Bài toán Dân cư Giả sử rằng dân số của một thủ đô lớn tương đối cố định, tuy nhiên, mỗi năm 6% người rời khỏi thành phố về ngoại ô và 2% người rời khỏi ngoại ô về thành phố. Nếu ban đầu 30% dân số sống ở thành phố và 70% dân số sống ở ngoại ô, thì sau rất nhiều năm tỉ lệ dân số sống ở thành phố và tỉ lệ dân số sống ở ngoại ô có ổn định (tương đối) không?
Trang 1C hương 5 GIÁ TRỊ RIÊNG VÀ VECTƠ RIÊNG _
5.1 KHÁI NIỆM VECTƠ Ơ Ơ RIÊNG VÀ GIÁ TRỊ RIÊNG
Bài toán Dân cư Giả sử rằng dân số của một thủ đô lớn tương đối cố định, tuy nhiên, mỗi năm 6% người rời khỏi thành phố về ngoại ô và 2% người rời khỏi ngoại ô về thành phố Nếu ban đầu 30% dân số sống ở thành phố và 70% dân số sống ở ngoại ô, thì sau rất nhiều năm tỉ lệ dân số sống ở thành phố và tỉ lệ dân số sống ở ngoại ô có ổn định (tương đối) không?
Giải Nếu trong năm thứ n-1 có a % dân số sống ở thành phố và (1-a)% dân số sống ở ngoại ô, thì trong năm thứ n tỉ lệ dân số sống ở thành phố là 0.94a + 0.02(1-a), còn tỉ lệ dân số sống ở ngoại ô là 0.06a + 0.98(1-a) Ta thấy
− +
− +
) 1 ( 98 0 06 0
) 1 ( 02 0 94 0
a a
a a
98 0 06 0
02 0 94 0
− a
a
Đặt
98 0 06 0
02 0 94 0
và x klà vectơ có thành phần thứ nhất bằng tỉ lệ dân số sống ở thành phố và thành phần thứ hai bằng
tỉ lệ dân số sống ở ngoại ô trong năm thứ k Vì
x n-1 =
− a
a
− +
− +
) 1 ( 98 0 06 0
) 1 ( 02 0 94 0
a a
a a
,
nên đẳng thức trên được viết lại là x n = Ax n-1
Trong năm đầu tiên x1 = (0.30, 0.70), nên x2 = Ax1, x3 = Ax2 = A2x1, x4 = Ax3 = A3x1, , x n =
A n-1x1 Như vậy, muốn tìm x n chỉ cần tính A n-1x1 Việc này không dễ, bởi vì nói chung khó mà tính
trực tiếp A n-1
Ta chọn hai vectơ v1=(1, 3) và v2=(-1, 1) mà tích của A với chúng là những vectơ tỷ lệ tương
ứng
Av1 = v1, Av2 = 0.92v2
Dễ thấy rằng A n-1v1 = v1, A n v2 = (0.92)n -1v2 Biểu diễn x1 theo v1=(1, 3) và v2
x1 = 0.25v1 - 0.05v2
thì
x n = A n-1x1 = A n-1(0.25v1 - 0.05v2) = 0.25A n-1v1 - 0.05A n-1v2 = 0.25v1 - 0.05(0.92)n-1v2
Sau rất nhiều năm (n đủ lớn) thì 0.05(0.92) n-1 ≈ 0, nên x n ≈ 0.25v1= (0.25, 0.75), hay tỉ lệ dân
số sống ở thành phố và tỉ lệ dân số sống ở ngoại ô dần dần ổn định ☺
Bài toán này thuộc loại bài toán về sự cân bằng trạng thái, gặp khá nhiều trong tự nhiên
Việc giải quyết những bài toán loại này liên quan tới khái niệm vectơ riêng và giá trị riêng
Trang 2Định nghĩa Cho A là một ma trận n×n Một vô hướng λ được gọi là một giá trị riêng c ủa A nếu
t ồn tại một vectơ v khác vectơ-không sao cho Av = λv Vectơ v được gọi là một vectơ riêng c ủa A ứng với λ
Trong bài toán trên v1=(1, 3) là vectơ riêng ứng với giá trị riêng bằng 1, v2=(-1, 1) là vectơ riêng ứng với giá trị riêng bằng 0.92
Phương pháp tìm giá trị riêng và vectơ riêng
Định lý 5.1.1 Cho A là một ma trận n×n
(i) Vô hướng λ là giá trị riêng của A khi và chỉ khi λ là nghiệm của phương trình det(A-tI) =
0 (tức là det(A-λI) = 0)
(ii) v là một vectơ riêng của A ứng với giá trị riêng λ khi và chỉ khi v là nghiệm không tầm thường của hệ (A-λI)x = 0
Chứng minh Av = λv có thể viết ở dạng (A-λI)v = 0 Do đó, λ là giá trị riêng của A khi và chỉ khi tồn tại vectơ v khác vectơ- không sao cho (A-λI)v = 0, hay khi và chỉ khi hệ (A-λI)x = 0 có nghiệm không tầm thường Theo Định lý 4.4.1 hệ (A-λI)x = 0 có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi
r (A-λI) < n, hay det(A-λI) = 0 Như vậy, (i) đã được chứng minh xong Còn (ii) là hiển nhiên ☺
Nhận xét Nếu A = (a ij ) là ma trận n×n, thì
det(A - tI) =
t a a
a
a t
a a
a a
t a
nn n
n
n n
−
−
−
2 1
2 22
21
1 12
11
là đa thức bậc n với biến là t Đa thức này được gọi là đa thức đặc trưng và phương trình det(A-tI)
= 0 được gọi là phương trình đặc trưng của ma trận A Nói chung, trong R ta không biết phương
trình đặc trưng có nghiệm không, và nếu có thì cũng không biết tìm bằng cách nào Trong 5.3 ta sẽ xây dựng một tập số mới rộng hơn R để đảm bảo cho mọi phương trình đặc trưng của ma trận với phần tử thực đều có nghiệm trong tập số đó
Định lý 5.1.1 cho ta Phương pháp tìm giá trị riêng và vectơ riêng như sau:
Bước 1 Tính đa thức đặc trưng det(A-tI)
Bước 2 Giải phương trình đặc trưng det(A-tI) = 0 để tìm các giá trị riêng
Bước 3 Giả sử λ là một giá trị riêng Ta giải hệ tuyến tính thuần nhất với ma trận hệ số là A-λI
0 )
λ
n
n x a x
a x
0 )
λ
1
n
n x a x
a x
0 ) λ (
2 2 1
n nn n
Nếu v = (c1, c2, , c n ) là một nghiệm không tầm thường của hệ này thì v là một vectơ riêng ứng với
giá trị riêng λ
Trong phương pháp này, Bước 2 là khó nhất
Ví dụ 1 Tìm giá trị riêng thực và vectơ riêng thuộc R2
của ma trận
98 0 06 0
02 0 94 0
Trang 3
Giải
det(A - tI) =
t
t
−
− 98 0 06 0
02 0 94
0
= t2 - 1.92t + 0.92 det(A-tI) = 0 có hai nghiệm là λ1= 1 và λ2 = 0.92 Đây là hai giá trị riêng của A
Với λ1= 1, hệ (A-λ1I )x = 0 là
-0.06x1 + 0.02x2 = 0
0.06x1 - 0.02x2 = 0
Hệ này có nghiệm không tầm thường là x = t(1, 3) với t∈R\{0} Đây là các vectơ riêng ứng với λ1
Với λ1= 0.92, hệ (A-λ2I )x = 0 là
0.02x1 + 0.02x2 = 0
0.06x1 + 0.06x2 = 0
Hệ có nghiệm không tầm thường là x = t(-1, 1) với t∈R\{0} Đây là các vectơ riêng ứng với λ2.☺
Chú ý
1) Từ khẳng định (i) của Định lý 5.1.1 suy ra: A có một giá trị riêng bằng 0 khi và chỉ khi detA = 0 2) Ứng với một giá trị riêng có vô số vectơ riêng khác nhau do det(A-λI) = 0 kéo theo hệ (A-λI)x =
0 có r(A-λI) < số ẩn (xem Định lý 4.4.1)
3) Một vectơ riêng chỉ ứng với duy nhất một giá trị riêng Thật vậy, giả sử ma trận A có vectơ riêng
v đồng thời ứng với giá trị riêng λ1 và λ2 Từ Av = λ1v và Av = λ2v suy ra (λ1- λ2)v = 0 Do v ≠ 0,
nên λ1- λ2 = 0, hay λ1= λ2
Cho đa thức f(x) = b0 + b1x + b2x2 + ⋅⋅⋅ + b m x m Với ma trận vuông A bất kỳ, ta xác định ma trận f(A) là b0I + b1A + b2A2 + ⋅⋅⋅ + b m A m
Định lý 5.1.2 Cho ma trận A cỡ n×n và đa thức f(x) = b0 + b1x + b2x2 + ⋅⋅⋅ + b m x m Giả sử v là một
vectơ riêng của A ứng với giá trị riêng λ
(i) Nếu A khả nghịch thì v là một vectơ riêng của A-1 ứng với giá trị riêng λ-1
(ii) v là một vectơ riêng của ma trận f(A) ứng với giá trị riêng f(λ)
Chứng minh Nếu A khả nghịch, thì do det(A-0I) = detA ≠ 0, nên λ ≠ 0 Suy ra tồn tại λ-1 Nhân hai
vế của Av = λv với λ-1 và A-1 ta có λ-1v = A-1v Theo định nghĩa, suy ra (i) đúng
Với k là số nguyên dương, thì
A k v = A k-1(Av) = A k-1(λv) = λA k-1v = λA k-2(Av) = λA k-2(λv) = λ2A k-2v = = λk-1Av = λk v
Do đó,
f (A)v = (b0I + b1A + b2A2 + ⋅⋅⋅ + b m A m )v = b0v + b1(λv) + b2(λ2v) + ⋅⋅⋅ + b m(λm v)
= (b0 + b1λ + b2λ2 + ⋅⋅⋅ + b mλm )v = f(λ)v
Theo định nghĩa, suy ra (ii) đúng ☺
Định nghĩa Số λ được gọi là nghiệm bội cấp k (k nguyên dương) của đa thức p(t), nếu p(t) chia
h ết cho (t - λ) k , nh ưng p(t) không chia hết cho (t - λ) k+1
Khi k = 1, thường gọi λ là nghiệm đơn Khi k = 2, thường gọi λ là nghiệm kép Khi nói một đa thức bậc n có n nghiệm ta không được hiểu nhầm là các nghiệm này đôi một khác nhau, mà phải hiểu các nghiệm này kể cả số bội Chẳng hạn nói p(t) = (t - 2)3(t -1) có bốn nghiệm, ta phải hiểu rằng đó
là các nghiệm 2, 2, 2, 1 Như vậy, khi nói một ma trận n×n có n giá trị riêng, ta phải hiểu đấy là n
nghiệm của đa thức đặc trưng tương ứng kể cả số bội
Do việc tìm những giá trị riêng của một ma trận không đơn giản, nên phải tìm cách gián tiếp nhận biết được thông tin về chúng
Định lý 5.1.3 Nếu A = (a ) là ma trận n×n có n giá trị riêng λ, λ , , λ , thì
Trang 4λ1 + λ2 + ⋅⋅⋅ + λn = a11 + a22 + ⋅⋅⋅ + a nn (Tổng này được gọi là vết của A và ký hiệu là tr(A))
λ1λ2⋅⋅⋅λn = detA
Chứng minh Từ Công thức quan trọng suy ra det(A - tI) có duy nhất một hạng tử chứa t n và t n-1 là
(a11 - t)(a22 - t)⋅⋅⋅(a nn - t), các hạng tử còn lại chứa những lũy thừa của t với bậc không vượt quá n-2 Khai triển hạng tử này ta thấy hệ số của t n là (-1)n , hệ số của t n-1 là (-1)n-1(a11 + a22 + ⋅⋅⋅ + a nn) Vì vậy
det(A - tI) = (-1) n t n + (-1)n-1(a11 + a22 + ⋅⋅⋅ + a nn )t n-1 + ⋅⋅⋅
Mặt khác, λ1, λ2, ,λn là nghiệm của đa thức bậc n det(A - tI) với hệ số trước t n là (-1)n nên
det(A - tI) = (-1) n (t - λ1)(t - λ2)⋅⋅⋅(t - λ n) = (-1)n t n + (-1)n-1(λ1 + λ2 + ⋅⋅⋅ + λn )t n-1 + ⋅⋅⋅
Do đó
(-1)n t n + (-1)n-1(a11 + a22 + ⋅⋅⋅ + a nn )t n-1 + ⋅⋅⋅ = (-1)n t n + (-1)n-1(λ1 + λ2 + ⋅⋅⋅ + λn )t n-1 + ⋅⋅⋅
So sánh hai vế ta có λ1 + λ2 + ⋅⋅⋅ + λn = a11 + a22 + ⋅⋅⋅ + a nn
Trong đẳng thức det(A - tI) = (-1) n (t - λ1)(t - λ2)⋅⋅⋅(t - λ n ), cho t = 0 ta có
detA = (-1) n(- λ1)(- λ2)⋅⋅⋅(- λn) = λ1λ2⋅⋅⋅λn ☺
Ví dụ 2 Ma trận
d c
b a
có đa thức đặc trưng là
det(A - tI) =
t d c
b t a
−
−
= t2 -(a+d)t + ad - bc = t2 - tr(A)t + detA
Từ đây suy ra rằng nếu detA < 0 thì A có hai giá trị riêng trái dấu
Ví dụ 3 Cho ma trận
98 0 06 0
02 0 94 0
Tính định thức của A2008 - A + 2I
Giải Với f(x) = x2008 - x + 2, ta có f(A) = A2008 - A + 2I Do A có hai giá trị riêng là λ1= 1 và λ2 =
0.92 nên theo Định lý 5.1.2 f(A) có hai giá trị riêng là f(1) = 2 và f(0.92) = 0.922008 + 1.08 Do Định
lý 5.1.2 det(A2008 - A + 2I) = f(1)f(0.92) = 2(0.922008 + 1.08) ☺
5.2 CHÉO HÓA MỘT MA TRẬN
Trong phần này ta xét vấn đề phân tích một ma trận A cỡ n×n thành tích có dạng SΛS-1, trong đó Λ
là một ma trận đường chéo Ta quan tâm đến vấn đề này bởi vì khi A = SΛS-1 thì rất dễ tính lũy thừa của nó với cấp bất kỳ
Ta ký hiệu ma trận đường chéo
Λ =
n
λ
λ
λ
2 1
là diag(λ1, , λn)
Định nghĩa Một ma trận vuông A được nói là chéo hóa được n ếu tồn tại ma trận S khả nghịch và
ma tr ận đường chéo Λ sao cho S-1AS = Λ
Trang 5Định lý 5.2.1 Một ma trận A cỡ n×n chéo hóa được khi và chỉ khi A có n vectơ riêng độc lập
tuyến tính
Chứng minh Giả sử A có n vectơ riêng độc lập tuyến tính v1, v2, ,v n ứng với các giá trị riêng λ1,
λ2, , λn (một số λj có thể trùng nhau) Ký hiệu S là ma trận mà cột thứ j là v j (j = 1, , n) Ký hiệu
Λ= diag(λ1, , λn) Theo quy tắc nhân ma trận
AS = A[v1 v2 v n ] = [Av1 Av2 Av n] = [λ1v1 λ2v2 λn v n ] = [v1 v2 v n]
n
λ
λ
λ
2 1
Vì v1, v2, ,v n độc lập tuyến tính, nên r(S) = n (Xem Định lý 4.6.2) Theo Định lý 4.3.1, detS ≠ 0 Suy ra tồn tại S-1 Như vậy, S-1AS = Λ
Ngược lại, giả sử A chéo hóa được, tức là tồn tại ma trận khả nghịch S và ma trận đường
chéo Λ= diag(λ1, , λn ) sao cho S-1AS = Λ hay AS = SΛ Nếu v1, v2, ,v n là các vectơ cột của S,
thì theo quy tắc nhân ma trận
AS = [Av1 Av2 Av n ], SΛ = [λ1v1 λ2v2 λn v n]
Vì AS = SΛnên Av j = λj v j Như vậy, A có n vectơ riêng v1, v2, ,v n S khả nghịch nên detS ≠ 0
Theo Định lý 4.3.1, r(S) = n Suy ra v1, v2, ,v n độc lập tuyến tính (Xem Định lý 4.6.2) ☺
Ví dụ Xét xem ma trận sau có chéo hóa được không
−
− 1 1
1 1
Giải det(A - tI) = t2 nên A có 2 giá trị riêng là λ1 = λ2 = 0 Hệ (A - 0I)x = 0 là
x1 - x2 = 0
x1 - x2 = 0
Hệ này có nghiệm tổng quát là t(1, 1) với t∈R, nên hai vectơ riêng bất kỳ của A đều cùng phương Suy ra chúng phụ thuộc tuyến tính Do đó A không chéo hóa được ☺
Sau đây là một điều kiện đủ để các vectơ riêng của một ma trận độc lập tuyến tính
Định lý 5.2.2 Nếu v1, ,v k là các vectơ riêng của ma trận A cỡ n×n ứng với những giá trị riêng
đôi một khác nhau λ1, , λk , thì v1, ,v k độc lập tuyến tính
Chứng minh Ta chứng minh bằng quy nạp theo k
Với k = 1, vectơ riêng v1 ≠ 0, nên v1 độc lập tuyến tính Giả sử quy nạp rằng định lý đã được
chứng minh cho trường hợp gồm k - 1 vectơ Giả sử rằng
x1v1 + ⋅⋅⋅ + x k v k = 0
Nhân A vào hai vế của đẳng thức, ta nhận được
x1Av1 + ⋅⋅⋅ + x k Av k = x1λ1v1 + ⋅⋅⋅ + x kλk v k = 0
Lấy đẳng thức thứ hai trừ đi λk lần đẳng thức thứ nhất, ta có
x1(λ1-λk )v1 + ⋅⋅⋅ + x k-1(λk-1-λk )v k-1 = 0
Theo giả thiết quy nạp, v1, ,v k-1 độc lập tuyến tính, cho nên
x1(λ1-λk ) = ⋅⋅⋅ = x k-1(λk-1-λk )v k-1 = 0
Từ đó, do λi - λk ≠ 0 (i = 1, , k - 1), nên x1 = ⋅⋅⋅ = x k-1 = 0 Thay các giá trị này vào đẳng thức đầu
tiên, ta thu được x k v k = 0 Vì vectơ riêng v k ≠ 0, nên x k = 0
Tóm lại, x1 = ⋅⋅⋅ = x k-1 = x k = 0 Điều này chứng tỏ v1, ,v k độc lập tuyến tính ☺
Hệ quả 5.2.3 Nếu A là ma trận n×n có n giá trị riêng đôi một khác nhau λ1, , λn , thì A chéo hóa
được Nói rõ hơn, nếu S là ma trận có cột j là vectơ riêng v j ứng với giá trị riêng λj (j = 1, , n), thì
S khả nghịch và S-1AS = diag(λ , , λ )
Trang 6Chứng minh Do n giá trị riêng λ1, , λn đôi một khác nhau nên n vectơ riêng v1, v2, ,v n độc lập tuyến tính Vì vậy theo Định lý 5.2.1 ta có điều phải chứng minh ☺
Chú ý
1) Nếu A là ma trận n×n và S là ma trận khả nghịch sao cho S-1AS là ma trận Λ= diag(λ1, , λn), thì
vectơ cột j của S là vectơ riêng của A ứng với giá trị riêng λ j Ta gọi S là ma trận vectơ riêng, Λ là
Λm
= (S-1AS)m = (S-1AS )(S-1AS )(S-1AS )⋅⋅⋅(S-1AS ) = S-1A (SS-1)A(SS-1)A⋅⋅⋅ AS = S-1A m S,
nên S là ma trận vectơ riêng, Λm là ma trận giá trị riêng của A m
2) Ma trận vectơ riêng S không duy nhất do ứng với một giá trị riêng có vô hạn vectơ riêng, ngoài ra khi đổi chỗ các cột của S ta lại được ma trận vectơ riêng mới
3) Nếu A là ma trận n×n có n giá trị riêng nhưng không đôi một khác nhau, thì A có thể chéo hóa được hay không tùy thuộc vào nó có n vectơ riêng độc lập tuyến tính hay không
4) Nếu A chéo hóa được (S-1AS = Λ là ma trận đường chéo), thì A có thể phân tích thành tích SΛS-1
Ứng dụng của giá trị riêng và vectơ vào tính lũy thừa của một ma trận
Dễ thấy rằng nếu Λ = diag(λ1, , λn) thì Λm
= diag(λ1m, , λn m ) Nếu A = SΛS-1, thì A m =
(SΛS-1)(SΛS-1)(SΛS-1)⋅⋅⋅(SΛS-1) = SΛ(S-1S )Λ(S-1S )Λ⋅⋅⋅ ΛS-1 = SΛm
S-1 Chẳng hạn, tính lũy thừa của
98 0 06 0
02 0 94 0
A có hai giá trị riêng khác nhau là λ1= 1 và λ2 = 0.92, nên A chéo hóa được Ta chọn v1 = (1, 3) là
vectơ riêng ứng với λ1, v2 = (-1, 1) là vectơ riêng ứng với λ2
Λ =
92 0 0
0 1
- ma trận giá trị riêng, S =
1 3
1 1
- ma trận vectơ riêng
S-1AS =
4
1
1 1
98 0 06 0
02 0 94 0
1 3
1 1
92 0 0
0 1
= Λ
Từ đây suy ra A = SΛS-1 Do đó
A m = SΛm S-1 = S
n
92 0 0
0 1
S-1 ☺
Ứng dụng của giá trị riêng và vectơ vào tìm số hạng tổng quát của dãy số
Dãy Fibonacci (u n): 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, được xác định như sau
≥ +
=
=
=
−
1
2 1
2 1
n u u u
u u
n n n
Ta muốn tìm một công thức tính trực tiếp các số hạng của dãy này
Đặt v n = (u n+1, u n ) (n∈N*) Ta thấy
n
n
u
u 1
−
n
n n
u
u
0 1
1 1
−1
n
n
u
u
0 1
1 1
v n-1
Ký hiệu
A =
0 1
1 1 ,
thì v n = Av n-1 Thay n bởi n-1, ta được v n-1 = Av n-2 Suy ra v n = A2v n-2 Tiếp tục lặp lại như vậy nhiều
lần, cuối cùng ta có v n = A n-1v1 với v1 = (1, 1) Nếu ta thêm vào vectơ v0 = (1, 0) thì do v1 = Av0, nên
v n = A n v0
Đa thức đặc trưng det(A - tI) = t2 - t - 1 có hai nghiệm phân biệt
Trang 7λ1 =
2
5
1 + ≈ 1.618 và λ2 =
2
5
1 − ≈ -0.618
Từ hệ
−
−
i
i
λ 1
1 λ 1
y
x
0
0
ta có một vectơ riêng ứng với λi là x i =
1
λi
Ta phân tích v0 theo x1 và x2 ta có
v0 =
0
1
−
λ 1
λ λ λ
2 1
= 5
1
(x1 - x2)
Vì A n x i = n
i
λ x i nên
n
n
u
u 1
= v n = A n v0 =
5
1
(A n x1 - A n x2) =
5
1 ( n
1
λ x1 - n
2
−
n n n n
2
1 2
1
1 1
λ
λ λ
λ 5
1
Từ đây ta suy ra
u n = 5
1 (λ -n1 λ ) ☺ n2 Dãy Fibonacci là một dãy số kỳ lạ Nó liên quan đến nhiều vấn đề của toán học, vật lý, kiến trúc, hội họa, âm nhạc, tự nhiên Chẳng hạn như:
* lim (u n+1/u n) = λ1 ≈ 1.618 Người Hy Lạp gọi λ1 là "tỉ lệ vàng" bởi vì trong kiến trúc một hình có
tỉ lệ giữa chiều dài và chiều rộng ≈ 1.618 trông đẹp và cân đối Điện Parthenon của thành Athens có
tỉ số giữa chiều cao và chiều dài chính là tỉ số vàng!
* Số cánh hoa trong hầu hết các bông hoa là những số trong dãy Fibonacci Hoa loa kèn 3 cánh, hoa mao lương vàng 5 cánh, hoa phi yến 8 cánh, hoa cúc vạn thọ 13 cánh, hoa cúc tây 21 cánh, còn hoa cúc thường có 34 hoặc 55, hoặc 89 cánh
Hoa mao l ương vàng
5.3 GIỚI THIỆU VỀ SỐ PHỨC
Phương trình đặc trưng của một ma trận với những phần tử thực là một phương trình đại số với hệ
số thực Ta đã biết rằng phương trình đại số này có thể vô nghiệm trong R do trong R không có căn bậc chẵn của số âm Việc cho rằng không khai căn được số âm không phải lúc nào cũng hợp lý
Chẳng hạn, một người nợ một mảnh đất hình vuông rộng 100 m2 Nếu gọi x là kích thước của hình vuông, ta có phương trình x2 = -100 Mảnh đất này tồn tại nên -100 phải khai căn được Để tìm cách khai căn số âm, trước hết ta nhìn lại quá trình hình thành các tập số Z, Q, R Trừ tập số N, ba tập số kia đều ra đời do nhu cầu tìm nghiệm của những phương trình đại số
x +1 = 0 vô nghiệm trong N Bổ sung thêm các số âm vào N ta được Z và khi ấy x + 1 = 0
có nghiệm trong Z
Trang 82x +1 = 0 vô nghiệm trong Z Bổ sung thêm các số dạng p/q (p và q nguyên, q ≠ 0) vào Z ta được Q và khi ấy 2x + 1 = 0 có nghiệm trong Q
x2 - 2 = 0 vô nghiệm trong Q Bổ sung thêm các số dạng a (a ∈Q và a không âm) vào Q
ta được R và khi ấy x2 - 2 = 0 có nghiệm trong R
Cũng vậy, do x2 + 1 = 0 không có nghiệm trong R, nên muốn nó có nghiệm ta phải bổ sung
thêm các số mới nào đó vào R Ta ký hiệu i là một nghiệm của x2 + 1 = 0 trong tập số mới Ta có i2
= -1 Ghép thêm i vào R, ta xét tập hợp gồm tất cả các tổng có dạng a + bi với a và b là số thực
Định nghĩa Nếu a và b là hai số thực bất kỳ, thì a + bi được gọi là một số phức S ố a được gọi là
ký hi ệu là Im(a + bi) Ký hiệu C là tập hợp tất cả những số phức
Định nghĩa Hai số phức a + bi và c + di được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi a = c và b = d
Ta định nghĩa hai phép toán trên các số phức như sau
Phép toán cộng: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
Phép toán nhân: (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
Trên C hai phép toán này có những tính chất tương tự như tính chất của phép cộng và phép nhân trên R:
* Giao hoán, kết hợp, phân phối
* Số 0 + 0i thỏa điều kiện (a + bi) + (0 + 0i) = a + bi Như vậy, 0 + 0i đóng vai trò "số
không" trong C
* (c + di) + ((-c) + (-d)i) = 0 + 0i Gọi (-c) + (-d)i là số đối của c + di, viết gọn là -c - di
* Số 1 + 0i thỏa điều kiện (a + bi)(1 + 0i) = a + bi Như vậy, 1 + 0i đóng vai trò "số một"
trong C
+
− +
d c
d d
c
c
2 2 2
mọi số phức khác 0 + 0i đều có nghịch đảo
Tương tự như đối với các số thực, ta định nghĩa phép toán trừ qua phép toán cộng và phép toán chia qua phép toán nhân:
Phép toán trừ: (a + bi) - (c + di) = (a + bi) + (-c - di) = (a - c) + (b - d)i
Phép toán chia: Nếu c + di ≠ 0 + 0i, thì
di c
bi a
+
+
+
− +
d c
d d
c
c
2 2 2
d c
ad bc d c
bd ac
2 2 2
− + +
+
Khi thực hiện phép toán trên các số phức có phần ảo bằng 0, ta thấy rằng
(a + 0i) + (c + 0i) = (a + c) + 0i (a + 0i) - (c + 0i) = (a - c) + 0i (a + 0i)(c + 0i) = ac + 0i
i c
i a
0
0 +
+
c
a
0 + (nếu c ≠ 0)
Như vậy cộng, trừ, nhân, chia trên các số phức có dạng này chỉ thuần túy là thực hiện cộng, trừ, nhân, chia trên mỗi phần thực, còn phần ảo vẫn bằng 0 Do đó đối với số phức có phần ảo bằng 0 ta
không quan tâm đến phần ảo và đồng nhất nó với phần thực: a + 0i = a Vì thế R ⊂ C Tuy nhiên
trên C ta không xét quan hệ lớn hơn hay nhỏ hơn
Nếu số thực a < 0, thì (± −a i)2 = ( −a)2i2 = -a(-1) = a Do đó trong C ta khai căn được
số âm Vì vậy mọi phương trình bậc hai với hệ số thực đều có nghiệm trong C Chúng ta còn có khẳng định tổng quát hơn, đó là
Định lý cơ bản của đại số Mọi đa thức bậc n > 0 với hệ số phức đều có n nghiệm phức
Trang 9Vì một số thực cũng là một số phức, nên từ định lý này ta suy ra: Mọi đa thức bậc n > 0 với
hệ số thực đều có n nghiệm phức
Ví dụ 1 Giải phương trình x2
+ x + 1 = 0
Giải ∆ = -3 và căn bậc 2 của -3 là ± 3i Theo công thức lấy nghiệm của phương trình bậc 2, ta có
2 nghiệm
2
3
−
và
2
3
−
Chú ý Bây giờ ta có thể làm việc với ma trận với các phần tử phức Đặc biệt, ta có thể làm việc với tập Cn gồm các vectơ cột (x1, x2, , x n ) với x i ∈C Những định nghĩa và định lý ta đã phát biểu đối với các ma trận với phần tử thực và không gian Rn có thể chuyển sang cho những ma trận với phần
tử phức và Cn
Ví dụ 2 Tìm giá trị riêng phức và vectơ riêng thuộc Cn của ma trận
1 0
Giải Đa thức đặc trưng của A là
x
x
−
−
− 1
1
= x2 + 1
Đa thức này có nghiệm λ1 = -i và λ2 = i
Với λ1= -i, hệ (A-λ1I )x = 0 là
ix1 + x2 = 0
-x1 + ix2 = 0
Hệ này có nghiệm không tầm thường là x = t(i, 1) với t ∈C\{0} Đây là các vectơ riêng ứng với λ1
Với λ1= i, hệ (A-λ2I )x = 0 là
-ix1 + x2 = 0
-x1 - ix2 = 0
Hệ có nghiệm không tầm thường là x = t(i, -1) với t ∈C\{0} Đây là các vectơ riêng ứng với λ2.☺
NHỮNG Ý CHÍNH TRONG BÀI GIẢNG TUẦN 7
1 Định nghĩa giá trị riêng và vectơ riêng
2 Phương pháp tìm giá trị riêng và vectơ riêng
3 Định nghĩa ma trận chéo hóa được, ma trận vectơ riêng, ma trận giá trị riêng
4 Những điều kiện để một ma trận chéo hóa được
5 Tập số phức C và các phép toán trên C Định lý cơ bản của đại số