Phßngd-®t Vò th §Ò kh¶o s¸t häc sinh giái
n¨m häc 2007 – 2008
M«n: To¸n líp 7
Thêi gian lµm bµi : 120 phót
Bµi 1: (5®iÓm)
1) Thùc hiÖn phÐp tÝnh (theo c¸ch hîp lÝ nÕu cã thÓ)
9
12 9
b)
4 16
+
2) Chøng tá r»ng: 1 + 5 + 52 + 53 + + 529 chia hÕt cho 31
Bµi 2: (4®iÓm)
1) T×m x biÕt: 1: x 1 0,25 5
2) T×m ba sè x,y,z biÕt r»ng: 2x y z
3 5
2
+ − = −
Bµi 3: (4®iÓm)
Cho hai ®a thøc : P(x) = x5 – 2x3 + 3x4 – 9x2 + 11x – 6
Q(x) = 3x4 + x5 – 2(x3 + 4) – 10x2 + 9x
§Æt H(x) = P(x) - Q(x)
1) Chøng minh ®a thøc H(x) kh«ng cã nghiÖm
2) Chøng tá r»ng: H(x) ≠2008 víi ∀ ∈ x Z
Bµi 4: (5®iÓm)
Cho tam gi¸c ABC, trªn c¸c c¹nh AB vµ AC theo thø tù lÊy c¸c
®iÓm M,N sao cho AM = AN (M n»m gi÷a A vµ B, N n»m gi÷a A
vµ C)
1) Chøng minh r»ng : NÕu AB = AC th× BN = CM
2) Cho biÕt AB > AC:
a) Chøng minh r»ng : BN > CM
b) Gäi giao ®iÓm cña BN vµ CM lµ K, so s¸nh BK vµ CK
Bµi 5: (2®iÓm)
Trang 2Chứng minh rằng: 12 12 12 12 2
2 + 3 + 4 + + n < 3 với ∀ ∈ n N,n 4 ≥
Hớng dẫn giải-Vũ th
Bài 1:
Câu 1: 3,5 đ - ý a: 1,5 đ; ý b: 2đ;
Câu 2: 1,5 đ
1) Thực hiện phép tính (theo cách hợp lí nếu có thể)
2008 2.2009 2009 2.2009
2008 2009 1
2007 2007 2007
−
( ) ( )10 10
10 40
b)
(0,5đ)
21824 23036
+
=
+ (0,5đ) 2 (1 2 )1824 1212 16 1
2 (1 2 ) 2 64
+
2) Chứng tỏ rằng 1 + 5 + 52 + 53 + + 529 chia hết cho 31
1 + 5 + 52 + 53 + + 529 =(1 + 5 + 52) + (53 + 54 + 55) + +( 527
+ 528 + 529) (0,25đ)
= (1 + 5 + 52) + 53 (1+ 5 + 52) + + 527 (1 + 5 + 52) (0,5đ)
= 31 + 53.31 + + 527 31 (0,25đ)
= 31.(1 + 53 + + 527) chia hết cho 31 (0,25đ)
Vậy 1 + 5 + 52 + 53 + + 529 chia hết cho 31 (0,25đ)
Bài 2
Mỗi câu đúng cho 2 đ
Bài 3
Làm đúng mỗi câu cho 2điểm
1.Chứng minh đa thức H(x) không có nghiệm
+Tính đúng H(x) = x2 + 2x + 2
(1đ)
= ( x + 1)2 + 1
(0,25đ)
Trang 3Do ( )2
x 1 + ≥ ∀ 0 x (0,25đ)
( )2
x 1 + + ≥ > ∀ 1 1 0 x (0,25đ)
=> H(x) không có nghiệm
2.Chứng tỏ rằng: H(x) ≠2008 với ∀ ∈ x Z
H(x) = x2 + 2x + 2 = x(x + 2) + 2
Giả sử tồn tại ∀ ∈ x Z để H(x)= 2008
(0,25đ)
=> x(x + 2) + 2 = 2008 => x(x + 2) = 2006
(0,25đ)
=> x hoặc x+ 2 chia hết cho 2 => x và x+ 2 chia hết cho 2
(0,25đ)
=> x(x + 2) chia hết cho 4 tức là 2006 không chia hết cho 4
(0,25đ) Mâu thuẫn, vì 2006 không chia hết cho 4, điều giả sử là sai
(0,25đ) Vậy H(x) ≠2008 với ∀ ∈ x Z
Bài 4
Câu 1: 1đ:
Câu 2: 4đ
1) ABN ACM(cgc)
BN CM
=
=> =
2) ý a đúng cho 2điểm, ý b đúng cho 2 điểm
a) Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = AC
Khi đó D nằm giữa B và M Nối D với N
+.c/m: V ADN = V ACM(c.g.c) => DN CM =
+.Trong V ADC có ADN ACM 180 ã + ã < 0
=> ADN 90 ã < 0
Mà BDN NDA 180 ã + ã = => BDN 90 ã > 0
=> Trong tam giác BDN có BN > DN, mà DN = CM
=> BN > CM
b) Gọi giao điểm của DN và CM là I Ta c/m : V DNM = V CMN
INM IMN
Do D nằm giữa B và M nên tia ND nằm giữa 2 tia NB và NM
=>BNM DNMãã ãã KNM INMã ã
> => >
> => >
A
B
C
K I A
B
C
M
N D
Trang 4Mặt khác theo c/m trên ta có : BN > CM => BK > CK
Bài 5
Chứng minh rằng: 12 12 12 12 2
2 + 3 + 4 + + n < 3 với ∀ ∈ n N,n 4 ≥
+.Với n = 5 dễ dành tính đợc giá trị biểu thức là1669 1 2
3600 2 3 < < và BĐT luôn đúng
+.Với n > 5
Đặt A 12 12 12 12
k N;k 2
k k(k 1)
−
−
1669 1 1 1669 1 2389 2
3600 5 n 3600 5 3600 3
−