Hằng số waldschmidt của các lược đồ đặc biệt có chiều không

Lý do chọn đề tài Hằng số Waldschmidt được nhà toán học Waldschmidt giới thiệu năm 1977 nhằm đặc trưng cho các tập điểm trong không gian xạ ảnh.. Cùng vớibậc dẫn đầu, hằng số Waldschmidt

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM



TRẦN QUỐC TRÁNG

HẰNG SỐ WALDSCHMIDT CỦA CÁC LƯỢC ĐỒ

ĐẶC BIỆT CÓ CHIỀU KHÔNG

Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số

Mã số: 84 60 104

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

ĐÀ NẴNG – NĂM 2018

Trường Đại học Sư phạm – ĐHĐN

Người hướng dẫn khoa học: PGS TS NGUYỄN CHÁNH TÚ

Phản biện 1:

……… Phản biện 2:

………

Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Khoa học họp tại Trường Đại học Sư phạm – ĐHĐN vào ngày tháng năm

2018

Có thể tìm hiểu luận văn tại

- Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà N ẵng

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Hằng số Waldschmidt được nhà toán học Waldschmidt giới thiệu năm

1977 nhằm đặc trưng cho các tập điểm trong không gian xạ ảnh Cùng vớibậc dẫn đầu, hằng số Waldschmidt là các đặc trưng quan trọng trong việcnghiên cứu bậc nhỏ nhất của đường cong đi qua một lược đồ chiều khôngvới số bội cho trước Những nghiên cứu về hằng số Waldschmidt ngày càngđược quan tâm và trở thành một trong những hướng nghiên cứu thời sựhiện nay trong đại số giao hoán và hình học đại số Với mong muốn tìm hiểuthêm về hằng số Waldschmidt của một số tập điểm đặc biệt, với sự gợi ý

và hướng dẫn của PGS TS Nguyễn Chánh Tú, tôi đã chọn đề tài "Hằng

số Waldschmidt của các lược đồ đặc biệt có chiều không"làm

đề tài nghiên cứu cho luận văn của mình

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu về hằng số Waldschmidt của một số lược đồ (hoặc tập điểm)đặc biệt có chiều không trong mặt phẳng xạ ảnh

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: các lược đồ chiều không (hay tập điểm) trongmăt phẳng xạ ảnh

Phạm vi nghiên cứu: tính toán các hằng số Waldschmidt trong các lược

đồ chiều không (hay tập điểm) đấy

4 Phương pháp nghiên cứu

• Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến đề tài, bao gồm tài liệu tổng

quan và các bài báo mới.

• Dùng các công cụ của đại số giao hoán và hình học đại số để nghiêncứu hằng số Waldschmidt của các tập điểm đặc biệt

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

• Tổng hợp tài liệu để tổng quan tóm tắt về hằng số Waldschmidt củalược đồ đặc biệt có chiều không

• Tính toán được hằng số Waldschmidt của một số tập điểm đặc biệttrong mặt phẳng xạ ảnh

6 Cấu trúc của luận văn

Luận văn được chia thành hai chương (trong đó chương 2 là nội dungchính của luận văn)

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày sơ lược một số khái niệm và kết quả về đại số giaohoán và hình học đại số để làm cơ sở cho chương sau

Chương 2: Hằng số Waldschmidt của các lược đồ đặc biệt có chiềukhông

Chương này trình bày một số kết quả về hằng số Waldschmidt của một sốtập điểm đặc biệt trong mặt phẳng xạ ảnh

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ

Trong chương này trình bày khái quát một số kiến thức cần thiết, là

cơ sở để trình bày các nội dung chính của luận văn Chương này được trìnhbày chủ yếu dựa theo [1] và [3]

Ở đây cũng như trong toàn bộ luận văn, R là vành giao hoán, có đơnvị

Định nghĩa 1.1.1 ([1], trang 6) Cho R là một vành, vành đa thức

n biến trên R được định nghĩa bằng quy nạp như sau:

với r là một số tự nhiên và cr1, ,rn ∈ R Các phần tử cr1, ,rn được gọi là hệ

số, trong đó c0, ,0 là hệ số tự do của f Các biểu thức xr1

1 xr n

r gọi là đơnthức Bậc của đơn thức xr1

1 xrn

r là tổng r1 + + rn của các số mũ Bậccủa đa thức f 6= 0 là bậc lớn nhất của các đơn thức với hệ số khác khôngcủa f Ta kí hiệu bậc của đa thức f là deg(f ) Nếu f = 0 thì ta quy ướcrằng deg(f ) = −∞ Chú ý rằng deg(f ) ≤ 0 khi và chỉ khi f ∈ R Ta gọi

f là đa thức tuyến tính nếu deg(f ) = 1.

Định nghĩa 1.1.2 ([1], trang 8) Cho f ∈ k[x1, , xn] là một đathức viết dưới dạng như ở trên Ứng với mỗi điểm a = (α1, , αn) ∈ kn

Định nghĩa 1.1.3 ([1], trang 10, 11) Ta ký hiệu tập nghiệm của đa

k3 được goi là đường hay mặt Từ siêu chỉ được dùng trong kn với n ≥ 4

1.2 Iđêan và các phép toán trên iđêan

Định nghĩa 1.2.1 ([1], trang 15) Cho R là một vành Tập I trong

R được gọi là iđêan nếu 0 ∈ I và I thỏa mãn các điều kiện sau đây:

Định nghĩa 1.2.2 Cho R là một vành và f1, , fn ∈ R Iđêansinh bởi các phần tử f1, , fn ký hiệu là (f1, , fn) được định nghĩa là

Định nghĩa 1.2.3 ([1], trang 16) Cho I và J là hai iđêan tùy ýtrong vành R.

Tổng của hai iđêan I và J ký hiệu là I + J là iđêan sinh bởi các phần

I + J = {f + g|f ∈ I, g ∈ J }

Tích của hai iđêan I và J ký hiệu là IJ là iđêan sinh bởi các tích f g

Nhận xét 1.2.4 Từ định nghĩa ta thấy :

Chú ý 1.2.5 ([1], trang 16)

i) Chú ý rằng IJ ⊆ I ∩ J nhưng nhìn chung hai iđêan này khác nhau

ii) Sử dụng các công thức trên ta thấy ngay các phép toán cộng vànhân iđêan thỏa mãn luật giao hoán, kết hợp và phân phối, tức là:

I + J = J + I

IJ = J I (I + J ) + K = I + (J + K)

(IJ )K = I(J K) (I + J )K = IK + J K

với mọi iđêan I, J, K trong vành R

1.3 Không gian xạ ảnh

Định nghĩa 1.3.1 Cho k là một trường Không gian affine n chiềutrên k, ký hiệu Ank hay đơn giản là An, được định nghĩa là:

An := {(a1, , an)|ai ∈ k}

Định nghĩa 1.3.2 ([1], trang 137) Cho k là một trường Khônggian xạ ảnh n chiều trên k, ký hiệu Pnk hay đơn giản là Pn, được địnhnghĩa là:

quan hệ tương đương ở đây được cho bởi (a0, , an) ∼ (b0, , bn) ⇔

trong đó (a0, , an) ∼ (b0, , bn) ⇔ ∃0 6= λ ∈ k sao cho ai = λbi, ∀i =

Một phần tử P = (a0 : : an) ∈ Pn được gọi là một điểm của Pn

gọi a là tọa độ thuần nhất của P Điểm P được gọi là nghiệm xạ ảnh của

đa thức f nếu f (a) = 0 với mọi tọa độ thuần nhất a của P

Đặc biệt, khi n = 1 thì P1 được gọi là không gian xạ ảnh một chiềuhay đường thẳng xạ ảnh; khi n = 2 thì P2 được gọi là không gian xạ ảnhhai chiều hay mặt phẳng xạ ảnh

Định nghĩa 1.3.3 Tập m điểm {P1, , Pm} trong P2 được gọi là

ở vị trí tổng quát nếu không có 3 điểm nào nằm trên một đường thẳng.Định nghĩa 1.3.4 ([1], trang 63) Cho A là một vành Tập M được

phép nhân các phần tử của A với các phần tử của M thỏa mãn các điềukiện sau với mọi u, v ∈ M, f, g ∈ A:

f (u + v) = f u + f v

(f + g)u = f u + gu (f g)u = f (gu) 1u = u

Định nghĩa 1.3.5 ([1], trang 135) Vành A được gọi là vành phân

bậc nếu A = ⊕t∈NAt với At là những Z−môđun thỏa mãn điều kiện

AiAj ⊆ Ai+j, có nghĩa là f g ∈ Ai+j với mọi f ∈ Ai và g ∈ Aj, i, j ∈ N.

Cho Alà vành phân bậc Các phần tử của At được gọi là phần tử thuầnnhất bậc t Bậc của một phần tử thuần nhất g kí hiệu là degg Mọi phần

Tổng, tích và giao các iđêan thuần nhất là iđêan thuần nhất

Chú ý 1.3.7 ([1], trang 138) Chú ý rằng ta không có khái niệm hàm

thuần nhất của P Ví dụ như nếu f là đa thức thuần nhất bậc r > 0 thì

xạ ảnh của f

Định nghĩa 1.3.8 Chok[x0, , xn]là vành đa thức ,M = (x0, , xn)

là iđêan tối đại và I ( M là iđêan thuần nhất Tập không điểm của I kýhiệu là V (I) và được định nghĩa là V (I) = {P ∈ Pn|f (P ) = 0, ∀f ∈ I}

Đặc biệt, trong P2 ta có các định nghĩa sau đây:

Định nghĩa 1.3.9 Một đường cong đại số xạ ảnh phẳng C trên k

được định nghĩa là

k[x0, x1, x2] Khi đó f được gọi là đa thức định nghĩa của C

Định nghĩa 1.3.10 Nếu ta viết f ∈ k[x0, x1, x2] dưới dạng f =

m được gọi là bậc của đa thức f và m cũng chính là bậc của đường cong

C định nghĩa bởi đa thức f Các đường cong bậc một được gọi là đườngthẳng , đường cong bậc hai gọi là đường conic, đường cong bậc ba gọi làđường cubic,

Mệnh đề 1.3.11 ([1], trang 139) Cho vành đa thức k[x0, , xn],khi đó (X) := (x0, , xn) là iđêan thuần nhất cực đại duy nhất của

Chứng minh ([1], trang 139)

Mệnh đề 1.3.12 ([1], Bổ đề 17.5) Cho f ∈ k[x0, , xn], nếu ta

ảnh của mọi đa thức fi, i = 1, , m

Chứng minh ([1], Bổ đề 17.5)

Như vậy việc xét nghiệm xả ảnh của một đa thức không thuần nhấttương đương với việc xét nghiệm xạ ảnh của một hệ đa thức thuần nhất

Định nghĩa 1.3.13 ([1], trang 139) Với mọi tập V trong Pn, iđêancủa tập V, ký hiệu I(V ), được định nghĩa như sau:

Đặc biệt, nếu V chỉ gồm môt điểm P thì ta dùng ký hiệu I(P ) hay P.Nhận xét 1.3.14 Có thể thấy ngay I(V ) là iđêan và là iđêan thuầnnhất

Mệnh đề 1.3.15 ([1], trang 139) Nếu điểm P = (a0, , an) ∈ Pn

thì iđêan của điểm P sẽ có dạng P = (aixj − ajxi|i, j = 0, n)

Chứng minh ([1], trang 139)

Mệnh đề 1.3.16 ([2], Mệnh đề 1.2) Cho V và W là hai tập điểmtùy ý trong Pn Khi đó

Chứng minh ([2] Mệnh đề 1.2)

CHƯƠNG 2 HẰNG SỐ WALDSCHMIDT CỦA LƯỢC ĐỒ ĐẶC

BIỆT CÓ CHIỀU KHÔNG

Trong chương này ta sẽ tính hằng số Waldschmidt của các tập điểmđặc biệt trong P2

2.1 Lược đồ chiều không và bội

Định nghĩa 2.1.1 Cho X = {P1, , Pr} ⊂ Pn, là tập gồm r điểmtrong không gian xạ ảnh Pn, và Pi là các iđêan tương ứng với các điểm Pi.Xét các iđêan thuần nhất I = ∩ri=1Pi và J = ∩ri=1Pmi

Định nghĩa 2.1.4 Cho 0 6= f ∈ k[x0, x1, x2] là đa thức thuầnnhất Số bội multP(f ) của f tại điểm P ∈ P2 là m ∈ N nếu f ∈ Pm và

f / ∈ Pm+1 với P là iđêan của điểm P

Bé-zout) Cho đa thức f 6= 0 có bậc là d trong vành đa thức k[x0, x1, x2]

và l là một đa thức tuyến tính Khi đó, hạn chế của f trên l có đúng d

giao điểm (kể cả bội) hoặc là l | f

đẳng thức xảy ra khi Y và Z không có tiếp tuyến chung tại Pj

2.2 Hằng số Waldschmidt của các lược đồ đặc biệt có chiều không

Định nghĩa 2.2.1 Cho X = {P1, , Pr} ⊂ Pn và Pi là iđêanthuần nhất tương ứng của điểm Pi Gọi I = ∩ri=1Pi ⊂ R = k[x0, , xn]

và gọi I(m) = ∩ri=1Pm

Mệnh đề 2.2.2 ([5], Mệnh đề 2.1 hoặc [2], trang 6) Với các ký

Chứng minh ([5], trang2) Đầu tiên ta sẽ chỉ ra rằng α(I(bc))

N∗ Theo Mệnh đề 2.1.3 ta có It ⊆ I(t), α(I(t)) ≤ α(It) và α(It) =

cα(I(b)), suy ra

α(I(bc))

Xét chuỗi số dương at = α(It!(t!)), ta thấy rằng chuỗi này giảm do đó nó hội

tụ Như vậy tồn tại giới hạn L = lim

t→∞

α(I(t!)) t! Với mọi ε > 0, ta có L ≤ α(It!(t!)) ≤ L + ε

2 + ε2 Như vậy tồn tại

lim

m→∞

α(I(m))

m hay tồn tại γ(I)

Rõ ràng là m ≤ α(I(m)), do đó 1 ≤ γ(I) Hơn nữa, ta có

Bé-zout, tổng số bội của đường cong V (f ) với đường thẳng l = V (x2)

bằng deg(f ).deg(x2) = (3m − 1).1 = 3m − 1 Hơn nữa, vì f ∈ I(2m)

nên tổng số bội của đường cong V (f ) tại hai điểm P0, P1 ít nhất bằng

vô lý vì tổng số bội của đường cong V (f ) tại hai điểm P0, P1 không thểlớn hơn tổng số bội của đường cong V (f ) với đường thẳng l = V (x2)

Do đó x2 | f, lúc này ta có thể viết f = xa2g, với x2 - g, deg(g) = b và

1 ∩ P2m

2 , nên

f triệt tiêu tại ba điểm P0, P1, P2 với số bội tại mỗi điểm ít nhất là 2m.Trước hết ta thấy rằng đa thức g triệt tiêu tại điểm P2 nên deg(g) ≥ 2m

số bội của V (g) và V (x2) bằng deg(g).deg(x2) = b.1 = b Hơn nữa,tổng số bội của V (g) tại hai điểm P0, P1 là 2(2m − a) Ta luôn cótổng số bội của V (g) và V (x2) phải luôn lớn hơn hoặc bằng tổng số bội

mâu thuẩn vì ta biết rằng a + b =deg(f ) Như vậy, I3m−1(2m) = 0, ∀m ∈ N∗,

do đó α(I(2m)) ≥ 3m, ∀m ∈ N∗ và γ(I) = lim

Nhận xét 2.2.4 Mệnh đề 2.2.3 có thể xem như trường hợp đặc biệtcủa kết quả cho tập điểm có cấu hình như sau ChoX = {P1, , Pr, Q1, , Qs}

nằm trên đường thẳngL0 = V (x2) vàQ1, , Qs làsđiểm tổng quát khôngnằm trên đường thẳng L0 Cho lược đồ chiều không Z =

Mệnh đề 2.2.5 ([4], Mệnh đề 2.1) Với các ký hiệu như trên thì

của 3, 4 điểm tổng quát tương ứng sẽ là 32 và 2

Chứng minh ([4], Mệnh đề 2.1) Do các kết quả từ 2.2.6 cho đến 2.2.8, mặc

dù là các trường hợp đặc biệt của mệnh đề này, đều được chứng minh chitiết nên chúng tôi chỉ xin trình bày các bước chính của chứng minh chomệnh đề này Chứng minh chi tiết có thể xem trong [4], Mệnh đề 2.1

Đặt Li = PiQ Xét Li = PiQ Đường cong Pri=1Li + (r − 1)L0 có

bậc 2r − 1 và chứa mỗi điểm với bội ít nhất là r Suy ra α(I(r)) ≤ 2r − 1.

Do đó ta có γ(r + 1) ≤ α(I

(r))

Xét α(I(rm)) Giả sử có f ∈ I(rm) có bậc m(2r − 1) − 1 Ta thấy

Hệ quả 2.2.6 Cho X = {P1, P2, P3, Q} ⊂ P2, trong đó P1, P2, P3

nằm trên đường thẳng l Xét lược đồ chiều không Z = P1+ P2+ P3+ Q

và iđêan thuần nhất ứng với lược đồ chiều không Z là I = IZ = P1 ∩

P2 ∩ P3 ∩ Q, với P1, P2, P3, Q là iđêan thuần nhất tương ứng với cácđiểm P1, P2, P3, Q Khi đó γ(I) = γ(3 + 1) = 53

Chứng minh Gọi l1 = V (x) là đường thẳng đi qua hai điểm P1, Q, l2 =

đi qua hai điểm P3, Q.

Trước hết ta thấy rằng, đa thức xyzh2 có bậc là 5 và có số bội tại mỗiđiểm P1, P2, P3, Q ít nhất là 3, cho nên xyzh2 ∈ I5(3) do đó α(I(3)) =

3.Bây giờ ta giả sử ∃f ∈ I5m−1(3m) , ∀m ≥ 1 Theo định lý Bézout, tổng sốbội của V (f ) với V (h) bằng deg(f ).deg(h) = (5m − 1).1 = 5m − 1 Mặtkhác, tổng số bội của V (f ) tại ba điểm P1, P2, P3 ít nhất là 3.3m = 9m,điều này vô lý vì ta biết rằng tổng số bội của V (f ) với V (h) phải luônlớn hơn hoặc bằng tổng số bội của V (f ) tại ba điểm P1, P2, P3 Như vậy

Ta có, h - g nên tổng số bội của V (g) với V (h) phải luôn lớn hơn hoặcbằng tổng số bội của V (g)tại ba điểmP1, P2, P3, tức là b ≥ 3(3m−a)hay

điều này mâu thuẩn với a+b =deg(f ) = 5m−1 Do đó I5m−1(3m) = 0, ∀m ≥

Hệ quả 2.2.7 Cho X = {P1, P2, Q1, Q2} ⊂ P2, trong đó P1, P2

nằm trên đường thẳng l1 = V (x) và Q1, Q2 là hai điểm không nằm trênđường thẳng l1 Xét lược đồ chiều không Z = P1 + P2 + Q1 + Q2 vàiđêan thuần nhất ứng với lược đồ chiều không Z là I = IZ = P1∩ P2∩

Q1∩ Q2, với P1, P2, Q1, Q2 là iđêan thuần nhất tương ứng với các điểm

P1, P2, Q1, Q2 Khi đó γ(I) = γ(2 + 2) = 2

Chứng minh Gọi l2 = V (y) là đường thẳng đi qua hai điểm Q1, Q2.Trước hết ta thấy rằng đa thức xmym có bậc là 2m và có số bội tại mỗi

điểm P1, P2, Q1, Q2 ít nhất là m, cho nên xmym ∈ I2m(m) do đó α(I(m)) =

m = 2.Bây giờ ta giả sử ∃f ∈ I2m−1(m) , ∀m ≥ 1 Theo định lý Bézout, ta thấyrằng tổng số bội V (f ) với V (x) bằng deg(f ).deg(x) = (2m − 1).1 =

P1, P2 Như vậy, x | f Tương tự ta cũng có y | f Bây giờ ta có thể viết

Ta có, x - g nên tổng số bội của V (g) với V (x) phải luôn lớn hơn hoặcbằng tổng số bội của V (g) tại hai điểm P1, P2, tức là c ≥ 2(m − a) hay

Suy ra 2a + 2b + 2c ≥ 4m hay a + b + c ≥ 2m, điều này mâu thuẩn với

Hệ quả 2.2.8 Cho X = {P1, P2, P3, Q1, Q2} ⊂ P2, trong đó

P1, P2, P3 nằm trên đường thẳng l1 = V (x) và Q1, Q2 là hai điểm

P2 + P3 + Q1 + Q2 và iđêan thuần nhất ứng với lược đồ chiều không

P1, P2, P3, Q1, Q2 ít nhất là m, cho nên xmym ∈ I2m(m) do đó α(I(m)) =

m = 2

Bây giờ ta giả sử ∃f ∈ I2m−1(m) , ∀m ≥ 1 Theo định lý Bézout, ta thấyrằng tổng số bội V (f ) với V (x) bằng deg(f ).deg(x) = (2m − 1).1 =

P1, P2, P3 Như vậy, x | f Tương tự ta cũng có y | f Bây giờ ta có thể viết

Ta có, x - g nên tổng số bội của V (g) với V (x) phải luôn lớn hơn hoặcbằng tổng số bội của V (g) tại ba điểm P1, P2, P3, tức là c ≥ 3(m − a)

Như vậy ta có a > m và b > m + 1, ∀m ≥ 1 suy ra a + b > 2m + 1,

Chứng minh.

Trường hợp1 Các điểm này nằm trên hai đường thẳngl1 = V (x), l2 =

Trước hết, ta thấy rằng ∀m ≥ 1, đa thức 0 6= xmzm có bậc 2m và cóbội tại mỗi điểm Pi, i = 1, r ít nhất là m, vì vậy xmzm ∈ Pm

hay xmzm ∈ ∩r

i=1Pm

i = I(m) cho nên xmzm ∈ I2m(m) Từ đó α(I(m)) =

m = 2 Như vậy α(I(m)) ≤

chứng minh rằng I2m−1(m) = 0

( Chú ý rằng khi viết I(m) = L

d∈NId(m), nếu I2m−1(m) = 0 thì I0(m) = I1(m) =

triệt tiêu tại các điểm Pi, vì các điểm Pi không thẳng hàng, do đó I1 = 0

)

với đường thẳng l1 = V (x) ít nhất là 3m > 2m − 1 = deg(f ), điều này

vô lý theo định lý Bézout, do đó x | f Tương tự ta cũng có z | f Ta cóthể viết f = xzf1 ∈ I2m−1(m)

•Nếu @Pi ∈ l1∩l2, i = 1, r Khi đó xz là đa thức bậc hai và có bội tạicác điểm Pi, i = 1, r đúng bằng 1, do đó xz ∈ I2, cho nên f1 ∈ I2(m−1)−1(m−1) Theo quy nạp ta suy ra I2(m−1)−1(m−1) = 0, ∀m ≥ 2, cho nên f1 = 0 do đó

sử P1 ∈ l1 ∩ l2

 Xét trường hợp l1, l2 đi qua ít nhất ba điểm của Y = {P2, , Pr}