Chứng minh DM = EN c Chứng minh tam giác AMN là tam giác cân.. Chứng minh AI là tia phân giác chung của 2 góc BAC và MAN... Chứng minh: AI là tia phân giác chung của và... Tam giác AMN
Trang 1phòng GD và ĐT phù yên Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trờng
Trờng THCS Võ Thị Sáu lớp 7- năm học 2010- 2011
Môn: Toán
Đề dự bị Thời gian: 120 phút (Không kể
thời gian giao đề)
Bài 1: Thực hiện phép tính:
A =
1 1 1 1
5 7 2 3
+
B =
2 3 4 100
99 98 97 1
+ + + +
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau khi x thay đổi:
B = x− 2 + − 3 x
Bài 3: Chứng minh rằng:
a) 106 - 57 chia hết cho 59
b) 3135 229 - 3136 36 chia hết cho 7
Bài 4: Tìm các số hữu tỉ dơng x, y, z biết:
1
2
x
y
z
= −
+
Bài 5: Cho tam giác cân ABC có AB = AC Trên tia đối của các tia BA
và CA lấy hai điểm D và E, sao cho BD = CE
a) Chứng minh DE // BC
b) Từ D kẻ DM vuông góc với BC, từ E kẻ EN vuông góc với BC Chứng minh DM = EN
c) Chứng minh tam giác AMN là tam giác cân
d) Từ B và C kẻ các đờng vuông góc với AM và AN chúng cắt nhau tại I Chứng minh AI là tia phân giác chung của 2 góc BAC và MAN
Trang 2phßng GD vµ §T phï yªn k× thi chän häc sinh giái cÊp trêng
Trêng THCS Vâ ThÞ S¸u líp 7- n¨m häc 2010- 2011
M«n: To¸n
§¸p ¸n vµ thang ®iÓm
B
bµi 1
A =
1 1 1 1
5 7 2 3
+
=
1 1 1 1 1 1
8 5 7 2 3 5
3 3 3 3 3 3
8 5 7 4 6 10
+
=
1 1 1
1 1 1 2
4 6 10
8 5 7
1 1 3 1 1 1
8 5 7 4 6 10
+ −
+
− + + −
= 1 2 1
3 3 + =
1
1 0,25
6
B =
2 3 4 100
99 98 97 1
+ + + +
=
1 1 1 1
2 3 4 100
100 1 100 2 100 3 100 99
+ + + +
=
1 1 1 1
2 3 4 100
100 100 100 100 1 2 3 99
+ + + +
=
1 1 1 1
2 3 4 100
100 100 99
2 3 99
+ + + +
+ × + + + ÷−
=
1 1 1 1
2 3 4 100
1 100
2 3 99
+ + + +
+ × + + + ÷
1
1
0,5
0,5
Trang 3=
1 1 1 1
2 3 4 100
100
2 3 99 100
+ + + +
ì + + + + ữ
= 1
100
0,5 0,25
2
Ta xét các trờng hợp:
+ Nếu x < 2 ⇒ x - 2 < 0 ; 3 - x > 0
Do đó: x− = − − 2 (x 2) ; 3 − = −x 3 x
⇒ B = - (x - 2) + 3 - x = -2x + 5
Vì x < 2 nên -x > -2 Do đó: B = -2x + 5 > (-2).2
+ 5
Hay B > 1 ⇒ B nhỏ nhất bằng 2
+ Nếu 2 ≤ ≤x 3 ⇒ x - 2 ≥ 0 ; 3 - x ≥ 0
⇒ B = x - 2 + 3 - x = 1
Vậy B = 1
+ Nếu x > 3 ⇒ x - 2 > 0 ; 3 - x < 0
⇒ B = x - 2 - (3 - x) = 2x - 5
Vì x > 3 nên B = 2x - 5 > 2 3 - 5
Hay B > 1 Vậy B nhỏ nhất bằng 2
Từ 3 trờng hợp trên ta đợc B đạt giá trị nhỏ nhất
bằng 1 khi 2 ≤ ≤x 3
0,75 0,75
0,75 0,25
2,5
3
a) 106 - 57 = (2.5)6 - 57 = 26.56 - 57
= 56.(26 - 5) = 56 59 M 59 0,5
1,5
b) 3135 229 - 3136 36 = 3135 229 - 3136 (1 + 35)
= 3135 229 - 3136 - 3136 35 = 3135 (229 - 313) - 3136 35 = 3135 (-14) - 3136 35
= 7 (-2 3135 - 3136 5) M 7 1
4
Biến đổi vế phải thành dạng tơng tự vế trái:
+ Suy ra x = 1 ; y = 1 ; z = 3
0,75
0,25
1
5
A
H
K
M B
C N
0,5
9
ABC: AB = AC; BD = CE
GT (Dtia đối BA; Etia đối
CA)
a) DE // BC
b) DMBC; ENBC Chứng
minh: DM = EN
KL c)AMN cân
d) BHAM; CKAN; BH
CK = I Chứng minh: AI
là
tia phân giác chung
của
và
Trang 4
D
E
Chứng minh:
a) Ta có: AB = AC (gt) và BD = CE (gt) ⇒ AD = AE
∆ADE có AD = AE nên là tam giác cân
Hai tam giác cân ABC và ADE có chung góc ở
đỉnh A nên các góc ở đáy bằng nhau: ãABC= ãADE
mà ãABC ADE;ã là 2 góc đồng vị ⇒ DE // BC
b) ∆ABC cân tại A: ãABC= ãACB
Mà MBDã = ãABC (đối đỉnh)
ãNCE= ãACB (đối đỉnh)
⇒ MBD NCEã = ã
Xét 2 tam giác vuông ∆DMB và ∆ENC có:
ãMBD NCE= ã (CM trên)
BD = CE (gt)
Nên ∆DMB = ∆ENC (Cạnh huyền- góc nhọn)
⇒ DM = EN (2 cạnh tơng ứng)
c) Xét ∆AMD và ∆ANE có:
AD = AE (CM câu a))
ãADM = ãAEN (Do ∆DMB = ∆ENC: CM câu b))
DM = EN (CM câu b))
Vậy ∆AMD = ∆ANE (c - g - c)
Suy ra: AM = AN Tam giác AMN cân tại A
d) ∆AMD = ∆ANE (CM câu c)) nên HAB KACã = ã
Xét 2 tam giác vuông: HAB và KAC có:
AB = AC (gt)
Nên ∆HAB = ∆KAC (Cạnh huyền- góc nhọn) ⇒ AH =
AK
Mặt khác: Xét 2 tam giác vuông AIH và AIK có:
AI: Cạnh chung
AH = AK (CM trên)
⇒ ∆AHI = ∆AKI (Cạnh huyền- cạnh góc vuông)
Do đó: IAHã =IAKã
Lại có: ãHAB KAC= ã nên ãIAB IAC= ã
Vậy AI là tia phân giác chung của ãBAC và ãMAN
0,5
1
0,5
1 0,25
1 0,5 0,25
1
1 0,5 0,5 0,5