // IH (IH // BK)àm bài: 150 phút đ ể ủa biểu thức
Do ó K l trung i m c a DH hay DK = KH đ àm bài: 150 phút đ ể ủa biểu thức
(4)
0,25 0,25 0,25 0,25
Trang 9T (3) v (4) suy ra DK = KH = HC ừa để àm bài: 150 phút DK 1DC
3
Câu 6:(1,0 i m) đ –20% ểm )
Ch ng minh r ng: ứng minh một ằng đẳng thức a2 b2 c2 d2 e2 a b c d e( )
P N
Ta có :
2
2
2
2
Ta c ng (1), (2), (3), (4) v theo v ta ột ết để ết để được các tínhc :
1
4.
4
a b c d e ab ac ad ae
a b c d e a b c d e
0,25
0,25
0,25 0,25
L u ý : ưu ý :
- M i cách gi i khác c a h c sinh có k t qu úng ải khác của học sinh có kết quả đúng đều ghi điểm tối ủa học sinh có kết quả đúng đều ghi điểm tối ết quả đúng đều ghi điểm tối ải khác của học sinh có kết quả đúng đều ghi điểm tối đ đề) u ghi i m t i đ ể thời gian ố câu
a.
đ
- Riêng câu 4 v câu 5 n u h c sinh không v hình m l m úng thì à câu 5 nếu học sinh không vẽ hình mà làm đúng thì ết quả đúng đều ghi điểm tối ẽ hình mà làm đúng thì à câu 5 nếu học sinh không vẽ hình mà làm đúng thì à câu 5 nếu học sinh không vẽ hình mà làm đúng thì đ
cho ½ t ng s i m c a câu ó ổng số điểm của câu đó ố câu đ ể thời gian ủa học sinh có kết quả đúng đều ghi điểm tối đ
(Đề thi gồm có 08 trang)