Định giá quyền chọn bằng mô hình Black-Scholes

QUẢN TRỊ RỦI RO TÀI CHÍNH Bài 5: Đònh giá quyền chọn mô hình Black-Scholes GIỚI HẠN CỦA MÔ HÌNH NHỊ PHÂN Mơ hình định giá quyền chọn nhị phân hội tụ vào giá trị cụ thể giới hạn GIỚI HẠN CỦA MÔ HÌNH NHỊ PHÂN Mơ hình nhị phân gọi mơ hình thời gian rời rạc Khi thời gian trôi đi, giá cổ phiếu nhảy từ mức sang hai mức Tuy nhiên, thực tế thời gian trơi khơng ngừng giá cổ phiếu nói chung thay đổi với gia số nhỏ Đặc tính thể tốt mơ hình thời gian liên tục Mơ hình Black-Scholes sử dụng khn khổ mơ hình thời gian liên tục để định giá quyền chọn GIẢ ĐỊNH CỦA MÔ HÌNH BLACK - SCHOLES Giá cổ phiếu biến động ngẫu nhiên phát triển theo phân phối logarit chuẩn Lãi suất phi rủi ro độ bất ổn tỷ suất sinh lợi theo logarit cổ phiếu không thay đổi suốt thời gian đáo hạn quyền chọn Khơng có thuế chi phí giao dịch Cổ phiếu không trả cổ tức Các quyền chọn kiểu Châu Âu CÔNG THỨC ĐOẠT GIẢI NOBEL

Bài 5: Định giá quyền chọn bằng mô hình Black-Scholes

QUẢN TRỊ RỦI RO TÀI CHÍNH

GIỚI HẠN CỦA MÔ HÌNH NHỊ PHÂN

Mơ hình định giá quyền chọn nhị phân hội tụ vào một giá trị

cụ thể trong giới hạn

GIỚI HẠN CỦA MÔ HÌNH NHỊ PHÂN

Mơ hình nhị phân được gọi là mơ hình thời gian rời rạc

Khi thời gian trơi đi, giá cổ phiếu nhảy từ mức này sang một trong hai mức tiếp theo Tuy nhiên, trong thực tế thì thời gian trơi đi khơng ngừng và giá cổ phiếu nĩi chung chỉ thay đổi với những gia số rất nhỏ

Đặc tính như vậy được thể hiện tốt hơn trong các mơ hình thời gian liên tục.

Mơ hình Black-Scholes đã sử dụng khuơn khổ mơ hình thời gian liên tục để định giá quyền chọn

GIẢ ĐỊNH CỦA MÔ HÌNH BLACK - SCHOLES

Giá cổ phiếu biến động ngẫu nhiên và phát triển theo phân phối logarit chuẩn

Lãi suất phi rủi ro và độ bất ổn của tỷ suất sinh lợi theo logarit của cổ phiếu khơng thay đổi trong suốt thời gian đáo hạn của quyền chọn

Khơng cĩ thuế và chi phí giao dịch

Cổ phiếu khơng trả cổ tức

Các quyền chọn là kiểu Châu Âu

CÔNG THỨC ĐOẠT GIẢI NOBEL

) N(d Xe

) N(d

S0 1  rcT 2



T σ

/2)T σ

(r /X)

ln(S0  c  2

T σ

σ = độ bất ổn hàng năm (độ lệch chuẩn)

của tỷ suất sinh lợi ghép lãi liên tục

Phân phối chuẩn

• Nhắc lại

– Phân phối dạng hình chuông

– Dùng bảng phân phối xác suất tích lũy tìm N(d1) and N(d2).

CÔNG THỨC ĐOẠT GIẢI NOBEL

Sử dụng cơng thức Black-Scholes để định giá một quyền chọn mua cổ phiếu AOL tháng 6:

• Giá thực hiện 125

• Giá cổ phiếu $125,9375

• Thời gian đến khi đáo hạn là 0,0959

• Lãi suất phi rủi ro là 4,56%

• Độ lệch chuẩn = 0,83

Lãi suất phi rủi ro phải được biểu diễn dưới dạng lãi suất được ghép lãi liên tục

Đặc tính của công thức

– Diễn giải công thức

• Khái niệm nhà đầu tư chấp nhận rủi ro (risk neutral)

• Một nhà đầu tư chấp nhận với rủi ro định giá một tài sản bằng cách tìm kiếm giá trị kỳ vọng trong tương lai của tài sản và chiết khấu nó theo lãi suất phi rủi

ro

• Chúng ta có thể định giá quyền chọn trên cơ sở các nhà đầu tư là chấp nhận với rủi ro – có nghĩa là, bằng cách tìm kiếm thu nhập kỳ vọng trong tương lai của quyền chọn Max(0,ST – X) và chiết khấu nó với lãi suất phi rủi ro

Diễn giải công thức

• Phần thứ nhất của biểu thức là giá trị kỳ vọng của giá cổ phiếu khi đáo hạn, với điều kiện là giá cổ phiếu lớn hơn giá thực hiện, nhân với xác suất giá cổ phiếu lớn hơn giá thực hiện khi đến hạn

• Thành phần thứ hai trong vế phải của công thức Black-Scholes là giá trị kỳ vọng của khoản chi trả theo giá thực hiện khi đáo hạn

rủi ro mà X sẽ được chi trả khi đáo hạn

S Max(0, 0  rcT



Khi T=0, S=0, X=0 và =0 và rc=0

Công thức sẽ ra sao????

Khi T=0

CÁC BIẾN SỐ TRONG MÔ HÌNH B-S

Cĩ 5 biến số ảnh hưởng đến giá quyền chọn:

(1) Giá cổ phiếu

(2) Giá thực hiện

(3) Lãi suất phi rủi ro

(4) Thời gian đến khi đáo hạn

(5) Độ bất ổn hay độ lệch chuẩn của cổ phiếu

CÁC BIẾN SỐ TRONG MÔ HÌNH B-S

Giá cổ phiếu

Giá cổ phiếu cao hơn sẽ dẫn đến giá quyền chọn mua cao hơn

Ví dụ: Giả định rằng giá cổ phiếu là $130 thay vì

$125,9375 Nĩ sẽ tạo ra giá trị của N(d1) và N(d2) là 0,6171 và 0,5162, và giá trị của C là $15,96, cao hơn giá trị đạt được trước đây là $13,55

CÁC BIẾN SỐ TRONG MÔ HÌNH B-S

CÁC BIẾN SỐ TRONG MÔ HÌNH B-S

CÁC BIẾN SỐ TRONG MÔ HÌNH B-S

Giá cổ phiếu

Delta là giá trị thay đổi của giá quyền chọn mua ứng với một

thay đổi rất nhỏ trong giá cổ phiếu

Delta bằng 0,5692 nghĩa là giá quyền chọn biến động 56,92%

so với thay đổi của giá cổ phiếu

Ví dụ, nếu giá cổ phiếu là $130, tăng $4,0625, giá quyền chọn

sẽ là $15,96, tăng $2,41, khoảng 59% biến động của giá cổ phiếu

CÁC BIẾN SỐ TRONG MÔ HÌNH B-S

CÁC BIẾN SỐ TRONG MÔ HÌNH B-S

CÁC BIẾN SỐ TRONG MÔ HÌNH B-S

Giá cổ phiếu

Phịng ngừa delta là xây dựng một danh mục phịng ngừa

phi rủi ro bằng cách mua delta cổ phiếu và bán lại một quyền chọn mua

• Ví dụ, delta là 0,5691 nên chúng ta xây dựng một danh

mục phịng ngừa delta bằng cách mua 569 cổ phiếu và bán 1.000 quyền chọn

• Nếu giá cổ phiếu giảm xuống 0,01, chúng ta sẽ lỗ

0,01(569) = 5,69 đối với cổ phiếu

• Tuy nhiên, giá quyền chọn sẽ giảm khoảng 0,01(0,569)

hay 0,00569 Vì chúng ta cĩ 1.000 quyền chọn, các quyền

CÁC BIẾN SỐ TRONG MÔ HÌNH B-S

• Phịng ngừa delta

– Phịng ngừa delta/ Trung lập delta

• Phịng ngừa delta: sở hữu cổ phiếu và bán quyền chọn mua để duy trì danh mục phi rủi ro

• Số cổ phiếu được sở hữu chính là delta N(d1)

• Khi giá cổ phiếu tăng $1, quyền chọn tăng N(d1) Bằng cách sở hữu N(d1) cổ phiếu trên mỗi quyền chọn, chúng ta

bù trừ được rủi ro

• Vị thế phải được điều chỉnh khi delta thay đổi

Giá cổ phiếu

Nhưng …

– Phòng ngừa delta chỉ áp dụng hữu hiệu cho những thay đổi nhỏ trong giá cả Với những thay đổi lớn thì delta không phản ánh đúng thay đổi của giá cổ phiếu Điều này gọi là rủi ro gamma:

– Với quyền chọn mua AOL 125 ,

T 2

σ S

e Gamma

09592(3.14159)

83)125.9375(

eGamma

Call

/2 )

(





 0 1742 2

CÁC BIẾN SỐ TRONG MÔ HÌNH B-S

Giá cổ phiếu

Gamma là phần thay đổi của delta ứng với một mức

thay đổi rất nhỏ trong giá cổ phiếu Cơng thức của gamma là:

Gamma quyền chọn mua = S σ 2 πTT

• Gamma càng lớn, delta càng nhạy cảm đối với thay đổi trong giá cổ phiếu và càng khó để duy trì một vị thế trung lập delta

• Nếu cổ phiếu tăng lên 130, delta sẽ thay đổi từ 0,569 đến 0,569 + (130 – 125,9375)(0,0121) = 0,6182

Các biến số khác

• Giá thực hiện

• Lãi suất phi rủi ro: Rho

• Thời gian đến khi đáo hạn: Theta

• Độ bất ổn (Độ lệch chuẩn): Vega (Lambda)

MÔ HÌNH BLACK-SCHOLES KHI CỔ

PHIẾU CHI TRẢ CỔ TỨC

• Cổ tức rời rạc đã biết trước

– Giả sử chi trả mức cổ tức rời rạc duy nhất D – Điều chỉnh giá cổ phiếu thành S, và đưa vào

mô hình

t

r t

• Cổ tức liên tục, đã biết trước (có thể áp dụng cho quyền chọn tiền tệ)

Điều chỉnh như sau:

MÔ HÌNH BLACK-SCHOLES KHI CỔ

PHIẾU CHI TRẢ CỔ TỨC

T 0

0 S e





TÍNH TOÁN ĐỘ BẤT ỔN

• Độ bất ổn hàm ý

– Độ bất ổn mà giá thị trường bằng đúng giá trong mô hình.

Độ bất ổn hàm ý và những hàm ý của nó

• Hầu hết các nhà đầu tư đều xem các thông tin về độ bất ổn hàm ý nằm trong số các thông tin quý giá và chính xác mà họ nhận được từ thị trường cổ phiếu hoặc quyền chọn

• Mối quan hệ giữa độ bất ổn hàm ý và thời

gian đáo hạn quyền chọn được gọi là cấu

trúc kỳ hạn của độ bất ổn hàm ý

Và …

• Khi độ bất ổn hàm ý được biểu diễn trên đồ thị tương ứng với giá thực hiện, mối quan hệ này tạo thành một hình chữ U thường được gọi là nụ cười mỉa mai của độ bất ổn Thông thường, hình dạng này trở nên lệch hơn, và hình dạng này được gọi là

sự thiên lệch của độ bất ổn

• Nụ cười mỉa mai hay sự thiên lệch của độ bất ổn cho chúng ta biết rằng

mô hình Black-Scholes không phải là một mô hình hoàn hảo !!!!

Định giá quyền chọn bán

• Dùng công thức Black-Scholes ta có C

T

r 0

0 e

S )]

N(d [1

Xe