Dap an cau 5:
Dé: Cho x, y, z là các sô thực t/m: x” + xy +y“=l- zz (**)
Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của D = x + y +Z
Bài làm:
Cách 1:
Từ Œ) tạ có :2 Xà + 2xy + 2y 2-32
<=> x +2xy +y“+z”+2yz + 2zx = 2 - 27 - x” - yˆ +2yz + 2zx
<=> (x†+y+†Z)=2-(x-Z)-(y=Z} (**)
Tacó:2—(x—-z)-(y-z) <2 Dấu “ = “ Xay rakhix=y =z
Vay tir (* *) Ta cé : D? =2—(x- ‘Zp —(y —2) <2
=D] <3 hay V2 <D < V3 Vay:
Dimax = V2 "
Cách 2:
TừD=x+y+z=>x+y=lD_-z,
nên từ (*) => xy = (xty) + 3 -1 =(D-z) + s2 - 1
Vay x, y langhiém cua pt: X’*—(D-z)X + [(D-z) + sz -I1]E=0(1)
Pt luôn có nghiệm nên: = (D-z)’ - 4[(D-z)’ + sz -1]2=0
<=> - 3(D-z) -6z” +4 >0
<=> 9zˆ— 6Dz + 3D - 4 <0 ta xem là BPT ân z và vì luôn có nghiệm
(nêu 9z?— 6Dz + 3D? - 4 = 0 vô nghiệm, thì 9z?— 6Dz + 3D? - 4>0 Yz)
Nên pt: 9zˆ— 6Dz + 3D - 4= 0 luôn có nghiệm
<=> A, =9D?—9(3D?—4) 20 hay D? 22 => |D| < V2 hay -V2 <D < V2
D
|D|= 2 => A,=0 =>Nghiệm kép: Zi = 22 = (=7)
=> 97 -6Dz+3D?-4=0 => ÄAv=0=>x=y= AF
D -
Vay: Dyin = -/2 <= > X= yY-Z- > 3 ==
D