BàI tập tổ hợp
Tác giả:hoàng quý Phần I BàI tập giai thừa
bàI 1 Rút gọn a,M=x(x5!+1)*(( −11)!)!
+
x
x
c,A=∑
n
k 1k(k 1)
1
b, B=∑
=
−
n
k
2 !
1 d; C=
) 1 (
! 5 +
m
m ( 1 )! 3 !
)! 1 (
∗
−
+
∗
m m
bàI 2 giảI phơng trình a, (( −11)!)!
+
x
x
=72 b, !( (+1)!1)!
−
−
x
x x
=1/6 d,
!
)!
2 (
x
x+
+(( −11)!)!
+
x
x
=32 c,(x+2)!-(x+1)!=x!
bàI 3 CMR: a, n! > 2n− 1(n≥3) b, (n!)2 > nn ( n > 2 ) n - tự nhiên
phần 2 sử dụng công thức tổ hợp
bàI 1 giảI phơng trình ; bất phơng trình 1; A2 x=2 2; 3Px=A3 x 3; C4x
1
-
5
1
x
C = C6x
1
4; 2A x2 +50=A22x 5;
k n
n
P
P
−
+ 5 = 240 An+3k+3 6;
)!
1 (
15 )!
2 (
4 4
−
≤
n
A n
7;C x1 +C x2 +C x3=7x/2 8; P n+ 3=720 5 5
−
∗ n
A 9;
1
1 1
−
+
∗
x
y x
P
P
A x y
=72
10; C x x−1+C x x−2+………… +C x x−9+ Cx x−10 =1023 11;
2
1 2 +
+
n
n P
A
-
1 4
143
−
∗P n < 0
12;
3
4 1
3 1
14
1
P A
C
n
n
+
−
−
13; C x+1y:C x y+1:C x y−1 = 6 : 5 : 2 14; 0
4
1
3 1
4
C
15;( −1 + −1 −1 ): −1: y−1
x
y x
y x
y
A = 10 : 2 : 1 16; 2 x−1=48
x
x C
A 17;
23
24
4 3
1
4
=
− −
+ x x
x
x
C
A
A
18; * 210
3 4
ã 1
−
−
+
P A
P
x x
x
19 +8x+3 =5 x+63
C
Đáp số 1 ; (x=2 ) 2; (x=1;2 ) 3; (x=2) 4; (x=5 ) 5; (n=11 k=0……….11) 6; (n=2 3 4 5 6) … …
7;(x=4) 8;(n=7) 9;(x=8;y=0………7) 10; (x=10)11;(n=2……… 36) 12;(n>5) 13;(x=8;y=3)14;(n=5 10)… 15;(x=7;y=3) 16;(x=4) 17;(x=5) 18;(x=5) 19 ;(x=17)
20 Tìm k để 3 số sau là cấp số cộng : a; C7k;C7k+1;C7k+2 b; C14k;C14k+1;C14k+2 (k=4; k=8)
bàI 2 chứng minh rằng :
1 ; mC n m=nC n−1m−1 2; = −1 −1+ −2 −2 + + −1+ −1 −1
m m
m m
m n m m
3; C n k + 4C n k−1+6C n k−2 + 4C n k−3 +C n k−4=C n+4k ( 4 < k < n )
4; C n k +3C n k−1+3C n k−2 +C n k−3=C n+3k (3 < k < n )
5; k(k-1) = ( −1) −2k−2
n
k
C
6; 2 + 5 +1+ 4 +2 + +3= +2 +2+ +3k+3
n
k n
k n
k n
k n
k
n
k
k
k n C
bàI 4 toán suy luận
1- Có bao sốtự nhiên gồm 3 ch số # nhau và #0 biết tổng =8
Trang 22- Có bao cách săp sếp chỗ ngồi cho 5 khách vào 5 ghế thành 1 dãy
3- Có bao đờng chéo của thập giac lồi
4- Có bao cách chia 5 đồ vật cho # nhau cho 3ngời sao cho
a, một ngời nhận 1 đồ vật 2 ngời kia mỗi ngời nhận 2 đồ vật
b, mỗi ngời nhận ít nhất 1 đồ vật
5 - Một đoàn có 50 ngời có bao cách phân 3 ngời làm 3 công việc
6- Trong cuộc đua ngựa có 12 con cùng xuất phát Hỏi có bao cách xếp
a, ba con về 1-2-3
b, chọn ba con về đầu tiên
7- CMR C n+k2 +C n+k+ 12 là 1 số chính phơng
8- Cho tam giác ABC trên AB lấy n- điểm trên BC lấy m- điểm trên AC lấy k- điểm
Hỏi có bao tam giác có đỉnh là điểm đó
9- Một đa giác lồi n-cạnh Hỏi có bao đờng chéo (n>3)
10- Tìm số giao điểm của
a, 10 đờng thẳng phân biệt
b, 10 đờng tròn phân biệt
c- 10 đờng thẳng và 10 đờng tròn
11- Bệnh viện có 40 bác sỹ Hỏi có bao cách chọn ra
a- một trởng và 1 phó
b- một trởng và 4 phó 2 th ký
12- Xí nghiệp có 11 ngời gồm 7-nam và 4-nữ Hỏi có bao cách chọn 3 lãnh đạo phảI có ít nhất 1-nữ
13 – Có bao số tự nhiên nhỏ hơn 10 p mà tổng các chữ số =3
14- Cho các số 1;2;3;4;5có thể lập bao số thoả mãn :
a, số chẵn có 3 chữ số # nhau
b, số có 3 chữ số # nhau và không lớn hơn 345
c, số chẵn có 3 chữ số # nhau và không lớn hơn 345
15 – Trên giá sách có 30 quyển có 27 quyển khác tác giả và 3 quyển cùng tác giả
Hỏi có bao cách sắp sách cùng tác giả cạnh nhau
16 – Có 12 ngời gồm 10 nam và 2 nữ
a, có bao cách chọn ra 8 ngời
b, có bao cách chọn ra 8 ngời có ít nhất 1 nữ
c, có bao cách chọn ra 8 ngời là nam
17- Có năm số 1;2;3;4;5 có thể lập bao số gồm n- chữ số # nhau (2≤ n ≤ 5)
18- Từ các số 0;1;2;3;’4;5;6lập đợc
a- bao số có 5 chữ số # nhau
b- bao số chẵn có 5 chữ số # nhau
19- Có bao số có 3 chữ số # nhau đợc lập từ 0;2;4;6;8
20- Có 20 nam và 6 nữ chọn ra 3 nam và 3 nữ ghép thành cặp để khiêu vũ
21 – Có 10 nam và 6 nữ có bao cách chọn nhiều nhất 5 nữ ? Đ/s: 12825
22- Một lớp có 25nam và 15 nữ có bao cách chọn 4 học sinh
a, nam ; nữ tuỳ ý
b, phảI có 2 nam và 2 nữ
Trang 3c, có ít nhất 1 nữ Đ/s:91390; 31500; 78740 23- Cho các số 1………….7 Tìm số có 5 chữ số lấy từ 7 số trên
a- chữ số đầu là 3
b- không tận cùng bằng chữ số 4
c- các số đều # nhau Đ/s: 2401; 14406 ; 2520
24 – Cho đa giác n-cạnh Tìm số đờng chéo
25- Có 40 học sinh có bao cách chọn ra 1 lớp trởng ;1 bí th ;và 3 uỷ viên
26 – Từ các số 0;1;2;3;4;5 có bao số chãn gồm 5 chữ số # nhau
27- Từ các số 0;1;2;3;4;5 ;6 có bao số gồm 5 chữ số # nhau phải có mặt số 5?
28- Từ các số 0;1;2;3;4;5 lập bao số gồm 8 chữ số trong đó số 1 có mặt 3 lần các số # có mặt 1 lần ?
29- Từ các số 1;2;3;4;5 có bao số gồm 5 chữ số # nhau trong đó 2 chữ số 1 và 2 không đứng cạnh nhau ?
30- Có 7 học sinh có bao cách sắp biết rằng 3 học sinh chỉ định thì đứng cạnh nhau?
31- Cho các số 1;2;5;7;8 có bao cách lập ra số gồm 3 chữ số sao cho
a, số tạo thành là số chẵn
b, số tạo thành là số không chứa số 7
c, số tạo thành nhỏ hơn 278 Đ/s : 24 ; 24; 18 32- Từ các số 1…………9 Ta lập đợc số có 9 chữ số # nhau
a, có bao số lập thành ?
b, có bao số chia hết cho 5
c, có bao số chẵn ? Đ/s : 9! ; 8! ; 4*8! 33- Một hộp 4 bi đỏ 5 bi trắng 6 bi vàng Lấy ra 4 viên từ hộp đó
Hỏi có bao cách chọn để trong số bi lấy ra không có đủ 3 mầu
34- Có12 quyển sách trong đó có 2 toán ; 4 văn và 6 anh
Hỏi có bao cách xếp tất cả lên giá sách sao cho sách cùng loại đặt gần nhau Đ/s ;3!*2!*4!*6!
35- Cho tập X = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 }
a, có bao tập con của X chứa 2- phần tử
b, có bao tập con của X chứa 1 và không chứa 2
c, có bao số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số đôi một # nhau lấy từ X không bắt đầu bằng123 36- Có bao cách xếp 5 nam ;5 nữ vào 10 ghế sắp theo hàng ngang sao cho
a, nam ,nữ xen kẽ nhau
b, nam ngồi liền ; nữ ngồi liền
37- Bốn ngời đàn ông ; 2 ngời đàn bà ; 1 đứa trẻ xếp vào 7 chỗ quanh bàn tròn Hỏi có bao cách xếp
a, đứa trẻ ngồi giữa 2 ngời đàn bà
b, đứa trẻ ngồi giữa 2 ngời đàn ông
38- Trên giá sách có 10 sách VN ; 8 ANH ; 6 PHáP Hỏi có bao cách chọn
a, một sách bất kỳ
b, ba sách tiếng # nhau
c, hai sách tiếng # nhau
39- Cho các số 1;2;3;4;5 có bao số gồm 5 chữ số # nhau trong đó số 1 và số 2 không đứng cạnh nhau?
40- Một bàn dàI có 2 dãy ghế ngời ta xếp 4 học sinh nam và 4 nữ vào bàn trên Hỏi có bao cách xếp
a, bất cứ 2 học sinh ngồi cạnh nhau or đối diện thì # giới
b, bất cứ 2 học sinh ngồi cạnh nhau thì # giới Đ/s : 1152 ; 9216
bàI 5 nhị thức new tơn 1-Tìm hệ số chứa x8 trong khai triển :
(x+ 1 ) 12 + (x+ 1 ) 13 + (x+ 1 ) 14 + (x+ 1 ) 15 + (x+ 1 ) 16 + (x+ 1 ) 17
Trang 42- Tìm hệ số chứa x4 trong khai triển : (3x −3x)12
3- Tìm hệ số không chứa xtrong nhị thức; u(n) = 18
3
3 1 ) (
x
x + và u(n) =( 1) 12
x
x+
4-Cho hệ số của số hạng thứ 3 trong khai triển bằng 36 Tìm số hạng thứ 7 của : n
x
x x
( 2 +3 (n- tự nhiên) 5- Tìm 2 số hạng chính giữa của : v(n) = ( x3-xy)15
6-Tìm số hạng đứng giữa của : u(n)= (x3 +xy) 31 v(n)=(x3 +xy) 30
7-Tìm hệ số chứa xn trong khai triển: ( 1 +x+ 2x2 + 3x3 + +nx n) 2
8- Xác định hệ số thứ 1; 2; 3 của khai triển ( n
x
x 1 ) ( 3+ 2 Cho tổng 3 hệ số bằng 11 tìm hệ số của x2 9- Cho hệ số thứ 3 trong khai triển : x )n
3
1 ( − bằng 5 Tìm số hạng đứng giữa
10-Tìm số n-bé nhất sao cho trong khai triển ( 1 +x) n có 2 hệ số liên tiếp có tỷ số là 7/15 Đ/s n=21
11- Tìm n trong khai triển (x+ 2 )n số hạng thứ 11 là số hạng có hệ số lớn nhất Đ/s n=15
12- Tìm n trong khai triển 4 6
) 3 ( 2 1
) 2 2
n n
n
−
−
−
+ có số hạng thứ 5 là 240 Đ/s n=2
13- Cho tổng các hệ số trong nhị thức n
nx
2) 2
1 2
( + là 64 Tìm hệ số không chứa x Đ/s n=2 và 240
14- Cho ba hệ số của 3 số hạng đầu là 1 cấp số cộng Tìm tất cả các số hạng hữu tỷ của khai triển
n
x
2
2 ( + 4 Đ/s n=8;n=1 15- Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển (a+b)n biết tổng các hệ số là 4096 Đ/s n=12
16- Cho khai triển n
a a
( + 4 biết hiệu số giữa hệ số của số hạng thứ 3 và số hạng thứ 2 là 44 Tìm n=?
17- Tìm n=? trong )n
3
1 2 3 ( +3 biết tỷ số của số hạng thứ 7 kể từ đầu và số hạng thứ 7 kể từ cuồi là 1/6
18- Tìm x=? trong khai triển x n
2
1 2
(
1
−
+ biết tổngcác số hạng thứ 3 và thứ 5 là 135 và
tổng hệ số 3 số hạng cuối là 22 Đ/s : n=6; x=-1;x=2
19- Tìm tất cả giá trị của n=? trong khai triển (x+a)n có 3 số hạng liên tiếp lập thành cấp số cộng
20- a, Tìm 3 hệ số đầu trong khai triển :
x x )n
2
1
1 2
1 − + ( x > 0 )
b, Tìm n biết 3 hệ số trên là cấp số cộng theo thứ tự đó
bàI tập tính tổng