Bài toán đồng hóa dữ liệu liên tục đối với hệ navier stokes hai chiều

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN THỊ LÝ BÀI TOÁN ĐỒNG HÓA DỮ LIỆU LIÊN TỤC ĐỐI VỚI HỆ NAVIER-STOKES HAI CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2017... BỘ GIÁ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ LÝ

BÀI TOÁN ĐỒNG HÓA DỮ LIỆU

LIÊN TỤC ĐỐI VỚI

HỆ NAVIER-STOKES HAI CHIỀU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội, 2017

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ LÝ

BÀI TOÁN ĐỒNG HÓA DỮ LIỆU

LIÊN TỤC ĐỐI VỚI

HỆ NAVIER-STOKES HAI CHIỀU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số : 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa họcPGS.TS Cung Thế Anh

HÀ NỘI, 2017

Mục lục

Mở đầu 1

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 4

1.1 Giới thiệu về hệ Navier-Stokes 4

1.2 Các không gian hàm và toán tử 5

1.3 Đánh giá đối với số hạng phi tuyến 7

1.4 Các kết quả về sự tồn tại và đánh giá nghiệm 9

1.4.1 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm mạnh trong trường hợp hai chiều 9

1.4.2 Một số bất đẳng thức 12

Chương 2 Bài toán đồng hóa dữ liệu liên tục đối với hệ Navier-Stokes hai chiều 15

2.1 Cách xây dựng nghiệm xấp xỉ 15

2.2 Chứng minh sự hội tụ của nghiệm xấp xỉ về nghiệm chính xác khi thời gian ra vô cùng 18

Kết luận 25

Tài liệu tham khảo 26

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Cung Thế Anh đã địnhhướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi hoàn thành luậnvăn này

Tôi xin chân thành cảm ơn tới các thầy cô giáo phòng Sau đại học,các thầy cô giáo giảng dạy lớp thạc sĩ K19 chuyên ngành Toán giải tíchtrường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trìnhhọc tập

Nhân dịp này tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn

bè, đồng nghiệp đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợicho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 08 năm 2017

Tác giả

Nguyễn Thị Lý

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Cung Thế Anh, luậnvăn thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài "Bài toán đồng hóa

dữ liệu liên tục đối với hệ Navier-Stokes hai chiều" được hoànthành bởi chính sự nhận thức của bản thân tác giả

Trong suốt quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừanhững thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 08 năm 2017

Tác giả

Nguyễn Thị Lý

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Hệ phương trình Navier-Stokes là một hệ phương trình cơ bản trong cơhọc chất lỏng và có nhiều ứng dụng quan trọng trong khoa học và côngnghệ Việc nghiên cứu sự tồn tại, các tính chất nghiệm và dáng điệu tiệmcận nghiệm của hệ này khi thời gian ra vô cùng đã thu hút được sự quantâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học, xin xem các cuốn chuyên khảo[1, 4, 5] Một trong những vấn đề thời sự hiện nay là nghiên cứu bài toánđồng hóa dữ liệu đối với hệ Navier-Stokes và các hệ phương trình kháctrong cơ học chất lỏng Vấn đề này có nhiều ý nghĩa trong bài toán dựbáo khí tượng

Bài toán đồng hóa dữ liệu liên tục được mô tả như sau Giả sử u1(t)biểu diễn trạng thái thực của hệ tại thời điểm t Ta biểu diễn phần đođược của u1(t) tại thời điểm t là Pλu1(t), ở đó Pλ là một phép chiếu trựcgiao có hạng hữu hạn Ở đây λ là tham số biểu diễn độ chính xác củathiết bị đo Giả sử u2(t) là nghiệm xấp xỉ của u1(t), nhận được từ phépđồng hóa dữ liệu liên tục của phần đo được Pλu1(t) trên khoảng thờigian τ ∈ [0, t] Chúng ta sẽ tìm các điều kiện trên λ theo các tham sốvật lí của hệ để đảm bảo nghiệm xấp xỉ u2(t) sẽ hội tụ đến nghiệm chínhxác u1(t) khi t → ∞

Ở đây ta sẽ lấy u1(t) là nghiệm chính xác của hệ Navier-Stokes hai chiều

với điều kiện ban đầu cho trước và với điều kiện biên tuần hoàn.

Mục đích của luận văn này là trình bày các kết quả chính trong [2, 3]

về bài toán đồng hóa dữ liệu liên tục đối với hệ Navier-Stokes hai chiềutrong trường hợp điều kiện biên tuần hoàn

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu bài toán đồng hóa dữ liệu liên tục đối với hệ Navier-Stokeshai chiều trong trường hợp điều kiện biên tuần hoàn

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

• Trình bày cách xây dựng nghiệm xấp xỉ u1(t) từ phần đo được

Pλu1(t) của nghiệm chính xác u1(t)

• Tìm điều kiện của λ để nghiệm xấp xỉ u2(t) sẽ hội tụ đến nghiệmchính xác u1(t) khi t → ∞ Đánh giá tốc độ hội tụ

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Đối tượng nghiên cứu: Hệ Navier-Stokes hai chiều

• Phạm vi nghiên cứu: Bài toán đồng hóa dữ liệu liên tục đối với hệNavier-Stokes hai chiều với điều kiện biên tuần hoàn

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các phương pháp của lí thuyết hệ động lực tiêu hao vô hạnchiều, lí thuyết hệ Navier-Stokes và lí thuyết đồng hóa dữ liệu

6 Đóng góp của luận văn

Thiết lập được các kết quả về sự hội tụ của nghiệm xấp xỉ, xây dựngbằng phương pháp đồng hóa dữ liệu liên tục, về nghiệm chính xác của

hệ Navier-Stokes hai chiều trong trường hợp điều kiện biên tuần hoàn

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng ta nhắc lại khái niệm cũng như các kết quả

bổ trợ cần thiết được sử dụng ở chương sau Các kết quả chủ yếu thamkhảo trong [1, 4, 5]

1.1 Giới thiệu về hệ Navier-Stokes

Xét hệ phương trình Navier-Stokes hai chiều có dạng

∂u1

∂t + (u1 · ∇) u1 − v4u1 + ∇π1 = f,

∇ · u1 = 0,

(1.1)

với điều kiện ban đầu u1(0) = u0 trên hình xuyến Ω = [0, L]2 chu kì L Ở

đó u1 biểu diễn trường vận tốc Euler, ν là độ nhớt động học, f là ngoạilực, và π1 là áp lực vật lý

Rõ ràng từ hệ (1.1) ta thấy rằng nếu RΩu0 = 0 và RΩf = 0, thì khi

đó RΩu1(t) = 0 với mọi thời điểm Vì thế, chúng tôi chỉ quan tâm tớicác nghiệm có trung bình bằng không Theo đó, tại bất kì thời điểm t,trường vận tốc, ngoại lực, và áp suất có thể biểu diễn bằng chuỗi Fourier

k∈F

bakφk, trong đó F = {2πm

L : m ∈ Z2 \ {0}}, (1.2)và

φk(x) = eik·x và ˆak = ˆa−k

Chú ý rằng các hệ số Fourier tương ứng với vận tốc và ngoại lực là cáchàm giá trị vectơ trong C2 sao cho k · ˆak = 0, trong khi đó các hệ sốtương ứng của áp suất là các vô hướng Định nghĩa chuẩn trong L2 và

H1 của a tương ứng là:

|a| = L

(X

1.2 Các không gian hàm và toán tử

Trong phần này, ta mô tả các đặc trưng của các không gian H, V, V0 khinghiên cứu về phương trình Navier-Stokes và phát biểu một số bất đẳngthức và kết quả ta sẽ cần ở các phần sau

Trước tiên, ta định nghĩa không gian Vα qua các hạng tử của chuỗiFourier (1.2) như sau

Ta thấy rằng, tồn tại một mối liên hệ giữa chuẩn được định nghĩatrong (1.5) và phép chiếu trong (1.4) Mối liên hệ này cho phép ta đánhgiá các chặn theo chuẩn của Qλu và Pλu, theo cách mà các chặn phụthuộc vào dải tham số λ Với α < β, ta có một dạng khác của bất đẳngthức Poincaré như sau

H = V0, V = v1, và V0 = V−1

Chú ý rằng các chuẩn ||u||0, ||u||1 và ||u||−1 tương ứng là các chuẩn

|u|, ||u|| và ||u||∗ đã đưa định nghĩa trong (1.3) Do vậy, H gồm các hàmbình phương khả tích trên hình xuyến Ω chu kì L, có div tự do và cótrung bình 0 Không gian V là các hàm trong H với đạo hàm cấp mộtcũng bình phương khả tích, và không gian V0 là đối ngẫu của V Ngoài

ra, bằng dạng nhất thức Parseval, các chuẩn trên H và V có thể đượcbiểu thị bởi

và ||u|| = |∇u| = |∇u| = |∇u|

Định nghĩa 1.1 [3] Định nghĩa phép chiếu Leray Pσ : L2 → H làphép chiếu trực giao từ L2 lên H Hơn nữa, định nghĩa A : V → V 0 và

B : V × V → V0 tương ứng là các mở rộng liên tục của các toán tử

Au = −Pσ4u và B (u, v) = Pσ(u · ∇v)với bất kì hàm trơn phù hợp u

Lưu ý rằng, miền xác định D (A) của toán tử A là V2

Với u0 ∈ V và f ∈ H, ta viết phương trình Navier-Stokes (1.1) nhưmột phương trình hàm trong H bởi

du1

với điều kiện ban đầu u1(0) = u0

1.3 Đánh giá đối với số hạng phi tuyến

Bây giờ, ta nhắc lại một vài tính chất đại số của số hạng phi tuyến

B (u, v) , chúng đóng một vai trò quan trọng trong nghiên cứu của chúng

và bằng việc lấy đạo hàm của (1.13) ta có

hB (u, v) , Avi + hB (v, u) , Avi + hB (v, v) , Aui = 0 (1.14)với u, v ∈ D (A) Chú ý rằng các điều kiện (1.13) và (1.14) vẫn còn đúngvới phương trình Navier-Stokes hai chiều trên miền tuần hoàn

Số hạng phi tuyến này còn có thể được đánh giá bằng bất đẳng thứcH¨older và bất đẳng thức Ladyzhenskaya sau đây

Bổ đề 1.1 [3] Cho trước u ∈ V khi đó

trong đó c1 ≤ 2 + (2π)−1 với hình xuyến 2 chiều Ω

Từ đó, nếu u, v, w∈V thì

hB (u, v) , wi ≤ ||u||L4||v|||w||L4 ≤ c1|u|12||u||12||v|||w|12||w||12, (1.16)

và nếu u ∈ V, v ∈ D (A) và w ∈ H thì khi đó

hB (u, v) , wi ≤ ||u||L4||∇v|||w||L4 ≤ c1|u|12||u||12||v||12|Avw|12|w| (1.17)

Ta kết thúc phần này với một số đánh giá chặn trên theo thời giantrung bình của ||u1|| và ||Au1|| theo u0 và f.

Bổ đề 1.2 [3] Cho u1(t) là nghiệm mạnh duy nhất của (1.10) với f ∈

L2loc((0, ∞) ; H) và f phụ thuộc thời gian và điều kiện ban đầu u0 ∈ V Khi đó

|f (τ ) |2dτ (1.19)

1.4 Các kết quả về sự tồn tại và đánh giá nghiệm

1.4.1 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm mạnh trong trường hợp

Định lí 1.1 [3] Cho u0 ∈ V và f ∈ L2

loc((0, ∞); H) Thì hệ phương trình(1.10) có duy nhất nghiệm mạnh thỏa mãn

u1 ∈ L∞((0, T ); V ) ∩ L2((0, T ); D(A)) và du1

dt ∈ L2((0, T ); H)với bất kì T > 0 Hơn nữa, nghiệm mạnh này là thuộc C([0, t]; V ) và phụthuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu u0

Định lí 1.2 [3] Cho v1 và v2 là hai nghiệm của phương trình Stokes hai chiều trên hình xuyến chu kì L với các hàm ngoại lực tươngứng g1 và g2 và có thể có các điều kiện ban đầu khác nhau Khi đó tồntại hằng số c1 không phụ thuộc vào ν, L, gi, và điều kiện ban đầu sao chomọi λ (L/2π)2 > c1Gr (g1) giới hạn

Định lí 1.3 [3] Cho v1 và v2 là hai nghiệm của phương trình Stokes hai chiều trên hình xuyến chu kì L với các hàm ngoại lực tươngứng g1 và g2 và có thể có các điều kiện ban đầu khác nhau Khi đó tồntại hằng số c1 không phụ thuộc vào ν, L, gi, hoặc điều kiện ban đầu saocho mọi λ (L/2π)2 > c1Gr (g1) giới hạn

Navier-|Qλg1(t) − Qλg2(t) | → 0 và |Pλv1(t) − Pλv2(t) | → 0 khi t → ∞,

Nghiệm của phương trình (1.20) có thể được xem là hai nghiệm u1 và

u2 của phương trình Navier-Stokes (2.6) tương ứng với các hàm ngoạilực f1, f2 cho bởi

f1 = f và f2 = f + Pλ(B(u2, u2) − B(u1, u1)) (1.21)Bây giờ ta trình bày kết quả về sự tồn tại và duy nhất nghiệm mạnhcủa hệ (1.20) qua định lí sau

Định lí 1.4 [3] Cho T > 0 và λ ≥ 0 Nếu u0 = u1(0) ∈ V, η =

Qλu2(0) ∈ QλV , và f ∈ L2loc((0, ∞); H), thì hệ (1.20) được xem nhưmột hệ phương trình vi phân hàm trong H, và hệ này có duy nhất mộtnghiệm mạnh thỏa mãn

f ∈ L∞((0, T ); V ) ∪ f ∈ L2((0, T ); D(A)) và du1

dt ∈ L2((0, T ); H)

(1.22)với i = 1, 2 Hơn nữa, các nghiệm mạnh là thuộc C([0, T ]; V ) và phụthuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu u0 và η theo chuẩn trong V

Từ định lí trên, ta thấy rằng tính duy nhất nghiệm trong Định lý (1.4)đảm bảo rằng, nếu u1(t) và u2(t) bằng nhau tại một vài điểm trong khônggian, thì điều này cũng đúng cho tất cả thời điểm sau đó Đặc biệt, nếu

η = Qλu0 thì u1(t) = u2(t) với mọi t Bổ đề sau thiết lập các chặn trêncho sự hội tụ của đồng hóa dữ liệu liên tục theo các hạng tử của thờigian trung bình của nghiệm chính xác u1 Khi λ tăng dải nghiệm sẽ trởnên mịn hơn Bởi vậy, ta mong muốn nghiệm u2(t) trở thành nghiệmxấp xỉ tốt hơn và tốt hơn nghiệm xấp xỉ của u1(t) khi λ → ∞

Bổ đề 1.3 [3] Cho u1(t) và u2(t) là các nghiệm mạnh duy nhất của (1.20)với u0 = u1(0) ∈ V, η = Qλu2(0), và f ∈ L2loc((0, ∞); H) cho trước trongĐịnh lí 1.4 Khi đó

|u1(t) − u2(t)|2 ≤ |u1(0) − u2(t)|2exp



−νλt + c

2 1

ν

Z t 0

||u1(τ )||2dτ



(1.23)và

|u1(t) − u2(t)|2 ≤ ||u1(0) − u2(t)||2exp



−νλt + c

2 1

νλ

Z t 0

||Au1(τ )||2dτ

.(1.24)

với C1, C2 là các hằng số không âm Khi đó

ξ (t) 6 C2 1 + C1teC1 t
với hầu khắp t, 0 6 t 6 T

Chương 2 Bài toán đồng hóa dữ liệu liên tục đối với hệ Navier-Stokes hai chiều

Chương này được viết dựa trên tài liệu tham khảo [2, 3]

và từ đó thu được chính xác u1(t) cho mọi t > 0 Vì thế, việc khó nhất

là ta không thể thu được u0 chính xác bằng các phép đo Tuy nhiên, ta

có thể thu được Pλu1(t) trong khoảng thời gian cần thiết đủ lớn Khi

đó, câu hỏi sẽ trở thành, làm sao để thu được u1(t) từ Pλu1(t) Trongtrường hợp tổng quát điều này là không thể, vì vậy, thay vào đó, ta hãytìm u2(t) là xấp xỉ tiệm cận tốt nhất của u1(t)

Để tìm u2(t) ta viết lại phương trình Navier-Stokes (1.1) thành một

hệ gồm hai phương trình vi phân Ta đặt ui = pi+ qi trong đó pi = Pλui

và qi = Qλui với i = 1, 2 Vì Pλ và Qλ là các phép chiếu lên không gian

các hàm riêng của toán tử ∆, chúng giao hoán với nhau Tương tự Pλ

và Qλ giao hoán với div và gradient Vì vậy, trước tiên thực hiện phépchiếu (1.1) bởi Pλ và sau đó bởi Qλ cho ta

xỉ q2(t) của q1(1) bằng tích phân

∂q2

∂t + Qλ{(p1 + q1) · ∇ (p1 + q1)} − v∆q2 + ∇Qλπ2 = Qλf, ∇ · q2 = 0

(2.1)với điều kiện ban đầu q2(0) = η trong đó η = Qλη biểu diễn phỏng đoánban đầu của các mode q1(0) của nghiệm chính xác Từ đó, bài toán của

ta là một bài toán ban đầu hóa, và ta giải bài toán đó bằng ban đầu hóacác tần số cao theo bất kì cách nào ta muốn và sau đó lấy tích phân.Đồng hóa dữ liệu liên tục thực chất là thuật toán đơn giản để xâydựng một nghiệm gần đúng u2 phù hợp cho việc xử lý bằng lý thuyết củaphương pháp xác định các mode của Foias và Prodi Trong luận văn này,

ta xem u2 như là một nghiệm của một hệ phương trình Navier-Stokeshai chiều thay đổi nhỏ so với hệ gốc (1.1) Điều này có thể được thựchiện bằng cách thêm phương trình tiến hóa với p1(t) thành phương trìnhtiến hóa với q2(t) Vì vậy, ta thu được

∂u2

∂t + (u2.∇) u2 − ν∆u2 + ∇π2 = f2, ∇ · u2 = 0 (2.2)

với điều kiện ban đầu u2(0) = Pλu0 + η với η = Qλη và

f2 = f + Pλ{(u2 · ∇) u2 − (u1 · ∇) u1} (2.3)Chú ý rằng f2 là hàm phụ thuộc vào thời gian và phụ thuộc vào u2 đểđảm bảo rằng Pλu1(t) = Pλu2(t) tại mọi thời điểm t ≥ 0

Tuy nhiên, lí thuyết xác định các mode không đặt các giả thiết lên u2

Do đó, ta luôn nhớ rằng u2 đã được xây dựng bằng đồng hóa dữ liệu liêntục và giả sử rằng nó là một nghiệm khác của hệ phương trình Navier-Stokes với hàm f2(t) phụ thuộc thời gian Để tránh những nhầm lẫn cóthể có, ta sẽ giả thiết các nghiệm v1 và v2 của hệ Navier-Stokes (1.1) ứngvới các hàm ngoại lực tương ứng g1 và g2 khi thảo luận lí thuyết tổngquát về xác định các mode

Định nghĩa 2.1 [3] Số xác định mode là hạng nhỏ nhất của phép chiếu

Pλ sao cho với bất kì hai nghiệm v1 và v2 của (1.1) thỏa mãn

|Pλv1(t) − Pλv2(t)| → 0 khi t → ∞thì ta có

2

lim sup

t→∞

|f (t)|

Như đã biết, số Grashof đóng vai trò quan trọng trong việc đánh giá

số xác định mode của hệ phương trình Navier-Stokes, khi đó ta cần sựtương đương về dáng điệu của các ngoại lực Điều này rất quan trọng vìhàm ngoại lực f2 trong đồng hóa dữ liệu liên lục không bằng với f

2.2 Chứng minh sự hội tụ của nghiệm xấp xỉ về

nghiệm chính xác khi thời gian ra vô cùng

Z t 0

||f (τ )||2∗dτ

1/2

và M2 =

sup

t>0

1t

Z t 0

M2 < ∞, tồn tại các số K1 và K2 đủ lớn sao cho với mỗi u0 = u1(0) ∈ B0

và η = Qλu2(0) ∈ QλV, các nghiệm u1(t) và u2(t) của (1.20) thỏa mãn:(i) Nếu tồn tại α sao cho 0 < 2α ≤ νλ − c21v−3M12 thì

|u1(t) − u2(t)| ≤ |u1(0) − u2(0)|K1e−αt với t ≥ 0

(ii) Nếu tồn tại α sao cho 0 < 2α ≤ νλ − c21(v3λ)M22 thì

|u1(t) − u2(t)| ≤ |u1(0) − u2(0)|K2e−αt với t ≥ 0

Chứng minh Đặt δ = u1 − u2 Để ước lượng được |δ(t)|, ta thay (2.14)

ở Bổ đề 2.4 vào (1.23) trong Bổ đề 1.3, để thu được

|δ(t)|2 ≤ |δ(0)|2exp



−νλt + tc

2 1

(−νλ + c

2 1

ν3M12)t



Để đánh giá ||δ(t)||, ta thay (2.15) ở Bổ đề 2.4 vào (1.24) trong Bổ đề1.3 để được

||δ(t)||2 ≤ ||δ(0)||2exp



−νλt + tc

2 1

(−νλ + c

2 1

ν3λM

2

2)t



Do đó, nếu 0 < 2α ≤ vλ − c21(v3λ)M22 thì ||δ(t)|| ≤ ||δ(0)||K2e−αt với K2được chọn đủ lớn sao cho

K2 ≥ exp c2

1

v2λ||u0||2

với mọi u0 ∈ B0.Định lí được chứng minh

Từ Định lí 2.1, ta thu được hệ quả sau đây

Hệ quả 2.1 [3] Dưới các giả thiết của Định lí 2.1, nghiệm xấp xỉ u2hội tụ tới u1 trong L∞([0, ∞]; V ) khi λ → ∞

Chứng minh Vì K2 trong Định lí 2.1 có thể được chọn không phụ thuộcvào λ, nên

||u1(t) − u2(t)|| ≤ ||u1(0) − u2(0)||K2e−αt ≤ K2||Qλ(u0 − η)|| → 0,khi t → ∞ Hay u2 hội tụ tới u1 trong L∞([0, ∞]; V ) khi λ → ∞

Định lí 2.2 [3] Cho u1(1) là một nghiệm trên tập hút toàn cục củaphương trình Navier-Stokes hai chiều (1.1) với ngoại lực không phụ thuộc