Tính liên tục và tính khả vi của hàm giá trị tối ưu trong quy hoạch toàn phương có tham số

HàN®i,ngày12tháng10năm2013 Tácgiá PhanTh%ÁnhVân... HàN®i,ngày12tháng10năm2013 Tácgiá PhanTh%ÁnhVân... Neuvóimoix ∈Xt¾pF xchígomđúngm®tphantúcn aY ,thìta Quytacchotươngúngmoivectơa=a1,...

Lu¾nvănt h a c sĩToánhoc HocviênP h a n Th%ÁnhVân

1

LèICÁMƠN

Lu¾nvănđưochoànthànhtaitrưòngĐaihocSưphamHàN®i2,dưóisnhưóngdancnathayPGS.TSNguyenNăngTâm.Sngiúpđõvàhưóngdant¾ntìnhsongratnghiêmtúccnathaytrongsuotquátrìnhthnchi¾nlu¾nvănnàyđãgiúptácgiátrưóngthànhhơnratnhieutrongcáchtiepc¾nm®tvanđemói.Tácgiáxinđưocbàytólòngbietơn,lòngkínhtrongsâusacnhatđoivóithay

TácgiáxintrântrongcámơnBangiámhi¾utrưòngĐaihocSưphamHàN®i2,PhòngSauđaihoc,cácthaycôgiáotrongnhàtrưòngvàcácthayc ô giáodayc a ohocchuyênngànhToánG i á i tíchđãgiúpđõ,taođieuki¾nchotácgiátrongsuotquátrìnhhoct¾p

Tácgiáxinđưocgúilòicámơnchânthànhtóigiađình,ngưòithân,banbèđãluôngiúpđõ,đ®ngviênvàtaođieuki¾nthu¾nloiđetácgiáhoànthànhkhóahocThac

s ĩ vàhoànthànhlu¾nvănnày

HàN®i,ngày12tháng10năm2013

Tácgiá

PhanTh%ÁnhVân

Lu¾nvănđưochoànthànhtaitrưòngĐaihocSưphamHàN®i2 dưóis n hưóngdancnaP G S T S NguyenNăngTâm

Tôixincamđoanlu¾nvănnàylàcôngtrìnhnghiêncúucnariêngtôi.Trongquátrìnhnghiênc ú u vàhoànthànhlu¾nvăn,tôiđãkethùanhungthànhquákhoahoccnacácnhàkhoahocvàđongnghi¾pvóisntrântrongvàbietơ n Tôixinc a m đ

oanrangc á c thôngtintríchdantronglu¾nvănđãđưocchírõnguongoc

HàN®i,ngày12tháng10năm2013

Tácgiá

PhanTh%ÁnhVân

3.1 Cácbođe 40

3.2 Đieuki¾nG 47

3.3 Tínhkhávitheohưóngcnahàmgiátr%toiưu 50

3 Mnclnc 1 KIENTHÚCCHUANB± 7 1.1 KhônggianE u c l i d eRn 7

1.2 Hàmnhieubien 10

1.3 T¾ploi,hàmloi,ánhxađatr% 12

1.4 Bàitoánquyhoachtoànphương 14

1.4.1 Bàitoántoiưu 14

1.4.2 Quyhoachtoànphương 19

1.4.3 Bàitoánquyhoachtoànphươngcó thamso 24

2 TÍNHLIÊNTUCCÚAHÀMGIÁTR± TOI ƯU 25 2.1 Cácbođe 25

2.2 Tínhliêntuccnahàmgiátr%toiưu 28

2.3 Tínhnúaliêntuccnahàmgiátr%toiưu 35

3

TÍNHKHÁVIT H E O HƯéNGCÚAHÀMG I Á T R ± TOIƯ U

40

1 Lýdochonđetài

M®ttrongnhungkhíacanhthưòngđưocquantâmtrongnghiêncúunhungbàitoántoiưulànhungtínhchatcnahàmgiátr

%toiưu.GauvinvàDubeau[8],BonnansandA.Shapiro[4]đãnghiêncúuvetínhkhávic n a hàmgiátr

%toiưutrongquyhoachtoánhoc.Jasnin[9],MinchenkovàSakolchik[14]đãnghiêncúuđaohàmtheohưóngcnahàmgiátr

%toiưutrongquyhoachphituyen.Tam[17],[18]vàLee,TamandYen[11],

[12]đãnghiêncúuhàmgiátr%toiưutrongquyhoachtoànphương

SaukhiđưochocnhungkienthúcveToángiáitích,vóimongmuontìmhieusâuhơnvenhungkienthúcđãhoc,moiquanh¾vàúngdungc n a chúng,tôiđãchonđetàinghiênc ú u :

6 DNkienđónggópmáicúađetài

Tongquanvenhungtínhchatcnahàmgiátr

%toiưutrongquyhoachtoànphươngc ó thams o

HocviênP h a n Th%ÁnhVân Lu¾nvănt h a c sĩToánhoc

Đ%nhnghĩa1.1.7.ChoAlàt¾pconbatkỳtrong R n Kýhi¾u Si (A)} i∈I

là hotatcácáct¾p mótrongA,{F j (A)} j∈J là hotatcácáct¾p đóngchúaA.TacóU =Si∈I U i (A)làt¾pmó,F=Tj∈J F j (A)làm®tt¾p

đóng.

T¾pUgoilàphantrongcúaA,kýhi¾ulàintA.T¾pFgoilàbaođóngcúaA,kýhi

¾ulàA.Nhưv¾yintAlàt¾pmólónnhatchúaA,cònAlàt¾pđóngnhónhatchúa A.

k→∞ "x k − x0"

=0Snh®itutrongRnlàsnh®itutheotoađ®

Đ%nhlí1.1.2.T¾pA ⊂R n là đóngkhivàchskhi vóimoidãy{x k }⊂A

màx k h®i tnđenx0thì x0∈ A.

Đ%nhnghĩa1.1.9.T¾pA trong R n đưo cgoilàb%ch¾nneutontai

m>0saocho"x"≤mvóimoix∈A.

g(x)=f(x)+α,∀x∈R n Nhưv¾y,hàmafinluôncódangg(x)=(c,x)+α.Chof:X⊂R n →

R

Đ%nhnghĩa1.2.4.Hàmfđưocgoilàhàmb%ch¾ndưói(hayb

%ch¾ntrên)trênXneutontaiαsaochof (x)≥α(hayf(x)≤α)vóimoix∈ X.

Hàmfgoilàb%ch¾ntrênXneunóvùab%ch¾ndưói,vùab

%ch¾ntrêntrênX.Nhưv¾y,fb%ch¾ntrênXneutontaiα>0saocho|f(x)|

≤αvóimoix∈X.

(ii) NeufnúaliêntnctrêntrênXthifđatcncđaitrênX,túclàtontaix ∗ ∈ Xsao chof(x ∗ )≥f(x)vóimoix∈X.

t∈[0,1]tacó:

f(tx+(1−t)y)≤tf(x)+(1−t)f(y).

Hàmfcònđưocgoilàm®thàmlõmtrênXneuvóimoix,y∈Xvàvóimoit∈[0, 1]tacó:

TanóiFlàánhxađatr%tùXvàoY.

Nhưv¾y,vóimoix∈X,F(x)làm®tt¾pconcnaY.Khôngngoaitrùkhánăngl àvóim®tsophantúx ∈XnàođótacóF(x)làt¾prong.

Neuvóimoix ∈Xt¾pF (x)chígomđúngm®tphantúcn aY ,thìta

Quytacchotươngúngmoivectơa=(a1, ,a n )∈R n vói t¾pnghi¾m,

saocho:

NeuFlànúaliêntnctrêntaimoiđiemthu®cdomF ,thìFđưocgoilànúaliêntnctr ênótrongX.

%nhnghĩa1.3.8.F đưocgoilànúaliêntnctaix ∈ domF neuF đongthòilànúali êntnctrênvànúaliêntncdưóitaix.NeuFlàliêntnctaimoiđiemthu®cdomFthì FđưocgoilànúaliêntncótrênX.

1.4.1 Bàitoántoiưu

(P):min{f(x):x∈C}.

C=R n thì tanóirang(P)làm®tbàitoánkhôngcóràngbu®c.

CáctrưònghopcònlaiPlàbàitoáncóràngbu®c.

Đ%nhnghĩa1.4.2.M®tvéctơchapnh¾nđưocx ∈Cđưocgoilàm®t

nghi¾m,ho¾cnghi¾mtoiưutoàncnc,ho¾cphươngántoiưutoàncnc,ho¾c cnctieutoàncnccúa(P)neuf (x)ƒ=+∞vàf(x)≥f(x)vóimoix∈C.

Tanóihaibàitoántoiưu(bàitoánquyhoachtoánhoc)làtươngđươngneut¾p nghi¾mcúahaibàitoánlàtrùngnhau.

Đ%nhnghĩa1.4.3.Giátr%toiưuv (P)cúa(P)đưocđ%nhnghĩabóit¾p

v(P)=inf{f(x):x∈C} (1.2) NeuC =∅thìtaquyưócv(P)=+∞.

%aphươngcúa(P1)neuf(x)ƒ=−∞vàtontaim®tlânc¾nUcúaxsao

cho:

f(x)≤f(x)vói∀x∈C∩U Rõràngxlàm®tnghi¾mtoiưutoàncnc(tươngúng,m®tnghi¾mtoiưuđ

%aphương)cúa(P1)neuvàchsneuxlàm®tnghi¾mtoiưutoàncnc(tươngún g,m®tnghi¾mtoiưuđ%aphương)cúabàitoángiátr%nhónhatsau:

min−f(x)vóix∈C Dov¾y,batkỳbàitoángiátr

Trong(1.4),neuQ làmatr¾nkhôngthìf làm®thàmafin.Dođó,lópc á c quyh

oachtuyentínhlàm®tlópc o n c n a lópc á c quyhoachtoànphương.T h ô n g thưòng,c á c quyhoachtoànphươnglàbàitoánquyhoachtoánhockhôngloi

Rõràngneutabóhangs o α trongphépbieudien(1.4)c n a f thìtakhôngthetha

yđoiđưoct¾pnghi¾mc n a bàitoánm i n {f(x):x∈C},vóiC⊂Rnlàm®tt¾pđ

adi¾nloi.Dođó,thayvì(1.4)tathưòngdùngdangrútgon:f (x)= 1 ( x,Qx)+ (c,x)cnahàmmuctiêu.

Thaythu¾tnguđưocdùngchoquyhoachtuyentính,tagoicácdangs a u cnaquyhoachtoànphương:

Đ%nhnghĩa1.4.6.M®tmatr¾nQ ∈R n×n đưoc goilàxácđ

%nhdương(tươngúngxácđ

%nhâm)neu(v,Qv)>0(tươngúng(v,Qv)<0)vóimoiv∈R n \{0}.

Neu(v,Qv)≥0(tươngúng(v,Qv)≤0)vóimoiv∈R n thì Qđưoc

goilànúaxácđ%nhdương(tươngúngnúaxácđ%nhâm).

loi.

(z,Qz)≤(y,Qy)−2(z,Q(y−z)), (z,Qz)≤(x,Qx)−2(z,Q(x−z)).

2 1

1.4.3 Bàitoánquyhoachtoànphươngcóthamso

Bàitoánquyhoachtoànphươngtongquátvóih¾s o tuyentính,kýhi¾uQP(Q,A,c,b),làbàitoán:

.M inf(x,c,Q):= 1( x,Qx)+(c,x) (1.6) x∈C(A,b):= {x∈R n : Ax≥b}.

x0∈R n saochoAx0> b.

Lu¾nvănt h a c sĩToánhoc HocviênP h a n Th%ÁnhVân

S S

(2.2).Dođó,C(.)lànúaliêntucdưóitai( A,b).

-Ngưoclai,neuC(.)lànúaliêntucdưóitai(A,b)thì∃C> 0saocho

Ax≥b r giáiđưocvói∀br ∈ R m thóa mãnb r >0và"b r − b"<C.

Đieunàys u y raA x >bgiáiđ ư o c Dođ

ó,Ax ≥blàm®th¾chínhquy.

Chúý 2.1.1.Neuh¾batphươngtrìnhAx ≥blàkhôngchínhquythìtontaim®td ãy{A k ,b k }trongR m×n ×R m h®i tntói(A,b),saochovóimoik,h¾A k

x≥b k vô ng hi¾m.

2

≥

Chúngminh.ChoC(A,b)làm®tt¾pcompactkhácrongvàSol(Q,A,0,0)= {0}.

Giás ú Sol(Q,A,c,b)= φ vóim®tvàic ∈R n.T h e o

đ%nhlýFrank-Wolfe,tontaim®tdãy{xk }saocho:Ax k ≥ bvói∀kvà:

%ch¾nvóim®tvàic∈R n Khiđó,tontaim®tdãy{x k }⊂Sol(Q,A,c,b)s a o cho"

x k "→∞khik→∞và{"x k " −1 x k }h®itutóim®tx ∈R n đãbiet

Giáthiet(a)kéotheosntontaisok0nguyêndươngsaochoC(A k ,b k )ƒ=

φvói∀k≥k0

Tùgiáthiet(b)suyrat¾pGđ%nhnghĩabói(2.3):

G:={(Q,A)∈R n×n × R m×n : Sol(Q,A,0,0)={0}} làt¾pmó

Dođó,tontaim®tsonguyêndươngk1≥k0s a o choSol(Q k ,A k ,0,0)= {0}vói∀k≥k1

Theobođe2.1.3,Sol(Q k ,A k ,c k ,b k )ƒ=φvói∀k≥k1.Dođó,vó

1.Dođó,

ϕ(Q k ,A k ,c k ,b k )≤ 1 (y k ,Q k y k )+(c k ,y k ) (2.13)

f(x˜,c,Q)≥ϕ(Q,A,c,b).

0

Vídn2.2.4.Xétn =m=1

Q=[0],A=[1],c=1,b=1.

TacóSol(Q,A,0,0)={x∈R,x≥0}

Theođ%nhlý2.1.1,tacóϕkhôngliêntnctai(Q,A,c,b)

Chúý 2.2.1.NeuC (A,b)ƒ=φthiC(A,0)lànóncúaC(A,b).

Theođ

%nhnghĩa,Sol(Q,A,0,0)làt¾pnghi¾mbàitoánQP(Q,A,0,0).D o đó,thúlaigiá thietSol(Q,A,0,0)={0}tươngđươngvóivi¾cgiái

2

Theo(2.22),

lim

lim

A k x k ≥

b k

Bâygiòtachúngminh{xk }làdãyb%ch¾n.

Bangphánchúng,giásúngưoc lai,{xk }khôngb%ch¾n.

Khônggiámtongquát,tac ó thegiás ú rang" xk"ƒ =0vói∀ kvà

nhnúaliêntuctrênvànúaliêntucdưóicnaϕtaim®tđiemchotrưóc.Nhungđie

uki¾nnàyseđưocđec¾ptrongphannày

M®tđieuki¾nđnchotínhnúaliêntuctrêncnahàmϕ (.)taim®tgiátr

%thamsochotrưócđưocđưaratrongđ%nhlýsau:

tìmđưocm®tdãy{yik } trongR n s a o choA k y ik ≥ b k vàlim k

Vìy i k ∈ C(A k ,b k ),ϕ(Q k ,A k ,c k ,b k )≤f(y i ,c k ,Q k).

Đieunàysuyra:

y i k = x i.

lim

k→∞ supϕ(Q k ,A k ,c k ,b k )≥f(x0,c,Q) Laygióihantrongbatđangthúccuoikhii→∞tacó:

Vídutieptheođưocxâydnngđechírađieuki¾nchínhquycnađ

%nhlý2.3.1làđnnhưngkhôngpháiđieuki¾ncanchotínhnúaliêntuctrêncn aϕ t ai(Q,A,c , b).

Vídn2.3.2.Chomatr¾nA ∈R m×n và véctơb ∈R m thóa mãn

C(A,b)ƒ=φ,(Túclàh¾Ax≥bkhôngchínhquy).

Cođ%nhm®tmatr¾nQ∈R n×n tùyývàm®tvéctơc∈R n tùy ý.

Doϕ (Q,A,c,b)= + ∞vóimoidãy{(Q k ,A k ,c k ,b k )}h®itntói(Q,

A,c,b),tacó:

lim

k→∞ supϕ(Q k ,A k ,c k ,b k )≥ϕ(Q,A,c,b) Dođó,ϕlàm®thàmnúaliêntnctrêntai(Q,A,c,b).

Khiđó,tontaim®tchísok1vàm®tsothncγsaochoγ<ϕ(Q,A,c,b)

ϕ(Q k ,A k ,c k ,b k )≥γvói∀k≥k1 Doϕ(Q k ,A k ,c k ,b k )<+∞,tapháicóC(A k ,b k )ƒ=φvói∀k≥k1

DoSol(Q,A,0,0)={0},tontaim®tsonguyênk2≥k1s ao cho:

Sol(Q k ,A k ,0,0)={0}vói∀k≥k2

VìC(A k ,b k )ƒ=φ,dobođe2.1.3tacó:

Sol(Q k ,A k ,c k ,b k )ƒ=φvói∀k≥k2

Dãy{xk }pháib%ch¾n.Th¾tv¾y,neu{x k }khôngb

%ch¾nthìkhônggiámtongquát,tagiás ú rang" xk " ƒ =0 vói∀ kvà" x k " → ∞k hik→∞.Khiđó,dãy{"x k " −1 x k }cóm®tdãyconh®itu.Tagiásúdãynàyh®itutó im®tvéctơv∈R n vói"v"=1

Xétdãy{(Q,A,c,b k )}vóib k =(1)

Tacó:

ϕ(Q,A,c,b)=0

vàϕ(Q,A,c,b k )=+∞vói∀kvìC(A,b k )=φvói∀k.

Dođó,

lim

k→∞ supϕ(Q,A,c,b k )=+∞>0=ϕ(Q,A,c,b) Dov¾y,ϕkhôngnúaliêntnctrêntai(Q,A,c,b).

%toiưunúaliêntuctrên,núaliêntucdưói.Tínhkhávicn ahàmgiátr

%toiưuseđưocđec¾ptrongchươngtieptheo

Phanchúngminhđ

%nhlý3.1.1và3.1.2(phanketquáchínhcnachương)dnavàom®tsobođeđưocthietl¾pdưóiđây

Choω = (Q,A,c,b)vàω0=(Q0,A0,c0,b0)làhaiphantúc na ω.Ký

hi¾u:

ω+tω0= (Q+tQ0,A+tA0,c+tc0,b+tb0)

ϕ+(ω,ω0)=limsupϕ(ω+tω 0)−ϕ(ω)

HocviênP h a n Th%ÁnhVân Lu¾nvănt h a c sĩToánhoc

F(x,ω,ω0)=RnTheođ%nhnghĩa,trongtrưònghopnàytacũngcó:

R(x,ω.ω0)=Rn

Dođó,

F(x,ω,ω0)=Rn = R(x,ω.ω0).

XéttrưònghopIƒ=φ.Đautiêntachírarang:

intR(x,ω,ω0)ƒ=φ DoAx≥blàh¾chínhquy,nêntontaix0∈R n s ao chovóiAx0>

btacó:

A I x0> b I KhiA I x=b I vàA I x0> b I ,tacó:

Doloiíchc n a tínhđayđn,tađưarachúngminhchotrưònghopbàitoánquyhoachtoànphương.

Dođó,vói∀ t>0,h¾A x ≥btvônghi¾m(Cottlee t al(1992),đ%nhlý27.8).

DoC(A,b)ƒ=φ và" b t − b"=t →0khit →0nênh¾A x ≥bkhông

Côngthúc(3.9)đưocchúngminh

Bođe3.1.4.Giásúω k =

(Q k ,A k ,c k ,b k ),k∈ Nlàm®tdãytrongΩ h®itntóiω =( Q,A,c,b);{x k }làm®tdãytrongR n sao chox k = Sol(Q k ,A k ,c k ,b k )vói∀k. Neuh¾Ax≥blàm®th¾chínhquyvàSol(Q,A,0,0)={0}thìtontaim®tdãyc on{x ki }cúa{x k }saocho{x ki }h®itntóix∈Sol(Q,A,c,b)khii →∞.

dãy{xk }b%ch¾nvànócóm®tdãycon{x ki }h®itutóix

)+(c ki ,x ki )≤ 1

k i

2(y

,Q ki y k i

)+(c ki ,y ki ) (3.15)

Tù3.10tacó:

A ki x ki ≥

b ki (3.16) Laygióihantrong(3.15)và(3.16)khii→∞tacó:

Vóimoidãy{tk },t k ↓0,moidãy{x k }:x k → x∈ Sol(Q,A,c,b).Trongđó,x k

∈ Sol(ω+t k ω0)vóimoik,batđangthúcs a u đưocthóa

và(H3)khôngthóamãnnhưngđieuki¾n(G)laithóamãn.M ® t sn s o sánhc u thec n a c á c ketquác n a tavóic á c ketquátrongAuslendervàCominetti (1990)vàMinchenkovàSakolchik(1996)seđưocđưaratrongphan3.3

Chiac á haivec n a batđangthúctrong(3.20)cho" xk− x

2

k→∞,tacó:

vàcho

(Qx+c,x k − x)+1(x k − x,Q(x k − x))+t k(1(x k ,Q0x k )+(c0,x k ))

22

22

=(Qxˆ−(A,λ)+c,x k − xˆ)+1(x k − xˆ,Q(x k − xˆ))

+

+t k[1(x k ,Q0x k )+(c0,x k )+(b0− A0x k ,λ]) Tùλ ∈Λ(x,ω),Qxˆ−(A,λ)+c=0tacó:

xˆ,Qxˆ+c,xˆ+ b Axˆ,λ]2

≥

inf

max

1

[( x,Q0x)+(c0,x)+(b0− A0x,λ)]

x∈Sol(Q,A,c,b)λ∈Λ(x,ω)2Kethopđieunàyvói(3.30),tacó :

ϕ − (ω,ω0)=ϕ+(ω,ω0).

r

(ω,ω0)=inf

[( x,Q0x)+(c0,x)+(b0− A0x,λ)].

x∈Sol(w)λ∈Λ(x,ω)2Đ%nhlýđưocchúngminh

Xétbàitoán(2.1)vàgiásúx∈Sol(Q,A,c,b)làm®tnghi¾mcnanó.

Chou = ω0=(Q0,A0,c0,b0)∈ Ω làm®thưóngchot r ư ó c Ápdung vóinghi¾mxcnabàitoán(2.1),đieuki¾n(SOSC) utrongAuslendervàCominetti(1990)đưocvietdưóidangs a u :

(SOSC) u {vóimoivéctơv∈F x \{0},neu(Qx+c,v)=0thì(v ,Qv)>0.} Trongđó,F xlà nóncnahưóngchot rưóccn aC(A,b)taix.Đólà:

Chúngminh.Tùgiáthiet (i)và(ii)suyrabánđoSol(.)lànúaliêntuc

trêntai(Q,A,c , b).Ngoàira,theobođ e 2.1.3Sol(Q,A,c , b ) làt¾pcompactkhá

crong.K h i đó,tontaim®tt¾pc o m p a c t B ⊂ R nvà m®thangsos>0saochoφ ƒ=Sol(ω+tω0)⊂Bvói∀t∈[0;s].

Dưóiđieuki¾nc n a m¾nhđenày,moigiáthietc n a đ

%nhlý1,trongAuslendervàC o u t a t (1990)đeuthóamãn

Dov¾yketlu¾nđưocsuyratheođ%nhlý1trongAuslendervàCoutat(1990).Chúýrangm¾nhđe3.3.1làm®th¾quácnađ

%nhlý3.2.1và3.3.1.M®tđieuđángchúý làketquáđưocphátbieutrongm¾nhđe3.3.1khôngtheápdungchobàitoánmôtátrongvídu3.3.1( vìđieuki¾n

(SOSC) u vóiu:=ω0khôngđưocthóamãntaimoix∈Sol(ω)).

Ketquánàycũngkhôngđưocápdungtrongbàitoánquyhoachtoàn

phươngloikhit¾pnghi¾mcnanócónhieuhơnm®tphantú.Súdungchúý3.2.1tacótheketlu¾nđ

(ii) Tontaim®tt¾pcompactB⊂ R n và m®tlânc¾nUcúa(A,b)∈

Rm×n × R m sao choC(Ar,b r )⊂Bvói∀(Ar,b r )∈U.

k→∞

k

sup

1 1

Tavùachírarangđ

%nhlý3.3.1cótheápdungchocám®tsobàitoánquyhoachtoànphươngmàketquásntontaitrêntínhonđ

Neuh¾Ax≥bchính quythìđieuki¾n(H3)kéotheođieuki¾n(G).

Chúngminh.G i á s ú (H3)thóamãn.C h o {t k },t k ↓0và{x k }vóix k ∈

Sol(ω+t k ω0)vóimoiklàm®tdãytùyý

Lu¾nvănđãtrìnhbàytínhliêntuc,tínhkhávivàkhávitheohưóngcnahàmgiátr%toiưu.Songsonglàvi¾cđưaracácvíduminhhoachotùngtrưònghop

[5]P.H.Dien(1985)," O n theregularityc o n d i t i o n f o r theextremalprobl

[8]J.G a u v i n andF.D u b e a u (1982),Differentialpropertiesofthemargi nalfunctioninmathematicalprogramming,MathematicalProgram-

mingStudy19,101-119

[9]R.Jasnin(1984),Directionalderivativeofthemarginalfunctioninnonli nearprogramming,MathematicalProgrammingStudy21,110-126 [10]G.M.Lee,N.N.Tam,andN.D.Yen(2005),Quadraticprogram- mingandaffinevariationalinequalities:Aqualitativestudy,Springer-

Verlag,NewYork

[11]G M Lee,N N.Tam,N.D.Yen(2005),Ontheoptimalvalue

rams,linearandnonlinearcomplementarityproblems",Mathemat-icalProgramming,19,200-212.

[14]L.I.MinchenkoandP.P.Sakolchik(1996),H¨olderbehaviorofoptim alsolutionsanddirectionaldifferentiabilityofmarginalfunctionsinnonline arprogramming,J.OptimizationTheoryAppl.90,555–580.

394

[18]N.N.Tam(2002),Continuityoftheoptimalvaluefunctioninindefiniteq uadraticprogramming,JournalofGlobalOptimization23,43-61.