Đề khảo sát học sinh giỏi toán 7

Tìm ba phân số đó.. Kẻ phõn giỏc BF của gúc ABD F AD a Tớnh cỏc gúc chưa biết của tam giỏc ABD b Chứng minh AB=BD=DA c Chứng minh AC =CB Lưu ý : cỏn bộ coi thi khụng được giải thớch gỡ

PHềNG GD&ĐT SẦM SƠN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ĐỘI TUYỂN

KHỐI CLC THCS LẦN 2 NĂM HỌC 2014-2015

Mụn toỏn lớp 7

Thời gian làm bài : 120 phỳt

Đề bài:

Bài 1:(5 điểm)

a)Thực hiện phộp tớnh:

2 3 4 9 5 7 25 49 A

125.7 5 14

2 3 8 3





b) Tỡm x biết : 2  x x 3

B i 2 ài 2 : (5điểm)

a) Ba phân số có tổng bằng 213

70 , các tử của chúng tỉ lệ với 3; 4; 5 v à các mẫu của chúng tỉ lệ với 5; 1; 2 Tìm ba phân số đó

b) Cho cỏc số a,b,c ,x,y,z thỏa món : abc  0 và

c b a

z c

b a

y c

b a

x















 2 2 4 4 chứng minh:

x a y z x b y z  x c yz









 2 2 4 4 ( với giả thiết cỏc tỉ số đều cú nghĩa)

Bài 3: ( 4điểm)

a) Tỡm cỏc số nguyờn x, y, z thỏa món: ( x-y)2014 + x  y =2

b) Cho 5 số nguyờn phõn biệt a1, a2, a3, a4 ,a5, xột tớch :

P=(a1-a2)(a1-a3)(a1-a4)(a1-a5) (a2-a3)(a2-a4)(a2-a5)(a3-a4)(a3-a5)(a4-a5)

Chứng minh P288

Bài 4: ( 6 điểm)

Cho tam giỏc ABC cú B =750 đường cao AH bằng nửa cạnh BC Trờn nửa mặt phẳng bờ AB chứa C vẽ tia Bx sao cho ABx = 600 trờn tia Bx lấy điểm D sao cho BD =BA Kẻ phõn giỏc BF của gúc ABD (F AD)

a) Tớnh cỏc gúc chưa biết của tam giỏc ABD

b) Chứng minh AB=BD=DA

c) Chứng minh AC =CB

Lưu ý : cỏn bộ coi thi khụng được giải thớch gỡ thờm

PHềNG GD&ĐT SẦM SƠN HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI KHẢO SÁT

KHỐI CLC THCS MÔN TOÁN 7 LẦN 2

3 3 9 3 9

4 10 3 10 5 12 6 12

4 12 5 12

2 7 5 7 5

7 5 7 5 3 2 3 2

3 2 3 2











5 , 3

8 1

35 5 3 9

1 3















A A

1đ 1đ

0,5đ b) Để có căn bậc hai dương 2  x thì x 2

khi đó x-3<0 mà 2  x  0 nên không tìm được x thỏa mãn yêu cầu bài ra

1,0 1,0 0,5

2 A Gọi 3 phân số cần tìm là

n

m d

c b

a

;

; với a;b;c;m;n nguyên và b.d.n  0 theo bài ra ta có a c m k

5 4 3 Suy ra a=3k; c=4k;m=5k Tương tự ta có b=5q; d=q; n=2q

Vậy :

14

15

; 7

12

; 35 9 7 3

70

213 ) 2

5 4 5

3 (

70

213 2

5 4 5 3























n

m d

c b

a q k q k

q

k q

k q k

1đ 0,5đ 0,5đ

0,5đ

0,5đ b) Từ giả thiết ta có :

k a

z y x c b a

z c

b a

y c

b a

x























2 4

4 2 2 4

2 2

Tương tự ta có k x b y z x c y z

9

4 4 9







 Vậy:2x9a yz 2x9b y z 4x94c yz Suy ra x a y z x b y z  x z yz









0,5đ 0,5đ 0,5đ

0,5đ

3 a) Ta có các số tự nhiên : 0 ; 0 ; ( ) 2014 0







x

Vậy (x-y)2014 là số chính phương nhỏ hơn 2

Hoặc (x-y)2014 =0 suy ra x=y

mà x  y  2  x y  1

ta được (x ;y)=(1 ;1) (-1 ;1) ; (-1 ;-1) ;(1 ;-1)

mà x  y nên ( x;y) =(1 ;1) ; -1 ;-1) nếu (x-y)2=1 thì hoặc : x-y= 1 Thì tổng hai số tự nhiên x  y  1 nên

trong hai số x, y có 1 số bằng 0 từ đó

ta có (x ; y)=(0 ;1) ;(1 ;0) ; (0 ;-1) ; (-1 ;0) Vậy :(x ;y)=(1 ;1) ; (-1 ;-1) ;(0 ;1) ;(1 ;0) ; (0 ;-1) ; (-1 ;0)

0,5đ 0,25đ 0,25đ

0,25đ 0,25đ 0,25đ

B Với 5 số a1; a2; a3; a4 có ít nhất 2 số khi chia cho 3 có cùng số dư không

mất tính tổng quát giả sử hai số đó là a1 và a2 khi đó a1-a2  3

Bỏ đi a2 xét 4 số còn lại Trong 4 số này có ít nhất 2 số khi chia cho 3

có cùng số dư không nhất tính tổng quat giả sử 2 số đó là a3 và a5 thì

a3a5  3 Suy ra P 9

* Trong 5 số tự nhiên có ít nhất 3 số cùng tính chẵn lẻ -Nếu có cả năm số cùng tính chẵn lẻ hiển nhiên tất cả các thừa số của p

đều chia hết cho 2 nên P210

suy ra P32 Nếu trong 5 số có 4 số cùng tính chẵn lẻ 4 số này tạo ra 6 thừa số của

tích mà mỗi thừa số đều chia hết cho 2 nên P 32 Nếu trong 5 số có 3 số cùng chẵn không mất tính tổng quát giả sử đó là

a1; a2; a3 đặt a1=2b1; a2=2b2;a3=2b3 ; a4=2b4+1 ; a5=2b5+1

P là tích của 16(b1-b2)(b1-b3)(b2-b3)(b4-b5) và 6 thừa số lẻ trong 3 số b1;

b2; b3 có ít nhất hai số cùng chẵn hoặc cùng lẻ chúng tạo ra 1 thừa số

chia hết cho 2 nên p32

Tương tự với 3 số cùng lẻ và 2 số cùng chẵn thì P32

Vậy P9 ; 32  288

0,25đ 0,25đ

0,25đ 0,25đ

0,25đ

0,25đ 0,25đ 0,25đ

I F

E H

D

C B

A

Vẽ phân giác BF của ABD chứng minh: ABF= DBF (c-g-c)

Từ đó nhờ định lý tổng ba góc trong tam giác chứng minh:

 BAD=BDA =600

1đ 1đ

B Kẻ phân giác AI dựa vào định lý tổng 3 góc trong tam giác chứng

minh BIA =DIA =900

Từ đó chứng minh AIB= AID (g.c.g)

Suy ra AB=AD

Mà theo giải thiêt: AB=BD nên AB=BD=DA

0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ

c Gọi E là trung điểm của BC , chứng minh: AHB= BED (c.g.c)

Từ đó chứng minh DEB= DEC =900

Chứng minh DEB = DEC (c.g.c) rồi chứng minh  BDC=1500

Chứng minh ADC =1500

Chứng minh ADC= BDC (c.g.c)  CB=CA

0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ