Thi vào 10 chuyên Toán - Tin năm 2006-2007 của chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa

Tìm trên trục hoành Ox điểm M sao cho 3 điểm A, B, M thẳng hàng.. Tìm trên trục hoành Ox điểm P sao cho PA+PB nhỏ nhất.. Từ điểm M nằm ngoài đờng tròn kẻ hai tiếp tuyến ME và MF đến đờng

Sở GD&ĐT Thanh Hoá Kỳ thi tuyển sinh THPT chuyên Lam Sơn 2006 Đề thi chính thức Môn thi: Toán (dùng cho thí sinh thi vào chuyên Tin) Ngày thi: 22 tháng 6 năm 2006

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1 (2 điểm):

Cho phơng trình: 2x2-5mx-m2+5m=0

1 Giải phơng trình khi m 2

2 Tìm giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu

Câu 2 (2 điểm):

1 Giải hệ phơng trình: 











115 4

54 3

2 2

y xy

xy x

2 Giải phơng trình: 2 2 4 8 2

x







Câu 3 (1 điểm):

Cho x, y, z là ba số dơng thoả mãn xyz=1 Chứng minh rằng nếu

xyz 1x1y1z thì có một và chỉ một số lớn hơn 1

Câu 4 ( 2 điểm):

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai điểm A(2;3) và B(-1;1)

1 Tìm trên trục hoành Ox điểm M sao cho 3 điểm A, B, M thẳng hàng

2 Tìm trên trục hoành Ox điểm P sao cho PA+PB nhỏ nhất

Câu 5 (2 điểm):

Cho đờng tròn tâm O Từ điểm M nằm ngoài đờng tròn kẻ hai tiếp tuyến ME

và MF đến đờng tròn (E, F là các tiếp điểm) Trên cung nhỏ EF lấy điểm P bất kỳ Tiếp tuyến với đờng tròn tại P cắt ME, MF lần lợt tại A và B

1 Chứng minh rằng tam giác MAB có chu vi không đổi

2 Xác định vị trí điểm P để tam giác MAB có diện tích lớn nhất

Câu 6 (1 điểm):

Cho tam giác ABC vuông tại A Trên tia BA lấy điểm K sao cho AK=2AB Từ B

và K vẽ các tia Bx//CK và Ky//CB, Bx cắt Ky tại điểm P Chứng minh rằng

cos2KBC+sin2KAP>

2007

2006

-Hết -Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

Chữ ký giám thị 1: Chữ ký giám thị 2:

Sở GD&ĐT Thanh Hoá Kỳ thi tuyển sinh THPT chuyên Lam Sơn 2006 Đề thi chính thức Môn thi: Toán (dùng cho thí sinh thi vào chuyên Tin)

hớng dẫn chấm thi

Bản hớng dẫn này gồm 3 trang

I Hớng dẫn chung:

- Đáp án dới đây chỉ trình bày một lời giải, nếu học sinh làm bằng cách khác mà đúng, vẫn cho điểm tối đa

- Việc chi tiết hoá điểm số (nếu có) phải đúng với hớng dẫn chấm và đợc thống nhất trong toàn Hội đồng chấm thi

- Điểm toàn bài lấy theo thang điểm 10 và làm tròn đến 0,5 (lẻ 0,25 làm tròn thành 0,5;

lẻ 0,5 làm tròn thành 1,0)

II Đáp án và thang điểm:

Câu 1

1 Với m  2 phơng trình đã cho trở thành 2 2 5 2. 2 5 2 0







Do tổng các hệ số bằng không nên pt có hai nghiệm là x1=1 và

2

2 2 5

2





2 Phơng trình có hai nghiệm trái dấu khi a.c<0

suy ra 2(-m2+5m)<0

vậy 







 0

5

m m

0,5đ

0,5đ

0,25đ 0,25đ 0,5đ

Câu 2

1 Cộng từng vế hai pt của hệ ta đợc hệ tơng đơng :













115 4

169 )

2 (

2 2

y xy

y x















115 4

13 2

2

y xy y x

Thay x  13  2y vào phơng trình thứ 2 của hệ, ta đợc:





















0 115 13

2

0 115 13

2

2 2

y y

y y

Từ đó suy ra hệ đã cho có 4 nghiệm là (3;5), 











 2

23

;

36 , (-5;-3),













 36

; 2

23

,

0,5đ

0,25đ 0,25đ

2 Điều kiện: 4<x2<8  2

4 1

2



4

2 2



y

4

2



y2<1

Từ đó suy ra x2=4y2+4 Thay vào phơng trình đã cho ta có:

2 2

2 2

2 1 4y 4 4 8 4y 4 y 1 2y 4 4y

hay 1+|y|=4-4y2 hay 4y2+|y|-3=0 Giải phơng trình này ta đợc

4

3



y

Suy ra

4

25

2



2

5





0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ

Câu 3

Xét biểu thức A=(x-1)(y-1)(z-1)=xyz-xy-yz-zx+x+y+z-1

Vì xyz=1 nên

A=x+y+z-xyz

zx yz

xy 

=    111 0

z y x z y

Theo giả thiết,      

z y x z y

x 1 1 1 suy ra A>0

Nếu cả ba nhân tử (x-1), (y-1), (z-1) đều dơng thi x, y, z đồng

thời lớn hơn 1, trái với với giả thiết xyz=1

Vậy chỉ xảy ra trờng hợp có đúng một nhân tử dơng, tức là có đúng

một số trong ba số x, y, z lớn hơn 1

0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ

Câu 4

1 Phơng trình đờng thẳng AB có dạng: y=ax+b (vì xA≠xB) Thay

các toạ độ vào ta có: 









   





3 3 1

2

b a b

a b a

, vậy đờng thẳng AB có phơng trình:

3

5 3

2



 x

y Giao của đờng thẳng AB với trục hoành là điểm ).

0

; 2

5 (

M

2 Gọi A1 là điểm đối xứng với A qua Ox, suy ra A1(2;-3) Gọi P là

giao của A1B với Ox, thế thì P là điểm cần tìm Thật vậy:

Với điểm Q bất kỳ trên Ox, khác P thì

QA+QB=QA1+QB>A1B=PA1+PB=PA+PB bé nhất

đờng thẳng A1B có phơng trình

3

1 3

4





y , P thuộc trục hoành nên y=0,

4

1





x vậy P có toạ độ ; 0 )

4

1 (

0,5đ

0,5đ

0,5đ 0,5đ

M

A

B P

A

K P

H

Câu 5

1 Vì AE và AP là tiếp tuyến nên AE=AP

Tơng tự, BF=BP Chu vi tam giác ABM

là AB+BM+MA=MA+AE+MB+BF=

2ME không đổi

2 Trớc hết ta chứng minh ABC có góc

A không đổi và đờng cao AH=h không

đổi

Thì diện tich nhỏ nhất khi nó là tam

giác

cân Thật vậy: ta có thể giả sử AC>AB

Xét tam giác cân AB1C1 đỉnh A, góc A

không đổi, đờng cao h Trên AC

lấy AQ=AB, suy ra tam giác ABB1

bằng tam giác AQC1 Suy ra

diện tích AB1C1 bằng diện tích tứ giác

ABC1Q<diện tích tam giác ABC

Trở lại bài toán ta có:

SMAB= SMEOF – SAEOFB=SMEOF-2SOAB Do diện tích SMEOF không đổi

nên SMAB lớn nhất khi SOAB nhỏ nhất Do góc AOB không đổi, đờng

cao OP=R không đổi, vậy theo chứng minh trên, diện tích tam giác

MAB lớn nhất khi OAB là tam giác cân, tức là P là điểm chính giữa

cung EF

0,5đ 0,5đ

0,5đ

0,5đ

Câu 6

Gọi H là trung điểm của AK, ta có

HK=AB, BP//CK, KP//CB, vậy

BP=CK

Góc ABP =góc HKC suy ra

ABP=HKC Vậy CH=PA

Lại do CH=CB nên PA=CB

Vậy PK=PA, hay góc PAK bằng góc PKA và bằng góc KBC

Suy ra cos2(KBC)= 2

2

BC

AB .

sin2(KAB)= 2

2

BC

AC

, suy ra cos2(KBC)+ sin2(KAB)=1>

2007

2006

0,5đ

0,5đ

A

C1 Q