Bài 6: Định giá Options bằng nhị phân

Công thức toán sử dụng những nhân tố tác động đến giá quyền chọn làm dữ liệu đầu vào để tính toán ra giá trị hợp lý lý thuyết của quyền chọn Mô hình nhị phân nghĩa là tính đến trường hợp giá cổ phiếu hoặc tăng lên hoặc giảm xuống với những khả năng xảy ra khác nhau. Một phân phối xác suất nhị phân là một phân phối xác suất có tất cả hai kết quả hoặc hai trạng thái. Xác suất của một biến động tăng hoặc giảm được chi phối bởi phân phối xác suất nhị phân. Vì lý do này mà mô hình còn được gọi là mô hình hai trạng thái. Một thời kỳ nghĩa là dựa trên giả định đời sống quyền chọn chỉ còn 1 đơn vị thời gian.

Bài 4: Định giá quyền chọn bằng mô hình nhị phân

QUẢN TRỊ RỦI RO TÀI CHÍNH

• Mô hình định giá quyền chọn

– Công thức toán sử dụng những nhân tố tác động đến giá quyền chọn làm dữ liệu đầu vào để tính toán ra giá trị hợp lý lý thuyết của quyền chọn

Mô hình nhị phân một thời kỳ

Mô hình nhị phân nghĩa là tính đến trường hợp giá

cổ phiếu hoặc tăng lên hoặc giảm xuống với những khả năng xảy ra khác nhau

Một phân phối xác suất nhị phân là một phân phối xác suất có tất cả hai kết quả hoặc hai trạng thái Xác suất của một biến động tăng hoặc giảm được chi phối bởi phân phối xác suất nhị phân Vì lý do này mà mô

hình còn được gọi là mô hình hai trạng thái.

Một thời kỳ nghĩa là dựa trên giả định đời sống quyền chọn chỉ còn 1 đơn vị thời gian

Mô hình nhị phân một thời kỳ

Khi quyền chọn hết hiệu lực thì cổ phiếu

có thể nhận một trong hai giá trị sau: Nó

có thể tăng lên theo một tham số u hoặc

giảm xuống theo một tham số d Nếu nó

tăng lên thì giá cổ phiếu sẽ là Su Nếu giá cổ phiếu giảm xuống thì nó sẽ là Sd.

Mô hình nhị phân một thời kỳ

Xem xét một quyền chọn mua cổ phiếu

với giá thực hiện là X và giá hiện tại là

C Khi quyền chọn hết hiệu lực, giá

của nó sẽ là Cu hoặc Cd Bởi vì tại

ngày hiệu lực, giá của quyền chọn là giá trị nội tại của nó nên:

Cu = Max[0, Su – X]

Cd = Max[0, Sd – X]

Mô hình nhị phân một thời kỳ

Mô hình nhị phân một thời kỳ

• r là lãi suất phi rủi ro – lãi suất đạt được từ

một khoản đầu tư không có rủi ro qua một thời kỳ bằng với đời sống còn lại của quyền chọn.

• Điều kiện: d < 1+r < u

• Giả sử rằng tất cả các nhà đầu tư đều có thể

đi vay và cho vay với lãi suất phi rủi ro.

Mô hình nhị phân một thời kỳ

Mục tiêu của mô hình này là xây dựng một công

thức để tính toán giá trị lý thuyết của quyền chọn, biến số C.

Công thức tìm C được phát triển bằng cách xây

dựng một danh mục phi rủi ro của cổ phiếu và quyền chọn

Danh mục phi rủi ro này được gọi là một danh mục

đã được phòng ngừa rủi ro (hedge portfolio), từ

đây chúng tôi sẽ gọi tắt là danh mục phòng ngừa,

nó bao gồm h cổ phần và một vị thế bán quyền

chọn mua

Mô hình nhị phân một thời kỳ

Giá trị hiện tại của danh mục được ký hiệu là V, với

Mô hình nhị phân một thời kỳ

Nếu kết quả của danh mục là không đổi bất chấp

giá cổ phiếu biến động như thế nào thì danh mục

được gọi là phi rủi ro Khi đó, Vu = Vd

Sd Su

Mô hình nhị phân một thời kỳ

r 1

C ) p 1

d r

1 p

với p được tính bởi:

Như vậy giá quyền chọn mua là một bình quân có trọng số của hai trường hợp khả thi về giá quyền chọn trong kỳ kế tiếp, được chiết khấu theo lãi suất phi rủi ro

Mô hình nhị phân một thời kỳ

Những biến số tác động đến giá quyền chọn mua là:

• Giá cổ phiếu ở thời điểm hiện tại: S

• Giá thực hiện: X

• Lãi suất phi rủi ro: r

• Hai tham số u và u d, giải thích cho các khả năng d

về giá trong tương lai của cổ phiếu tại ngày đáo hạn của quyền chọn

Tại sao không có yếu tố thời gian đáo hạn?

Mô hình nhị phân một thời kỳ

Ví dụ minh họa

Xem xét một cổ phiếu hiện tại đang

có giá là $100 Một kỳ sau nó có thể tăng lên $125, một sự gia tăng 25% hoặc giảm xuống $80, một sự sụt giảm 20% Giả sử một quyền chọn mua với giá thực hiện là $100 Lãi suất phi rủi ro là 7%

Mô hình nhị phân một thời kỳ

Mô hình nhị phân một thời kỳ

Ví dụ minh họa

556 ,

0 80

0 80

, 0 25 , 1

80 , 0 07 ,

1 d

u

d r

14 07

, 1

0 ) 4 , 0 ( 25 ) 6 , 0

Mô hình nhị phân một thời kỳ

Danh mục phòng ngừa

Mô hình nhị phân một thời kỳ

Quyền chọn bị đánh giá cao

Giả sử giá thị trường của quyền chọn mua là $15 Vay lãi

suất phi rủi ro để nắm giữ danh mục phòng ngừa (mua

cổ phiếu và bán quyền chọn mua)

0

1 600

40

$

500

Mô hình nhị phân một thời kỳ

Quyền chọn bị đánh giá thấp

Giả sử quyền chọn mua được định giá là $13 Mua quyền chọn và bán khống cổ phiếu (Bán danh mục phòng ngừa và đầu tư vào trái phiếu)

Khi đó các nhà đầu tư bán khống 556 cổ phần với giá

$100, tạo ra một dòng tiền vào là

Mô hình nhị phân một thời kỳ

Nếu giá cổ phiếu giảm xuống $80, nhà đầu tư sẽ mua

lại và phải trả 556($80) = $44.480 (chi ra) trong khi

quyền chọn hết hiệu lực mà không được thực hiện

Mô hình nhị phân một thời kỳ

Quyền chọn bị đánh giá thấp

Nhìn toàn thể giao dịch này giống một khoản nợ, trong đó nhà đầu tư nhận trước $42.600 và sau đó trả lại $44.500

Điều này tương đương với một mức lãi suất (vay) bằng: ($44.500/$42.600 – 1) = 0,0446

Bởi vì giao dịch này tương đương với việc đi vay với lãi suất 4,46% và đi đầu tư vào trái phiếu với mức lãi suất phi rủi ro là 7% nên nó là một cơ hội đi vay hấp dẫn

Mô hình nhị phân hai thời kỳ

Mô hình của chúng ta sẽ có ba thời điểm:

• Ngày hôm nay là thời điểm 0,

• Thời điểm 1

• Thời điểm 2

Mô hình nhị phân hai thời kỳ

Các giá quyền chọn tại ngày đáo hạn là:

Mô hình nhị phân hai thời kỳ

u u

C ) p 1

Mô hình nhị phân hai thời kỳ

Để tính được giá quyền chọn mua vào thời điểm đầu kỳ, chúng ta chiết khấu bình quân có trọng số của hai mức giá khả thi trong tương lai của quyền chọn mua theo lãi suất phi rủi ro cho một thời kỳ

Do đó, mô hình nhị phân một thời kỳ là một công

thức tổng quát có thể sử dụng cho mô hình đa thời kỳ khi chỉ còn lại một thời kỳ.

r 1

C ) p 1

=

Mô hình nhị phân hai thời kỳ

Thay công thức tính Cu và Cd trên vào ta có công thức tổng quát của mô hình nhị phân 2 thời kỳ:

2

d

2 ud

u

2

) r 1

(

C ) p 1

( C

) p 1

( p 2 C

p

+

− +

− +

=

Mô hình nhị phân hai thời kỳ

Chúng ta cần phải điểu chỉnh tỷ số phòng ngừa Nếu giá cổ phiếu là Su thì chúng ta gọi tỷ số phòng ngừa mới là hu; nếu giá cổ phiếu là Sd thì tỷ số này sẽ là hd

Sd Su

C

C

h u2 udu

Sd Sdu

Mô hình nhị phân hai thời kỳ

$100 Lãi suất phi rủi ro là 7%

Mô hình nhị phân hai thời kỳ

Su2 = 100(1,25)2

= 156,25Sud = 100(1,25)(0,80)

Mô hình nhị phân hai thời kỳ

Giá trị của quyền chọn mua tại ngày đáo hạn là:

Mô hình nhị phân hai thời kỳ

Trước hết chúng ta tính giá trị của Cu và Cd:

54 ,

31 07

, 1

0 ) 4 , 0 ( 25 , 56 ) 6 , 0

(

00,

007

,1

0)4,0(0)6,0

(

Cd = + =

69,

1707

,1

0)4,0(54,31)6,0

(

Giá trị thời gian tăng cùng chiều với thời gian tính cho đến khi

Mô hình nhị phân hai thời kỳ

Danh mục phòng ngừa

701,

080

125

00,054,

Mô hình nhị phân hai thời kỳ

Quyền chọn mua bị định giá sai trong mô hình hai thời kỳ

Nếu quyền chọn mua bị định giá thấp, chúng ta nên mua nó và bán khống h cổ phần

Nếu quyền chọn mua bị định giá cao, chúng ta nên bán nó và mua h cổ phần

Tỷ suất sinh lợi của hai thời kỳ là một trung bình nhân của hai tỷ suất sinh lợi một thời kỳ

Mô hình nhị phân hai thời kỳ

Quyền chọn mua bị định giá sai trong mô hình hai thời kỳ

Mở rộng mô hình nhị phân

Định giá quyền chọn bán

Tại thời điểm 1, sử dụng cùng công thức mà chúng

ta đã áp dụng cho quyền chọn mua:

00,

007

,1

0)4,0(0)6,0

(

Pu = + =

46,

1307

,1

36)4,0(0)6,0(

Pd = + =

5 07

, 1

46 , 13 ) 4 , 0 ( 0 ) 6 , 0 (

Mở rộng mô hình nhị phân

Định giá quyền chọn bán

Tại thời điểm 0 tỷ số phòng ngừa là:

299 ,

0 80

125

46 , 13

299($100) = $29.900 (bằng cổ phần)

1.000($5,03) = $5.030 (bằng các quyền chọn bán)Tổng cộng = $34.930

Mở rộng mô hình nhị phân

Quyền chọn bán kiểu Mỹ được thực hiện sớm

Trả lời cho câu hỏi

Khi quyền chọn bán ở trạng thái cao giá

ITM thì chúng ta có đáng để thực hiện

sớm quyền chọn hay không?

Mở rộng mô hình nhị phân

Quyền chọn bán kiểu Mỹ được thực hiện sớm

Trở lại với giá trị quyền chọn bán kiểu châu Âu đã

được tính tại thời điểm 1 Giá trị của chúng là:

00 ,

0 07

, 1

0 ) 4 , 0 ( 0 ) 6 , 0

(

(0,6)0 (0, 4)36

13, 46 1,07

d

khi giá cổ phiếu là $125

khi giá cổ phiếu là $80

Mở rộng mô hình nhị phân

Quyền chọn bán kiểu Mỹ được thực hiện sớm

Khi giá cổ phiếu là 80, quyền chọn bán cao giá ITM một khoản $20 Vì vậy, chúng ta thực hiện quyền chọn, nghĩa là chúng ta thay thế giá trị Pd đã tính toán 13,46 bằng 20

Do đó, chúng ta bây giờ có Pu = 0 và Pd = 20 Khi đó giá trị tại thời điểm 0 là:

48,

707

,1

20)4,0(0)6,0(

P = + = > 5,03 ?

• Giả sử cổ tức được chia và cổ phiếu ở trạng thái

đã chia cổ tức tại thời điểm 1

Mở rộng mô hình nhị phân

Cổ tức, quyền chọn mua kiểu châu Âu và quyền chọn mua kiểu Mỹ được thực hiện sớm

< 17,69 ?

• Giả định là giá cổ phiếu tăng lên 125

• Chúng ta có quyền thực hiện trước khi cổ phiếu được chia cổ tức, trả 100 và nhận được một cổ phiếu trị giá 125

• Do đó, giá trị quyền chọn tại thời điểm này là 25

02 ,

14 07

, 1

0 ) 4 , 0 ( 25 ) 6 , 0 (

Mở rộng mô hình nhị phân

Mở rộng hô hình nhị phân ra n thời kỳ

• Khi tăng số thời kỳ trong đời sống của một quyền chọn thì giá trị của nó sẽ hội tụ về một con số

• Nếu chúng ta thu được một số lượng n cần thiết để đạt được sự miêu tả một cách chính xác những gì diễn ra cho cho giá cổ phiếu trong suốt đời sống quyền chọn

• Chúng ta có thể tự tin rằng giá trị quyền chọn mà chúng ta tính được sẽ phản ánh gần như chính xác giá trị trong thực tế của quyền chọn

Giá trị của quyền chọn khi n tiến tới vô cực sẽ có một tên gọi rất đặc biệt, được gọi là giá trị BLACK - SCHOLE