ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2006 – 2007
MÔN : TOÁN LỚP 7 Thời gian : 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1( 2 điểm) :
Cho 6 số nguyên dương a<b<c<d<m<n
Chứng minh rằng :
2
1
n m d c b a
m c a
Câu 2 ( 1,5 điểm) :
Không dùng bảng số hay máy tính, hảy so sánh :
50 2 Với 50 2
Câu 3 ( 1,5 điểm ) :
Tìm x, y, z biết :
5 9 12
z y x
và xyz = 20
Câu 4 ( 2,5 điểm ) :
Cho đa thức f(x) = x2 + 4x – 5
a/ Số –5 có phải là nghiệm của đa thức f(x) không ? b/ Viết tập hợp S tất cả các nghiệm của f(x)
Câu 5 ( 3,5 điểm ) :
Cho ABC có đường cao AH và trung tuyến AM chia góc A thành 3 góc bằng nhau
a/ C/m rằng : ABC là tam giác vuông
b/ C/m : ABM là tam giác đều
Trang 2ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN : TOÁN 7
Câu 1 : ta có : a<b = > 2a < a + b ; c<d => 2c < c + d
m < n = > 2m < m + n
Suy ra : 2(a + c + m) < ( a + b +c + d + m + n)
Do đó :
2
1
n m d c b
a
m c a
Câu 2 :
8 64 52
2
50 (1)
8 1 7 1 49 2
50 (2)
Từ (1) và (2) => 50 2 < 50 2
Câu 3 :
Ta đặt :
5 9 12
z y x
Suy ra : x = 12k; y = 9k; z = 5k
Vì xyz = 20 nên 12k.9k.5k = 20
540 k3 = 20 => k3 =
27
1
=> k =
3 1
Vậy x = 12
3
5 3
1 5
; 3 3
1 9
; 4 3
1
Câu 4 :
a/ Thay –5 vào f(x) = x2 +4x – 5 ta có
f(-5) = (-5)2 + 4.(-5) – 5
= 25 – 20 –5 = 0
Vậy số –5 là nghiệm của đa thức f(x)
b/ f(x) = x2 + 4x –5 = x2 – x + 5x – 5
= x( x - 1) + 5(x – 1)
= (x – 1) (x + 5)
f(x) = 0 <=> (x – 1) (x + 5) = 0
<=>
5
1 0
5
0 1
x
x x
x
Vậy tập hợp các nghiệm của f(x) là S = 1;-5
Câu 5 :
B
H
M
Trang 3a/ Chứng minh : ABC là tam giác vuông :
Vẻ MI AC ; ta có : MAI = MAH ( cạnh huyền – góc nhọn)
Suy ra : ABH = AMH (g – c – g)
Suy ra : BH = MH =
2
1
BH =
2
1
CM Nên : góc C = 300 ; góc HAC = 600
góc BAC = 0 90 0
2
3 60
Vậy ABC vuông tại A
b/ Ta có :
Vì : góc C = 300 nên góc B = 600 ; AM = BM =
2
1
BC ( t/c đường trung tuyến – cạnh huyền)
=> ABM cân, có một góc bằng 600
Vậy ABM là tam giác đều
http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 tài nguyên giáo dục