Sự liên tục và sự khả vi của hàm hai biến

Möc löcTrang phö b…a.. ii Möc löc... Phƒn nºi dung gçm ba ch÷ìng: 3... B¥y gií t¥ chøng minh intA l t“p mð lînnh§t trong A... Gi£ sß fxng l mºt d¢y trong R vîi metric thæng th÷íng.. Hºi

B¸GI ODÖCV OT O IH¯C N NG TR×˝NG I

Líi c¡m ìn

Tæi xin b y tä lÆng bi‚t ìn s¥u s›c Łi vîi (thƒy) TS L¶ Ho ng Tr‰, ng÷íi ¢ h÷îng d¤n tæi t“n t…nh trong suŁt thíi gian thüc hi»n • t i

Tæi xin ch¥n th nh c¡m ìn c¡c thƒy cæ gi¡o Khoa To¡n Tr÷íng ⁄i håc S÷ ph⁄m

-⁄i håc Nfing ¢ t“n t…nh gi£ng d⁄y v gióp ï tæi trong suŁt qu¡ tr…nh håc t“p

°c bi»t, tæi xin ch¥n th nh c¡m ìn b⁄n b– khâa 14ST ¢ ºng vi¶n gióp ï tæi trong suŁt qu¡ tr…nh håc t“p v l m lu“n v«n

Nfing, th¡ng 4 nam 2018

T¡c gi£

Nguy„n Huýnh Kh¡nh V¥n

ii

Möc löc

Trang phö b…a i

Líi c¡m ìn ii

Möc löc 1

M— U 3

Ch÷ìng 1 - ành ngh¾a v t‰nh ch§t v• sü li¶n töc cıa h m hai bi‚n 5 1.1 Mºt sŁ kh¡i ni»m v k‚t qu£ v• khæng gian metric 5

1.1.1 Khæng gian Metric 5

1.1.2 Và tr‰ t÷ìng Łi giœa mºt i”m Łi vîi mºt t“p 8

1.1.3 T“p mð, t“p âng 9

1.1.4 Phƒn trong, bao âng cıa mºt t“p 10

1.1.5 Sü hºi tö trong khæng gian metric 12

1.2 ành ngh¾a v t‰nh ch§t v• sü li¶n töc cıa h m hai bi‚n 14

1.2.1 H m hai bi‚n 14

1.2.2 T‰nh li¶n töc cıa h m hai bi‚n 14

1.2.3 Li¶n töc •u 19

Ch÷ìng 2 - ành ngh¾a v t‰nh ch§t v• sü kh£ vi cıa h m hai bi‚n 21 2.1 ⁄o h m ri¶ng 21

2.1.1 ⁄o h m ri¶ng cıa h m hai bi‚n 21

2.1.2 ⁄o h m ri¶ng c§p cao 22

2.2 Vi ph¥n 25

2.2.1 Vi ph¥n cıa h m sŁ hai bi‚n sŁ 25

2.2.2 ⁄o h m cıa h m hæp 27

2.2.3 T‰nh b§t bi‚n cıa d⁄ng vi ph¥n( hay vi ph¥n cıa h m sŁ hæp) 29

1

Ch÷ìng 3 - Mºt sŁ v‰ dö v• c¡c h m kh£ vi v h m li¶n töc 31

2

Mð ƒu

1 Lþ do chån • t i

Còng vîi kh¡i ni»m giîi h⁄n, t‰nh li¶n töc v t‰nh kh£ vi cıa h m sŁ l nhœng ki‚n thøc

cì sð quan trong cıa gi£i t‰ch to¡n håc C¡c kh¡i ni»m, t‰nh ch§t v ành lþ v• sü li¶ntöc, sü kh£ vi cıa h m sŁ th÷íng xuy¶n ÷æc khai th¡c trong c¡c ký thi Olympic quŁc gia,quŁc t‚ C¡c kh¡i ni»m, t‰nh ch§t, k‚t qu£ chøng minh v• sü li¶n töc, sü kh£

vi trong Gi£i t‰ch mºt bi‚n câ t‰nh trüc quan cao, d„ hi”n thà th… sang khænggian nhi•u chi•u t‰nh trłu t÷æng ¢ t«ng l¶n rª r»t Tuy nhi¶n c¡i µp cıa To¡n håc n‹mtrong sü trłu t÷æng v c¡i ‰ch cıa To¡n håc n‹m trong sü cö th” Xu§t ph¡t tł l‰ do â, tæiti‚n h nh nghi¶n cøu n y nh‹m tr…nh b y l⁄i c¡c ành ngh¾a v t‰nh ch§t v• sü li¶n töc, sükh£ vi cıa h m nhi•u bi‚n (cö th” l h m hai bi‚n) gióp ng÷íi åc n›m rª c¡c ki‚n thøc cì b£n vtŒng qu¡t v• t‰nh li¶n töc, kh£ vi cıa h m hai bi‚n (khæng gian R2) tł

â d„ d ng kh¡i qu¡t trong khæng gian Rn

2 Möc ti¶u v nºi dung nghi¶n cøu • t i

H m sŁ l mºt trong nhœng kh¡i ni»m cì b£n cıa gi£i t‰ch to¡n håc H m hai bi‚n

÷æc sß döng rºng r¢i trong nhi•u l¾nh vüc kh¡c nhau cıa khoa håc v– kÿ thu“t.Nhi•u t‰nh ch§t cıa h m ÷æc khai th¡c tri»t ” v l gi£ thi‚t khæng th” thi‚u trong nhi•unghi¶n cøu: t‰nh li¶n töc v t‰nh kh£ vi cıa h m sŁ Möc ‰ch cıa lu“n v«n l tr…nh

b y l⁄i nhœng ành ngh¾a, t‰nh ch§t °c tr÷ng v• sü li¶n töc, sü kh£ vi cıa h m haibi‚n v mºt sŁ v‰ dö li¶n quan ‚n c¡c t‰nh ch§t n y

3 Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cøu

åc, dàch, tra cøu t i li»u tham kh£o, s¡ch chuy¶n ng nh, trao Œi vîi thƒy,nghi¶n cøu khoa håc mºt c¡ch logic v h» thŁng

4 BŁ cöc lu“n v«n

BŁ cöc nºi dung gçm ba phƒn: mð ƒu, nºi dung ch‰nh v k‚t lu“n

Phƒn mð ƒu giîi thi»u • t i cıa lu“n v«n

Phƒn nºi dung gçm ba ch÷ìng:

3

- Ch÷ìng 1: C¡c ki‚n thøc v• khæng gian metric gçm mºt sŁ kh¡i ni»m v k‚t qu£ th÷íng xuy¶n sß döng ành ngh¾a v t‰nh ch§t v• sü li¶n töc cıa h m hai bi‚n.

- Ch÷ìng 2: C¡c ành ngh¾a v t‰nh ch§t v• sü kh£ vi cıa h m hai bi‚n

- Ch÷ìng 3: Mºt sŁ v‰ dö v• sü li¶n töc v kh£ vi cıa h m hai bi‚n

Phƒn k‚t lu“n n¶u tâm t›t c¡c k‚t qu£ ⁄t ÷æc cıa lu“n v«n

4

CH×ÌNG 1

ÀNHNGHAV TNHCH TV SÜ LI NTÖCCÕAH

MHAIBI NCh÷ìng n y tr…nh b y kh¡i ni»m khæng gian metric v mºt sŁ t‰nh ch§t th÷íng g°p trong khæng gian metric; ành ngh¾a v• h m hai bi‚n v c¡c t‰nh ch§t v• sü li¶n töc cıa h m hai bi‚n

1.1 Mºt sŁ kh¡i ni»m v k‚t qu£ v• khæng gian metric

1.1.1 Khæng gian Metric

ành ngh¾a 1.1.1.1: Gi£ sß X l mºt t“p tòy þ kh¡c rØng cho tr÷îc Ta gåi h m sŁ

d : X X ! R l mºt metric (hay kho£ng c¡ch) tr¶n X n‚u h m sŁ n y thäa m¢n nhœngi•u ki»n sau:

i) d (x; y) > 0, vîi måi x; y 2 X : d (x; y) = 0 khi v ch¿ khi x = y

ii) d (x; y) = d (y; x), vîi måi x; y 2 X

iii) d (x; z) 6 d (x; y) + d(y; z), vîi måi x; y; z 2 X, (b§t flng thøc tam gi¡c)

Khi â: d ÷æc gåi l mºt metric tr¶n X v C°p (X; d) ÷æc gåi l khæng gian metric.

V‰ dö 1.1.1.1: Kþ hi»u R2 = f(x; y) : x; y 2 Rg Vîi måi (x1; y1); (x2; y2) 2 R2,ta °td(x1; y1); (x2; y2) = p

(x1 x2)2 + (y1 y2)2 Khi â: d l mºt metric tr¶n R2.Chøng minh: Vîi måi (x1; y1); (x2; y2) thuºc R2

V‰ dö 1.1.1.2: Cho X = R2 Vîi måi (x1; y1); (x2; y2) 2 R2, ta °t

d(x1; y1); (x2; y2) = jx1 x2j + jy1 y2j Khi â: d l mºt metric tr¶n R2

Chøng minh: Vîi måi (x1; y1); (x2; y2) thuºc R2

d(x1; y1); (x2; y2) = jx1 x2j + jy1 y2j 0

8d(x1; y1); (x2; y2) = 0

6

jx1 x3j + jy1 y3j jx1 x2j + jy1 y2j + jx2 x3j + jy2 y 3 j.

Th“t v“y, ta câ:

jx1x2j + jx2 x3j jx1 x2 + x2 x3j = jx1 x3j jy1 y2j + jy2 y3j

jy1 y2 + y2 y3j = jy1 y3jCºng hai ph÷ìng tr…nh tr¶n v‚ theo v‚ ta ÷æc i•u ph£i chøng minh

V“y d l mºt metric tr¶n R2

V‰ dö 1.1.1.3: Cho X = R2 Vîi måi (x1; y1); (x2; y2) 2 R2, ta °t

d(x1; y1); (x2; y2) = max fjx1 x2j ; jy1 y2jg Khi â d l mºt metric tr¶n R2

Chøng minh: D„ d ng chøng minh ÷æc d thäa m¢n i•u ki»n i),ii) theo ành ngh¾a

1.1.1.1 Ta ki”m tra i•u ki»n iii), tøc l chøng minh max fjx1 x3j ; jy1 y3jg

max fjx1 x2j ; jy1 y2jg + max fjx2 x3j ; jy2 y3jg ,vîi måi (x1; y1); (x2; y2);

Chøng minh: Rª r ng d thäa m¢n c¡c i•u ki»n i), ii) theo ành ngh¾a 1.1.1.1 Ta ki”m

tra i•u ki»n iii), tøc l chøng minh vîi måi x; y; z 2 Rn:

t t t

7

V“y (Rn; d) l mºt khæng gian metric v ta gåi d l metric thæng th÷íng tr¶n Rn.

1.1.2 Và tr‰ t÷ìng Łi giœa mºt i”m Łi vîi mºt t“p

Cho (X; d) l khæng gian metric, x0 l mºt i”m thuºc X v A X

ành ngh¾a 1.1.2.1: Ta gåi h…nh cƒu mð t¥m x0 b¡n k‰nh r > 0 trong X v kþ hi»u

ành ngh¾a 1.1.2.5: x0 ÷æc gåi l i”m bi¶n cıa A n‚u nâ khæng l i”m trong, công khæng l i”m ngo i cıa A.

8

ành ngh¾a 1.1.2.6: x0 ÷æc gåi l i”m giîi h⁄n ( i”m tö) cıa A n‚u vîi måi r > 0, B

(x0; r) \ (An fx0g) 6= ;

ành ngh¾a 1.1.2.7: x0 ÷æc gåi l i”m d‰nh cıa A n‚u vîi måi r > 0, B

(x0; r) \ A 6= ;

Nh“n x†t 1.1.2.1: Câ ba tr÷íng hæp x£y ra Łi vîi và tr‰ cıa x0 v t“p A: x0 l i”m

trong cıa A, x0 l i”m ngo i cıa A ho°c x0 l i”m bi¶n cıa A

ành ngh¾a 1.1.3.1: Cho (X; d) l khæng gian metric, A X Khi â, A ÷æc gåi l t“p hæp mð (t“p mð) n‚u mØi i”m cıa A •u l i”m trong (cıa A)

Nh“n x†t 1.1.3.1: Måi h…nh cƒu mð l t“p mð

Chøng minh: Gi£ sß B (x; r) l h…nh cƒu mð t¥m x b¡n k‰nh r trong X L§y b§t ký

y 2 B (x; r), ta câ d (x; y) < r °t = r d (x; y) > 0 Ta ph£i chøng minh:

B (y; ) B (x; r) Th“t v“y, n‚u z 2 B (y; ) th… d (y; z) < Khi â:

i = 1; :::; n MØi Ai l t“p mð n¶n tçn t⁄i ri > 0 sao cho B (x; ri) Ai Vîi måii

ành ngh¾a 1.1.3.2: Cho F X ÷æc gåi l t“p hæp âng cıa X n‚u XnF l t“p mð

ành lþ 1.1.3.2: Cho (X; d) l khæng gian metric, F X Khi â F âng khi v ch¿ khi vîi b§t ký d¢y fxng F , n‚u xn ! x th… x ph£i thuºc F

Chøng minh: Th“t v“y:

()) Gi£ sß F âng trong X, d¢y fxng F v xn ! x Ta ph£i chøng minh x 2 F Gi£ sß

ng÷æc l⁄i x 2= F tøc l x 2 XnF V… F l t“p âng n¶n XnF l t“p mð Khi â

x l i”m trong cıa XnF , suy ra tçn t⁄i r > 0 sao cho B (x; r) XnF M°t kh¡c, v… xn ! x

n¶n d (xn; x) ! 0 khi n ! 1 Ta chån " = r, khi â tçn t⁄i N" 2 N sao cho d (xn; x) < r vîi

måi n N" Suy ra xn 2 B (x; r) XnF vîi måi n N" Tøc l xn 2= F vîi måi n N" (væ lþ v…d¢y fxng F ) V“y x 2 F

(() Gi£ sß vîi måi d¢y fxng F , n‚u xn ! x ta •u câ x 2 F Ta chøng minh F l

t“p âng trong X Gi£ sß ng÷æc l⁄i F l t“p khæng âng, suy ra XnF l t“p khæng mð,

tøc l tçn t⁄i y 2 XnF sao cho y khæng l i”m trong cıa XnF Khi â vîi måi

r > 0 th… B (y; r) 6 XnF hay nâi c¡ch kh¡c B (y; r) \ F 6= ; Vîi måi n 2 N , ta chån

1.1.4 Phƒn trong, bao âng cıa mºt t“p

ành ngh¾a 1.1.4.1: Cho (X; d) l khæng gian metric, A X Khi â, t“p t§t c£ c¡ci”m trong cıa A ÷æc gåi l phƒn trong cıa A Kþ hi»u l : intA hay Ao

Nh“n x†t 1.1.4.1: Cho (X; d) l khæng gian metric, A X Khi â:

10

a) intA l hæp cıa hå t§t c£ c¡c t“p mð cıa X ÷æc chøa trong A.

b) intA l t“p mð lîn nh§t ÷æc chøa trong A

c) A l t“p mð khi v ch¿ khi intA = A

[Chøng minh: a) Ta chøng minh intA = V : V mð; V A X

L§y x b§t ký thuºc intA, suy ra x l i”m trong cıa A Khi â, tçn t⁄i r > 0 sao cho x 2 B (x; r) A Do B (x; r) l t“p hæp mð n¶n:

°t B = V : V mð; V A X L§y x b§t ký thuºc B, suy ra tçn t⁄i Vo mð sao cho x 2 Vo

A V… Vo mð n¶n tçn t⁄i r > 0 sao cho B (x; r) Vo A Khi â x l i”m trong cıa A n¶n x thuºc intA Suy ra B intA

V“y nh“n x†t ¢ ÷æc chøng minh.

[b) Theo c¥u a, intA = V : V mð; V A X m hæp tòy þ c¡c t“p

mð l t“p hæp mð n¶n intA công l t“p mð B¥y gií t¥ chøng minh intA l t“p mð lînnh§t trong A Th“t v“y, gi£ sß G l t“p mð lîn nh§t trong A, ta s‡ chøng minh G = A.V… G l t“p mð n¶n G 2 V : V mð; V A X Suy ra

()) Cho A l t“p mð, ta s‡ chøng minh intA = A

Ta ¢ chøng minh ÷æc intA A ð c¥u a, b¥y gií ta ch¿ cƒn chøng minh A intA.Th“t v“y, intA l t“p mð lîn nh§t trong A m A công mð trong A n¶n A intA.(() Gi£ sß intA = A, d„ d ng ta chøng minh ÷æc A l t“p mð

11

ành ngh¾a 1.1.4.2: Cho (X; d) l

c£ c¡c t“p âng chøa F ÷æc gåi l

khæng gian metric, F X Khi â, giao cıa t§t bao âng cıa F Kþ hi»u l : F hay cl F Nh÷ v“y:

1.1.5 Sü hºi tö trong khæng gian metric

ành ngh¾a 1.1.5.1: Cho (X; d) l khæng gian metric v fxng l mºt d¢y trong X

Ta nâi d¢y fxng hºi tö ‚n x 2 X n‚u kho£ng c¡ch giœa xn v x0 dƒn ti‚n ‚n 0 khi n ! 1

Lóc â x0 ÷æc gåi l giîi h⁄n cıa d¢y xn v ta s‡ kþ hi»u l lim xn = x0 hay xn ! x0 khi n !

1 Di„n t£ l⁄i ta câ:

Chøng minh: a) Gi£ sß xn ! x0 v xn ! y0 Ta s‡ chøng minh x0 = y0

Th“t v“y tł b§t flng thøc tam gi¡c ta câ: d (x0; y0) d (x0; xn) + d (xn; y0)

Cho n ! 1 th…: 0 d (x0; y0) lim d (x0; xn) + lim d (xn; y0) = 0

V‰ dö 1.1.5.1: Cho fxng ; fyng l c¡c d¢y trong khæng gian metric X.

1 Hºi tö trong R; C Gi£ sß fxng l mºt d¢y trong R vîi metric thæng th÷íng

Theo ành ngh¾a, d¢y fxng hºi tö v• x0 khi v ch¿ khi jxn x0j ! 0 khi n ! 1

2 Hºi tö trong Rk Gi£ sß fxng l mºt d¢y trong Rk vîi metric thæng th÷íng Tacâ:

xn = x(1n); x(2n); :::; x(kn)

x0 = x(0)1; x(0)2; :::; x(0)k

Theo ành ngh¾a, d¢y fxng hºi tö v• x0 = x1(0); x2(0); :::; xk(0) 2 Rk khi v ch¿

khi d (x n ; x 0 ) ! 0 khi n ! 1 i•u n y t÷ìng ÷ìng vîi:

th nh phƒn) cıa d¢y °c bi»t vîi k = 1 th… ¥y ch‰nh l sü hºi tö cıa mºt d¢y sŁthüc thæng th÷íng

ành ngh¾a 1.1.5.2: Cho (X; d) l khæng gian metric v fxng l mºt d¢y trong X

Ta nâi d¢y fxng l d¢y Cauchy (d¢y cì b£n) khi v ch¿ khi:

13

Cho (X; d) l khæng gian metric v fxng l mºt d¢y trong X N‚u xn ! x th… xn

l d¢y Cauchy nh÷ng i•u ng÷æc l⁄i ch÷a ch›c óng, ngh¾a l d¢y Cauchy câ th” khæng hºi tö

1.2 ành ngh¾a v t‰nh ch§t v• sü li¶n töc cıa h m hai bi‚n

÷æc gåi l c¡c bi‚n sŁ ºc l“p Trong tr÷íng hæp n = 2 ta câ h m hai bi‚n v th÷íng ÷æc

ành ngh¾a 1.2.2.1: Gi£ sß D R2 v f : D ! R

i) H m f ÷æc gåi l li¶n töc t⁄i x0 2 D n‚u vîi måi " > 0 cho tr÷îc, tçn t⁄i > 0sao cho d (f(x); f(x0)) < " vîi måi x 2 D m d (x; x0) <

ii) H m f gåi l li¶n töc tr¶n D n‚u f li¶n töc t⁄i måi x 2 D

ành lþ 1.2.2.1: H m f li¶n töc t⁄i x0 2 X khi v ch¿ khi vîi måi d¢y fxng D; D R2, n‚u xn ! x0 th… f (xn) ! f (x0)

14

Chøng minh: ành lþ ÷æc chøng minh nh÷ sau:

()) Gi£ sß f li¶n töc t⁄i x0 v fxng l mºt d¢y trong D sao cho xn ! x0 Ta ph£i chøng

minh f (xn) ! f (x0) trong R Cho " > 0, v… f li¶n töc t⁄i x0 n¶n câ > 0 sao cho:

d (f (x) ; f (x0)) < " khi d (x; x0) < ; x 2 DV… xn ! x0 n¶n vîi > 0 ð tr¶n, tçn t⁄i n0 2 N ” d (xn; x0) < khi n n0 Nh÷ng lóc â theo

tr¶n th… d (f (xn) ; f (x0)) < " V“y d (f (xn) ; f (x0)) < "

(() Ta dòng ph£n chøng ” chøng minh Gi£ sß f khæng li¶n töc t⁄i x0 Khi â tçn t⁄i "

> 0 sao cho vîi måi > 0 tçn t⁄i x 2 D sao cho d (x; x0) < th…

d (f (x) ; f (x0))" L§y = n 1 > 0 vîi måi n 2 N Khi â tçn t⁄i xn 2 D thäa m¢n 1

d (xn; x0) < n nh÷ng d (f (xn) ; f (x0)) " Nh÷ v“y ta ¢ ch¿ ra mºt d¢y fxng D, xn ! x0 khi

n ! 1 nh÷ng f (xn) !/ f (x0) i•u n y m¥u thu¤n vîi gi£ thi‚t ành lþ

÷æc chøng minh

BŒ • 1.2.2.1: Cho f : D ! R; D R2, x0 l mºt i”m thuºc D Khi â c¡c khflngành sau t÷ìng ÷ìng:

a) f li¶n töc t⁄i x0

b) Vîi måi " > 0, tçn t⁄i > 0 sao cho f [B (x0; )] B [f (x0) ; "]

c) Vîi måi l¥n c“n V cıa f (x0), tçn t⁄i l¥n c“n U cıa x0 sao cho f (U) V

Chøng minh: BŒ • tr¶n ÷æc chøng minh nh÷ sau:

(a ) b) Gi£ sß f li¶n töc t⁄i x0 Khi â, vîi måi " > 0, tçn t⁄i > 0 sao cho vîi måi x 2 D m

d (x; x0) < th… d (f (x) ; f (x0)) < " Ta ph£i chøng minh f [B (x0; )]

B [f (x0; ")] Th“t v“y, l§y y b§t ký thuºc f [B (x0; )] Khi â tçn t⁄i x 2 B (x0; )

sao cho y = f (x) V… x 2 B (x0; ) ngh¾a l d (x; x0) < Lóc n y theo tr¶n ta suy ra

÷æc d (f (x) ; f (x0)) < " Khi â, y = f (x) 2 B [f (x0) ; "] V“y f [B (x0; )]

B [f (x0) ; "]

(b ) a) Gi£ sß vîi måi " > 0, tçn t⁄i > 0 sao cho f [B (x0; )] B [f (x0) ; "] Ta s‡ chøng

minh f li¶n töc t⁄i x0 Th“t v“y, vîi måi x 2 D m d (x; x0) < tøc l

x 2 B (x0; ) Lóc n y, f (x) 2 f [B (x0; )] B [f (x0) ; "] Ta suy ra måi " > 0, tçn t⁄i

15

> 0 m d (x; x0) < th… d (f (x) ; f (x0)) < " V“y theo ành ngh¾a f li¶n töc t⁄i x0.

(b ) c) Gi£ sß ¢ câ b), ta s‡ chøng minh c) l óng Th“t v“y, cho V l l¥n c“n cıa f (x0) Khi â, tçn t⁄i " > 0 sao cho B (f (x0) ; ") V Theo c¥u b, tçn t⁄i > 0 sao

cho f [B (x0; )] B [f (x0) ; "] °t U = B (x0; ), lóc n y U l l¥n c“n cıa x0 v

f (U) V Ta ÷æc i•u ph£i chøng minh

(c ) b) Gi£ sß ¢ câ c, ta s‡ chøng minh b l óng Th“t v“y vîi måi " > 0, V l l¥n

c“n cıa f (x0) n¶n °t V = B [f (x0) ; "] Khi â, tçn t⁄i l¥n c“n U cıa x0 sao cho

f (U) V V… U l l¥n c“n cıa x0 n¶n tçn t⁄i > 0 sao cho B (x0; ) U Suy ra

f [B (x0; )] f (U) V = B [f (x0) ; "] Ta ÷æc i•u ph£i chøng minh

ành lþ 1.2.2.2: Cho f : D ! R; D R2 Khi â c¡c khflng ành sau t÷ìng ÷ìng:

a) f li¶n töc tr¶n D

b) Vîi måi t“p G mð trong R th… t“p f 1 (G) l mð trong D

c) Vîi måi t“p F âng trong R th… t“p f 1 (F ) l âng trong D

Chøng minh: ành lþ ÷æc chøng minh nh÷ sau:

(a ) b) Gi£ sß x0 2 f 1 (G), khi â f (x0) 2 G V… G mð trong R n¶n tçn t⁄i " > 0 ”

B (f (x0) ; ") G Do f li¶n töc t⁄i x0 n¶n vîi " n y th… tçn t⁄i > 0 sao cho vîi måi

x 2 D m d (x; x0) < th… d (f (x) ; f (x0)) < " i•u n y câ ngh¾a l vîi måi

x 2 B (x0; ) th… f (x) 2 B (f (x0) ; ") G hay x 2 f 1 (G) V“y B (x0; ) f 1 (G)n¶n f 1 (G) l mð

(b ) a) Cho x0 2 D v " > 0 T“p B = B (f (x0) ; ") l t“p mð trong R n¶n f 1 (B)

mð trong D v x0 2 f 1 (B) Do v“y, tçn t⁄i > 0 sao cho B (x0; ) f 1 (B) Nâi c¡ch kh¡c,

vîi måi x 2 D sao cho d (x; x0) < th… x 2 f 1 (B) n¶n f (x) 2 B, ngh¾a l d (f (x) ; f

(x0)) < "

(b , c) Ta câ:

f 1 (RnE) = Dnf 1 (E)

Do â tł mŁi li¶n h» giœa t“p mð v t“p âng, ta l§y E lƒn l÷æt b‹ng F v G th… suy ra

÷æc i•u ph£i chøng minh

16

ành lþ 1.2.2.3: Gi£ sß f : A1 ! A2; g : A2 ! R vîi A1 R2; A2 R Khi â n‚u f

li¶n töc t⁄i x0 thuºc A1, g li¶n töc t⁄i f (x0) thuºc A2 th… gof : A1 ! R li¶n töc t⁄i x0 2

A1

Chøng minh: Gi£ sß fxng A1 v xn ! x0 Do f li¶n töc t⁄i x0 n¶n f (xn) ! f (x0) v g li¶n töct⁄i f (x0) n¶n g (f (xn)) ! g (f (x0)) Nh÷ v“y (g f) (xn) ! (g f) (x0)

V“y (g f) li¶n töc t⁄i x0

ành lþ 1.2.2.4: N‚u h m f v g l nhœng h m li¶n töc t⁄i x0 2 E R2 Khi â:

a) f g li¶n töc t⁄i x0

b) f g li¶n töc t⁄i x0

f

c) g li¶n töc t⁄i x0 vîi g (x0) 6= 0

Chøng minh: Gi£ sß f; g l nhœng h m li¶n töc t⁄i x0 2 E R2.

a) Ta chøng minh f + g công li¶n töc t⁄i x0 Th“t v“y, vîi måi " > 0 ta câ:

Chøng minh t÷ìng tü f g công li¶n töc t⁄i x0

b) Ta chøng minh f:g công li¶n töc t⁄i x0 Th“t v“y, vîi måi " > 0 ta câ:

V… g li¶n töc t⁄i x0 n¶n tçn t⁄i 1 > 0 m d (x; x0) < 1 th… jg (x) g (x0)j

"

< 2 jf (x0)jM°t kh¡c, vîi måi x 2 B (x0; 1) chån "0 thäa jg (x) g (x0)j < 2 jf (x"0 0)j Khi â:

jg (x)j = jg (x) g (x0) + g (x0)j jg (x) g (x0)j + jg (x0)j <

"0

+ jg (x0)j

2 jf (x0)jSuy ra tçn t⁄i sup jg (x)j

x2B(x 0 ; 1 )

17

V… f li¶n töc t⁄i x0 n¶n tçn t⁄i 2 > 0 m d (x; x0) < 2 th…:

g công li¶n töc t⁄i x0 vîi g (x0) 6= 0

Th“t v“y, vîi måi " > 0 ta câ:

V… g li¶n töc t⁄i x n¶n tçn t⁄i > 0 m d (x; x) < th… g (x) g (x )

18

Chøng minh: Gi£ sß f khæng bà ch°n tr¶n E, lóc â vîi mØi k 2 N ta t…m ÷æc

xn 2 E sao cho jf (xn)j > n V… mØi d¢y bà ch«n luæn câ ‰t nh§t mºt d¢y con hºi tö

n¶n tł d¢y fxng bà ch°n, rót ra ÷æc d¢y con hºi tö fxn k g Gåi klim!1 xn k = x0 V… E

Chøng minh: Ta chøng minh f ⁄t gi¡ trà lîn nh§t tr¶n E Theo ành lþ 1.2.2.5 ta suy

ra ÷æc f bà ch°n Khi â tçn t⁄i b = sup f (x) Gi£ sß r‹ng f (x) < b vîi måi

ành ngh¾a 1.2.3.1: Cho f l h m sŁ x¡c ành tr¶n E R2 H m f ÷æc gåi l li¶n töc •u

tr¶n E n‚u vîi mØi " > 0, tçn t⁄i > 0 sao cho vîi måi i”m x; x0 2 E m

d (x; x0) < th… jf (x) f (x0)j < "