Sự liên tục và sự khả vi của hàm hai biến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN HUỲNH KHÁNH VÂN SỰ LIÊN TỤC VÀ SỰ KHẢ VI CỦA HÀM HAI BIẾN Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Người hướng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN HUỲNH KHÁNH VÂN

SỰ LIÊN TỤC VÀ SỰ KHẢ VI CỦA

HÀM HAI BIẾN

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Người hướng dẫn khoa học

TS LÊ HOÀNG TRÍ

Đà Nẵng, N˚ am 2018

Lời cám ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với (thầy) TS Lê Hoàng Trí, người đãhướng dẫn tôi tận tình trong suốt thời gian thực hiện đề tài

Tôi xin chân thành cám ơn các thầy cô giáo Khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm

- Đại học Đà Nẵng đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập.Đặc biệt, tôi xin chân thành cám ơn bạn bè khóa 14ST đã động viên giúp đỡ tôitrong suốt quá trình học tập và làm luận văn

Đà Nẵng, tháng 4 n˚am 2018

Tác giảNguyễn Huỳnh Khánh Vân

Mục lục

Trang phụ bìa i

Lời cám ơn ii

Mục lục 1

MỞ ĐẦU 3

Chương 1 - Định nghĩa và tính chất về sự liên tục của hàm hai biến 5 1.1 Một số khái niệm và kết quả về không gian metric 5

1.1.1 Không gian Metric 5

1.1.2 Vị trí tương đối giữa một điểm đối với một tập 8

1.1.3 Tập mở, tập đóng 9

1.1.4 Phần trong, bao đóng của một tập 10

1.1.5 Sự hội tụ trong không gian metric 12

1.2 Định nghĩa và tính chất về sự liên tục của hàm hai biến 14

1.2.1 Hàm hai biến 14

1.2.2 Tính liên tục của hàm hai biến 14

1.2.3 Liên tục đều 19

Chương 2 - Định nghĩa và tính chất về sự khả vi của hàm hai biến 21 2.1 Đạo hàm riêng 21

2.1.1 Đạo hàm riêng của hàm hai biến 21

2.1.2 Đạo hàm riêng cấp cao 22

2.2 Vi phân 25

2.2.1 Vi phân của hàm số hai biến số 25

2.2.2 Đạo hàm của hàm hợp 27

2.2.3 Tính bất biến của dạng vi phân( hay vi phân của hàm số hợp) 29

Chương 3 - Một số ví dụ về các hàm khả vi và hàm liên tục 31KẾT LUẬN 35TÀI LIỆU THAM KHẢO 36

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Cùng với khái niệm giới hạn, tính liên tục và tính khả vi của hàm số là những kiếnthức cơ sở quan trong của giải tích toán học Các khái niệm, tính chất và định lý về sựliên tục, sự khả vi của hàm số thường xuyên được khai thác trong các kỳ thi Olympicquốc gia, quốc tế Các khái niệm, tính chất, kết quả chứng minh về sự liên tục, sự khả

vi trong Giải tích một biến có tính trực quan cao, dễ hiển thị thì sang không gian nhiềuchiều tính trừu tượng đã tăng lên rõ rệt Tuy nhiên cái đẹp của Toán học nằm trong

sự trừu tượng và cái ích của Toán học nằm trong sự cụ thể Xuất phát từ lí do đó, tôitiến hành nghiên cứu này nhằm trình bày lại các định nghĩa và tính chất về sự liên tục,

sự khả vi của hàm nhiều biến (cụ thể là hàm hai biến) giúp người đọc nắm rõ các kiếnthức cơ bản và tổng quát về tính liên tục, khả vi của hàm hai biến (không gian R2) từ

đó dễ dàng khái quát trong không gian Rn

2 Mục tiêu và nội dung nghiên cứu đề tài

Hàm số là một trong những khái niệm cơ bản của giải tích toán học Hàm hai biếnđược sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học vè kỹ thuật Nhiềutính chất của hàm được khai thác triệt để và là giả thiết không thể thiếu trong nhiềunghiên cứu: tính liên tục và tính khả vi của hàm số Mục đích của luận văn là trình bàylại những định nghĩa, tính chất đặc trưng về sự liên tục, sự khả vi của hàm hai biến vàmột số ví dụ liên quan đến các tính chất này

3 Phương pháp nghiên cứu

Đọc, dịch, tra cứu tài liệu tham khảo, sách chuyên ngành, trao đổi với thầy, nghiêncứu khoa học một cách logic và hệ thống

4 Bố cục luận văn

Bố cục nội dung gồm ba phần: mở đầu, nội dung chính và kết luận

Phần mở đầu giới thiệu đề tài của luận văn

Phần nội dung gồm ba chương:

- Chương 1: Các kiến thức về không gian metric gồm một số khái niệm và kết quảthường xuyên sử dụng Định nghĩa và tính chất về sự liên tục của hàm hai biến.

- Chương 2: Các định nghĩa và tính chất về sự khả vi của hàm hai biến

- Chương 3: Một số ví dụ về sự liên tục và khả vi của hàm hai biến

Phần kết luận nêu tóm tắt các kết quả đạt được của luận văn

CHƯƠNG 1

ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT VỀ SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM HAI BIẾN

Chương này trình bày khái niệm không gian metric và một số tính chất thường gặptrong không gian metric; định nghĩa về hàm hai biến và các tính chất về sự liên tụccủa hàm hai biến

metric

1.1.1 Không gian Metric

Định nghĩa 1.1.1.1: Giả sử X là một tập tùy ý khác rỗng cho trước Ta gọi hàm số

d : X × X → R là một metric (hay khoảng cách) trên X nếu hàm số này thỏa mãnnhững điều kiện sau:

i) d (x, y)> 0, với mọi x, y ∈ X : d (x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y

ii) d (x, y) = d (y, x), với mọi x, y ∈ X

iii) d (x, z)6 d (x, y) + d(y, z), với mọi x, y, z ∈ X, (bất đẳng thức tam giác)

Khi đó: d được gọi là một metric trên X và Cặp (X, d) được gọi là không gian metric

Ví dụ 1.1.1.1: Ký hiệu R2 = {(x, y) : x, y ∈ R} Với mọi (x1, y1), (x2, y2) ∈ R2,ta đặtd(x1, y1), (x2, y2) = p(x1− x2)2+ (y1− y2)2 Khi đó: d là một metric trên R2

Chứng minh: Với mọi (x1, y1), (x2, y2) thuộc R2

Ví dụ 1.1.1.2: Cho X = R2 Với mọi (x1, y1), (x2, y2) ∈ R2, ta đặt

d(x1, y1), (x2, y2) = |x1− x2| + |y1− y2| Khi đó: d là một metric trên R2

.Chứng minh: Với mọi (x1, y1), (x2, y2) thuộc R2

• Với mọi (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) thuộc R2, ta chứng minh d(x1, y1), (x3, y3)

6 d(x1, y1), (x2, y2) + d(x2, y2), (x3, y3) Hay nói cách khác, ta phải chứng minh:

|x1− x3| + |y1− y3| ≤ |x1− x2| + |y1− y2| + |x2− x3| + |y2− y3|.

Thật vậy, ta có:

|x1 − x2| + |x2− x3| ≥ |x1− x2+ x2− x3| = |x1− x3|

|y1− y2| + |y2− y3| ≥ |y1− y2+ y2− y3| = |y1− y3|Cộng hai phương trình trên vế theo vế ta được điều phải chứng minh

Vậy d là một metric trên R2 

Ví dụ 1.1.1.3: Cho X = R2 Với mọi (x1, y1), (x2, y2) ∈ R2, ta đặt

d(x1, y1), (x2, y2) = max {|x1− x2| , |y1− y2|} Khi đó d là một metric trên R2

Chứng minh: Dễ dàng chứng minh được d thỏa mãn điều kiện i),ii) theo định nghĩa1.1.1.1 Ta kiểm tra điều kiện iii), tức là chứng minh max {|x1− x3| , |y1− y3|}

≤ max {|x1− x2| , |y1 − y2|} + max {|x2− x3| , |y2− y3|} ,với mọi (x1, y1), (x2, y2),(x3, y3) thuộc R2

n

X

i=1

|xi− yi|2Khi đó d là một metric trên Rn

Chứng minh: Rõ ràng d thỏa mãn các điều kiện i), ii) theo định nghĩa 1.1.1.1 Ta kiểmtra điều kiện iii), tức là chứng minh với mọi x, y, z ∈ Rn:

vuut

n

X

i=1

|yi− zi|2

Vậy (Rn, d) là một không gian metric và ta gọi d là metric thông thường trên Rn 

1.1.2 Vị trí tương đối giữa một điểm đối với một tập

Cho (X, d) là không gian metric, x0 là một điểm thuộc X và A ⊂ X

Định nghĩa 1.1.2.1: Ta gọi hình cầu mở tâm x0 bán kính r > 0 trong X và ký hiệu

Định nghĩa 1.1.2.6: x0 được gọi là điểm giới hạn (điểm tụ) của A nếu với mọi

i = 1, , n Mỗi Ai là tập mở nên tồn tại ri > 0 sao cho B (x, ri) ⊂ Ai Với mọi

x là điểm trong của X\F , suy ra tồn tại r > 0 sao cho B (x, r) ⊂ X\F Mặt khác, vì

xn → x nên d (xn, x) → 0 khi n → ∞ Ta chọn ε = r, khi đó tồn tại Nε ∈ N∗ sao cho

d (xn, x) < r với mọi n ≥ Nε Suy ra xn∈ B (x, r) ⊂ X\F với mọi n ≥ Nε Tức là

xn ∈ F với mọi n ≥ N/ ε (vô lý vì dãy {xn} ⊂ F ) Vậy x ∈ F

(⇐) Giả sử với mọi dãy {xn} ⊂ F , nếu xn → x ta đều có x ∈ F Ta chứng minh F làtập đóng trong X Giả sử ngược lại F là tập không đóng, suy ra X\F là tập không

mở, tức là tồn tại y ∈ X\F sao cho y không là điểm trong của X\F Khi đó với mọi

r > 0 thì B (y, r) 6⊂ X\F hay nói cách khác B (y, r) ∩ F 6= ∅ Với mọi n ∈ N∗, ta chọn

r = 1

n, khi đó B



y, 1n



∩ F 6= ∅ Suy ra với mọi n ∈ N∗, tồn tại yn∈ B



y,1n

nên d (yn, y) < 1

nvới mọi n ∈ N∗ Khi đó ta suy ra yn → y khi n → ∞ mà {yn} ⊂ F nên y ∈ F (vô lý vì

y /∈ F ) Vậy định lý đã được chứng minh 

1.1.4 Phần trong, bao đóng của một tập

Định nghĩa 1.1.4.1: Cho (X, d) là không gian metric, A ⊂ X Khi đó, tập tất cả cácđiểm trong của A được gọi là phần trong của A Ký hiệu là: intA hay Ao

Nhận xét 1.1.4.1: Cho (X, d) là không gian metric, A ⊂ X Khi đó:

a) intA là hợp của họ tất cả các tập mở của X được chứa trong A.

b) intA là tập mở lớn nhất được chứa trong A

c) A là tập mở khi và chỉ khi intA = A

Chứng minh: a) Ta chứng minh intA = [ V : V mở, V ⊂ A ⊂ X

Lấy x bất kỳ thuộc intA, suy ra x là điểm trong của A Khi đó, tồn tại r > 0 sao cho

Vậy nhận xét đã được chứng minh

b) Theo câu a, intA =[ V : V mở, V ⊂ A ⊂ X mà hợp tùy ý các tập

mở là tập hợp mở nên intA cũng là tập mở Bây giờ tâ chứng minh intA là tập mở lớnnhất trong A Thật vậy, giả sử G là tập mở lớn nhất trong A, ta sẽ chứng minh G = A

Vì G là tập mở nên G ∈V : V mở, V ⊂ A ⊂ X Suy ra

G ⊂[V : V mở, V ⊂ A ⊂ X = intA

Mặt khác, G là tập mở lớn nhất trong A mà intA là tập mở trong A Suy ra intA ⊂ G.Vậy nhận xét đã được chứng minh

c) Nhận xét được chứng minh như sau:

(⇒) Cho A là tập mở, ta sẽ chứng minh intA = A

Ta đã chứng minh được intA ⊂ A ở câu a, bây giờ ta chỉ cần chứng minh A ⊂ intA.Thật vậy, intA là tập mở lớn nhất trong A mà A cũng mở trong A nên A ⊂ intA.(⇐) Giả sử intA = A, dễ dàng ta chứng minh được A là tập mở 

Định nghĩa 1.1.4.2: Cho (X, d) là không gian metric, F ⊂ X Khi đó, giao của tất

cả các tập đóng chứa F được gọi là bao đóng của F Ký hiệu là: F hay cl F Như vậy:

F =\ E : E đóng, F ⊂ E ⊂ X Nhận xét 1.1.4.2: Cho (X, d) là không gian metric, F ⊂ X Khi đó:

a) F ⊂F

b) F là tập đóng nhỏ nhất chứa F

c) F đóng trong X khi và chỉ khi F = F

Chứng minh: Chứng minh tương tự như ở phần nhận xét 1.1.4.1 

1.1.5 Sự hội tụ trong không gian metric

Định nghĩa 1.1.5.1: Cho (X, d) là không gian metric và {xn} là một dãy trong X

Ta nói dãy {xn} hội tụ đến x ∈ X nếu khoảng cách giữa xn và x0 dần tiến đến 0 khi

n → ∞ Lúc đó x0 được gọi là giới hạn của dãy xn và ta sẽ ký hiệu là

a) Nếu xn→ x0 thì x0 là duy nhất

b) Nếu xn→ x0 và yn→ y0 thì d (xn, yn) → (x0, y0)

Chứng minh: a) Giả sử xn→ x0 và xn → y0 Ta sẽ chứng minh x0 = y0

Thật vậy từ bất đẳng thức tam giác ta có: d (x0, y0) ≤ d (x0, xn) + d (xn, y0)

Cho n → ∞ thì: 0 ≤ d (x0, y0) ≤ lim

n→∞d (x0, xn) + lim

n→∞d (xn, y0) = 0Vậy d (x0, y0) = 0 hay x0 = y0

b) Thật vậy:

d (x0, y0) ≤ d (x0, xn) + d (xn, yn) + d (yn, y0) => d (x0, y0) − d (xn, yn) ≤

d (x0, xn) + d (yn, y0) (1)

Ví dụ 1.1.5.1: Cho {xn} , {yn} là các dãy trong không gian metric X.

1 Hội tụ trong R, C Giả sử {xn} là một dãy trong R với metric thông thường.Theo định nghĩa, dãy {xn} hội tụ về x0 khi và chỉ khi |xn− x0| → 0 khi n → ∞

2 Hội tụ trong Rk Giả sử {xn} là một dãy trong Rk với metric thông thường Tacó:

xn=x(n)1 , x(n)2 , , x(n)k 

x0 =x(0)1 , x(0)2 , , x(0)k Theo định nghĩa, dãy {xn} hội tụ về x0 =



x(0)1 , x(0)2 , , x(0)k



∈ Rk khi và chỉkhi d (xn, x0) → 0 khi n → ∞ Điều này tương đương với:

Định nghĩa 1.1.5.2: Cho (X, d) là không gian metric và {xn} là một dãy trong X

Ta nói dãy {xn} là dãy Cauchy (dãy cơ bản) khi và chỉ khi:

∀ε > 0, ∃n0 ∈ N : ∀m, n ≥ n0, d (xn, xm) < ε

Bổ đề 1.1.5.1: Cho (X, d) là không gian metric và {xn} là một dãy trong X Nếu

xn → x thì xn là dãy Cauchy

Chứng minh: Giả sử xn → x, ta chứng minh xn là dãy Cauchy Thật vậy:

Vì xn → x nên với mọi ε

2 > 0, tồn tại n0 ∈ N sao cho: d (xn, x) < ε

2.Mặt khác: d (xn, xm) ≤ d (xn, x) + d (x, xm) < ε

2+

ε

2 = ε ∀m, n ≥ n0 Vậy xn là dãy

Cho (X, d) là không gian metric và {xn} là một dãy trong X Nếu xn → x thì xn

là dãy Cauchy nhưng điều ngược lại chưa chắc đúng, nghĩa là dãy Cauchy có thểkhông hội tụ

1.2.2 Tính liên tục của hàm hai biến

Định nghĩa 1.2.2.1: Giả sử D ⊂ R2 và f : D → R

i) Hàm f được gọi là liên tục tại x0 ∈ D nếu với mọi ε > 0 cho trước, tồn tại δ > 0sao cho d (f (x), f (x0)) < ε với mọi x ∈ D mà d (x, x0) < δ

ii) Hàm f gọi là liên tục trên D nếu f liên tục tại mọi x ∈ D

Định lý 1.2.2.1: Hàm f liên tục tại x0 ∈ X khi và chỉ khi với mọi dãy {xn} ⊂ D,

D ⊂ R2, nếu xn→ x0 thì f (xn) → f (x0)

Chứng minh: Định lý được chứng minh như sau:

(⇒) Giả sử f liên tục tại x0 và {xn} là một dãy trong D sao cho xn → x0 Ta phảichứng minh f (xn) → f (x0) trong R Cho ε > 0, vì f liên tục tại x0 nên có δ > 0 saocho:

n nhưng d (f (xn) , f (x0)) ≥ ε Như vậy ta đã chỉ ra một dãy {xn} ⊂ D,

xn → x0 khi n → ∞ nhưng f (xn) /→ f (x0) Điều này mâu thuẫn với giả thiết Định lý

Bổ đề 1.2.2.1: Cho f : D → R, D ⊂ R2, x0 là một điểm thuộc D Khi đó các khẳngđịnh sau tương đương:

a) f liên tục tại x0

b) Với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho f [B (x0, δ)] ⊂ B [f (x0) , ε]

c) Với mọi lân cận V của f (x0), tồn tại lân cận U của x0 sao cho f (U ) ⊂ V

Chứng minh: Bổ đề trên được chứng minh như sau:

(a ⇒ b) Giả sử f liên tục tại x0 Khi đó, với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho với mọi

x ∈ D mà d (x, x0) < δ thì d (f (x) , f (x0)) < ε Ta phải chứng minh f [B (x0, δ)]

⊂ B [f (x0, ε)] Thật vậy, lấy y bất kỳ thuộc f [B (x0, δ)] Khi đó tồn tại x ∈ B (x0, δ)sao cho y = f (x) Vì x ∈ B (x0, δ) nghĩa là d (x, x0) < δ Lúc này theo trên ta suy rađược d (f (x) , f (x0)) < ε Khi đó, y = f (x) ∈ B [f (x0) , ε] Vậy f [B (x0, δ)]

δ > 0 mà d (x, x0) < δ thì d (f (x) , f (x0)) < ε Vậy theo định nghĩa f liên tục tại x0.(b ⇒ c) Giả sử đã có b), ta sẽ chứng minh c) là đúng Thật vậy, cho V là lân cận của

f (x0) Khi đó, tồn tại ε > 0 sao cho B (f (x0) , ε) ⊂ V Theo câu b, tồn tại δ > 0 saocho f [B (x0, δ)] ⊂ B [f (x0) , ε] Đặt U = B (x0, δ), lúc này U là lân cận của x0 và

f (U ) ⊂ V Ta được điều phải chứng minh

(c ⇒ b) Giả sử đã có c, ta sẽ chứng minh b là đúng Thật vậy với mọi ε > 0, V là lâncận của f (x0) nên đặt V = B [f (x0) , ε] Khi đó, tồn tại lân cận U của x0 sao cho

f (U ) ⊂ V Vì U là lân cận của x0 nên tồn tại δ > 0 sao cho B (x0, δ) ⊂ U Suy ra

f [B (x0, δ)] ⊂ f (U ) ⊂ V = B [f (x0) , ε] Ta được điều phải chứng minh Định lý 1.2.2.2: Cho f : D → R, D ⊂ R2 Khi đó các khẳng định sau tương đương:a) f liên tục trên D

b) Với mọi tập G mở trong R thì tập f−1(G) là mở trong D

c) Với mọi tập F đóng trong R thì tập f−1(F ) là đóng trong D

Chứng minh: Định lý được chứng minh như sau:

(a ⇒ b) Giả sử x0 ∈ f−1(G), khi đó f (x0) ∈ G Vì G mở trong R nên tồn tại ε > 0 để

B (f (x0) , ε) ⊂ G Do f liên tục tại x0 nên với ε này thì tồn tại δ > 0 sao cho với mọi

x ∈ D mà d (x, x0) < δ thì d (f (x) , f (x0)) < ε Điều này có nghĩa là với mọi

x ∈ B (x0, δ) thì f (x) ∈ B (f (x0) , ε) ⊂ G hay x ∈ f−1(G) Vậy B (x0, δ) ⊂ f−1(G)nên f−1(G) là mở

(b ⇒ a) Cho x0 ∈ D và ε > 0 Tập B = B (f (x0) , ε) là tập mở trong R nên f−1(B)

mở trong D và x0 ∈ f−1(B) Do vậy, tồn tại δ > 0 sao cho B (x0, δ) ⊂ f−1(B) Nóicách khác, với mọi x ∈ D sao cho d (x, x0) < δ thì x ∈ f−1(B) nên f (x) ∈ B, nghĩa là

d (f (x) , f (x0)) < ε

(b ⇔ c) Ta có:

f−1(R\E) = D\f−1(E)



Do đó từ mối liên hệ giữa tập mở và tập đóng, ta lấy E lần lượt bằng F và G thì suy

ra được điều phải chứng minh

Định lý 1.2.2.3: Giả sử f : A1 → A2, g : A2 → R với A1 ⊂ R2, A2 ⊂ R Khi đó nếu fliên tục tại x0 thuộc A1, g liên tục tại f (x0) thuộc A2 thì gof : A1 → R liên tục tại

x0 ∈ A1

Chứng minh: Giả sử {xn} ⊂ A1 và xn→ x0 Do f liên tục tại x0 nên f (xn) → f (x0)

và g liên tục tại f (x0) nên g (f (xn)) → g (f (x0)) Như vậy (g ◦ f ) (xn) → (g ◦ f ) (x0).Vậy (g ◦ f ) liên tục tại x0 Định lý 1.2.2.4: Nếu hàm f và g là những hàm liên tục tại x0 ∈ E ⊂ R2

Khi đó:a) f ± g liên tục tại x0

b) f g liên tục tại x0

c) f

g liên tục tại x0 với g (x0) 6= 0.

Chứng minh: Giả sử f, g là những hàm liên tục tại x0 ∈ E ⊂ R2

a) Ta chứng minh f + g cũng liên tục tại x0 Thật vậy, với mọi ε > 0 ta có:

Vì f liên tục tại x0 nên với mọi ε

Chứng minh tương tự f − g cũng liên tục tại x0

b) Ta chứng minh f.g cũng liên tục tại x0 Thật vậy, với mọi ε > 0 ta có:

Vì g liên tục tại x0 nên tồn tại δ1 > 0 mà d (x, x0) < δ1 thì |g (x) − g (x0)| < ε

2 |f (x0)|Mặt khác, với mọi x ∈ B (x0, δ1) chọn ε0 thỏa |g (x) − g (x0)| < ε0

2 |f (x0)| Khi đó:

|g (x)| = |g (x) − g (x0) + g (x0)| ≤ |g (x) − g (x0)| + |g (x0)| < ε0

2 |f (x0)|+ |g (x0)|.Suy ra tồn tại sup

x∈B(x 0 ,δ 1 )

|g (x)|