07 bài giảng số 3 giá trị riêng và véc tơ riêng của phép biến đổi tuyến tính và ma trận

Giá trị riêng và véc tơ riêng của ma trận và phép biến đổi tuyến tính.. Tóm lược lý thuyết Cho f là một phép biến đổi tuyến tính trên một K – không gian véc tơ E có số chiều n và có ma

Bài giảng số 3 Giá trị riêng và véc tơ riêng của ma trận và

phép biến đổi tuyến tính

I Tóm lược lý thuyết

Cho f là một phép biến đổi tuyến tính trên một K – không gian véc tơ E có

số chiều n và có ma trận trong cơ sở chính tắc của E là A

Định nghĩa 3.1: Ta gọi véc tơ riêng của một ma trận vuông A là véc tơ v khác

với giá trị riêng 

Nhận xét 3.2:

i) Đẳng thức (1) viết lại dưới dạng (A I v)  (2) 0

Như vậy các véc tơ riêng của ma trận A là nghiệm hệ phương trình tuyến tính thuần

nhất (2)

lại với cùng một giá trị riêng có thể liên kết với nhiều véc tơ riêng

Tính chất 3.3: Giá trị riêng của ma trận vuông đối xứng A với hệ số thực là những

Định nghĩa 3.7: Ta gọi véc tơ riêng của phép biến đổi tuyến tính f là một véc tơ

với giá trị riêng 

Nhận xét 3.8:

i) Vì f(v) = Av nên ta đồng nhất giá trị riêng và véc tơ riêng của phép biến đổi

tuyến tính f với giá trị riêng và véc tơ riêng của ma trận A liên kết với f Từ đó suy

ra việc tìm giá trị riêng và véc tơ riêng của f là tìm véc tơ riêng và giá trị riêng của

A

ii) Đa thức đặc trưng của ma trận vuông A liên kết với f cũng được gọi là đa thức đặc trưng của phép biến đổi tuyến tính f

Định lý 3.9: Đa thức đặc trưng của phép biến đổi tuyến tính f không phụ thuộc vào

cách chọn cơ sở của không gian véc tơ E

Tính chất 3.10: Các véc tơ riêng cùng liên kết với một giá trị riêng  cùng với véc

tơ không, lập nên một không gian véc tơ con của không gian E

Ta kí hiệu không gian con đó là Ker(f -  Id E ) và gọi là không gian riêng

Tính chất 3.11: Các không gian con riêng Ker(f -  Id E) là các không gian con một hoặc hai chiều

Định lý 3.12: Cho trước một phép biến đổi tuyến tính f của một K - không gian véc

tơ E và ma trận A tương ứng với một cơ sở nào đó của E

trình đặc trưng: |A -  I| = 0

phương trình tuyến tính thuần nhất:

Định lý 3.13: Nếu đa thức đặc trưng của phép biến đổi tuyến tính f có n nghiệm

phân biệt  1, 2,, n và v1, v2, …, v n là n véc tơ riêng tương ứng với các giá trị riêng trên thì hệ véc tơ {v1, v2, …, v n} lập thành một cơ sở của không gian véc tơ E

Hệ quả 3.14: Ma trận A của phép biến đổi tuyến tính f trong cơ sở gồm các véc tơ riêng {v1, v2, …, v n} của E có dạng:

Định nghĩa 3.15: Ma trận vuông A cấp n được gọi là chéo hoá được nếu tồn tại

một ma trận vuông P cấp n khả nghịch sao cho ma trận P AP1 có dạng ma trận đường chéo

Định lý 3.16: Điều kiện để ma trận vuông A cấp n chéo hoá được là ma trận A có

đủ n véc tơ riêng độc lập tuyến tính

Nhận xét 3.17: Gọi P là ma trận có các cột là các toạ độ cột của các véc tơ riêng của ma trận A thì ma trận P AP1

Định nghĩa 3.18: Phép biến đổi tuyến tính f của không gian véc tơ E là chéo hoá

hoá được

Định lý 3.19: Điều kiện đủ để phép biến đổi tuyến tính f chéo hoá được là f có đủ n

giá trị riêng phân biệt

Định lý 3.20: Phép biến đổi f là chéo hoá được nếu f có đủ n véc tơ riêng độc lập

tuyến tính

Định lý 3.21: Gọi  1, 2,,k k nlà các giá trị riêng của phép biến đổi tuyến

tính f trên E Nếu:

dimKer f(  Id E)dimKer f(  Id E)dimKer f(  n Id E)n

thì f là chéo hoá được

II Các ví dụ minh hoạ

1(1 )( 1)(( 3) 0 1

1 2 3 1

Vậy nghiệm tổng quát của hệ có dạng (a, b, -a) = a(1, 0, -1) +b(0, 1, 0)

Ta chọn v1 = (1, 0, -1), v2 = (0, 1, 0) là hai véc tơ riêng cơ sở của không gian con riêng của 0

00

Vậy có thể chọn véc tơ v3 = (1, 0, 1) là véc tơ riêng tương ứng với giá trị riêng 2

2) Gọi P là ma trận chuyển cơ sở từ cơ sơ chính tắc sang cơ sở {v1, v2, v3}

Tính các giá trị riêng của M và suy ra các vec tơ riêng Chứng minh rằng nhờ cách đổi cơ sở ta có thể đưa M về dạng đường chéo

Giải:

12

1

02

12

Với  3, vec tơ riêng v x y z3( , , ) tương ứng là nghiệm của hệ

2) Xác định Ker(f -  Id) với  là các giá trị tìm được ở trên;

3) Tính ma trận A n , từ đó suy ra A1và giới hạn của các dãy (p n ), (q n ) và (r n ) thoả mãn điều kiện

1

1

1

14

Vậy Ker f( 3Id3)span v{ (1, 1, 0)}.1 

Với   1, véc tơ ( , , )x y z Ker f( Id) 

Vậy Ker f( Id3)span v{ ( 3, 1, 2)}.2 

Với  4, véc tơ ( , , )x y z Ker f( 4Id3)

Vậy Ker f( 4Id3)span v{ (12, 16, 7)}.3

3) Gọi P là ma trận có các cột là toạ độ của các véc tơ v1, v2, v3 Ta có:

1

25 45 601

7 7 28 70

1

0 03

3515

Cho E là  – không gian véc tơ có số chiều bằng 3 Với t  , xét một cơ sở

e e e1, 2, 3 của E và một tự đồng cấu f của E sao cho trong cơ sở đó ma trận của f

Gọi P là ma trận chuyển cơ sở từ e e e1, 2, 3sang cơ sởu v w, ,  Tính P ;

4) Tính J n và M n theo nN

Giải:

1) Gọi u xe1  ye2 ze3 là một véc tơ riêng của f, khi đó tồn tại số thực 

sao cho f u( ) u Vậy ta có:

Ker f( Id E)span{(2cos 2 , 0, 1)},t  dimKer f( Id E) 1.

Vậy không có giá trị riêng của f khác 1, tức là tổng số chiều của các không gian con riêng khác 3, nên f không chéo hoá được

Vì P là ma trận chuyển cơ sở từ e e e1, 2, 3 sang u v w, ,  và J là ma trận của f

trong cơ sở u v w, ,  nên ta có J P MP1 M  PJP1 M n PJ P n 1 Vậy ma

trận M có dạng:

0 1

n n n

Giải:

Nếu A, B thoả mãn điều kiện AB = BA và x là véc tơ riêng ứng với giá trị

ra

sao cho Axsx. Vậy x cũng là véc tơ riêng của A

Ngược lại giả sử A và B là hai ma trận đối xứng cấp n và có chung các véc tơ

riêng Gọi { 1, 2,, n} và { 1, 2,, n} lần lượt là các giá trị riêng của ma trận

A và B, giả sử {e1, e2, …, en} là các véc tơ riêng chung tương ứng với các giá trị

riêng của ma trận A và B suy ra {e1, e2, …, en} là một cơ sở của  n

Gọi x = x 1 e 1 + x 2 e 2 + … +x n e n là một véc tơ bất kì thuộc n, ta có:

2) Tìm các giá trị riêng của f 1 (nếu có)

Vậy véc tơ riêng tương ứng có dạng (a + b, a, b) với a, b   Suy ra u 1(1, 1, 0) và

u 2(1, 0, 1) là hai véc tơ riêng cơ sở của Ker f( Id3)

f

Thật vậy giả sử tồn tại giá trị riêng 0 của tự đẳng cấu f, gọi x là véc tơ riêng khác

không tương ứng, ta có f (x) = 0 Vì f là đơn cấu nên x 0 (> <)

Gọi x là véc tơ riêng liên kết với giá trị riêng  của f, ta có f x( ) x,suy ra

, f và g là các phép biến đổi tuyến

3) Cho E Ker g( )Ker g( 2Id3). Chứng minh rằng E là bất biến đối

Ta có f(e1) = e1 và f(e2) = e2 nên E là bất biến đối với f

Tương tự g(e1) = 0 và g(e2) = 2e2 nên E cũng bất biến đối với g

Để xác định ma trận của f và g trong cơ sở {e1, e2, e3} ta tính f(e3) và g(e3)

Cho E là  – không gian véc tơ, f, g là các tự đồng cấu của E

Từ (f g x)( ) x suy ra g fg x( ( )) g x( ) gf g x( ( )) g x( ) Vậy

Vậy  0 cũng là giá trị riêng của g f

2) Nếu E hữu hạn và giả sử 0 không là giá trị riêng của g  f, lúc đó g f là song ánh và do đó g, f cũng là những song ánh, suy ra f g cũng là song ánh và 0 không là giá trị riêng của f g (> <)

III Bài tập tự giải

Bài 1: Cho f là một phép biến đổi tuyến tính của 3và ma trận của f trong cơ sở

1) Xác định số thực  sao cho tồn tại véc tơ x 0 thoả mãn f x( ) x;

2) Xác định tập hợp các véc tơ x 3sao cho f x( ) x

Bài 2: Cho fL( và ma trận của f trong cơ sở chính tắc là : 3)

Bài 3: Trong các ma trận sau, ma trận nào chéo hoá được? Hãy tìm một cơ sở để

ma trận đó đưa về dạng chéo (nếu có)

Bài 4: Xét ánh xạ tuyến tính T:  mà ma trận của nó theo cơ sở chính tắc

Bài 5: Chứng minh rằng trong hệ toạ độ đề các vuông góc Oxy, phép chiếu vuông

góc lên đường thẳng đi qua gốc toạ độ có hai giá trị riêng là 0 và 1

Bài 6: Xét ma trận cos sin , ( )

v   nào ma vuông góc với

véc tơ riêng trên thì ta đều có Av v

1) Chứng minh rằng A và B có cùng các giá trị riêng;

2) Rút gọn A và B về dạng ma trận chéo như nhau;

Tìm A8 và 8

Bài 10: Cho phép biến đổi tuyến tính f :3( )x 3( ),x xác định bởi

2 '' '

Bài 11: Cho f là một phép biến đổi tuyến tính của M n  (n2), xác định bởi

f(A) =A t Xác định giá trị riêng của f

Chứng minh rằng B chéo hoá được, từ đó suy ra A cũng chéo hoá được

Bài 13: Cho ma trận vuông 1 2

1) Chứng minh rằng f luôn có giá trị riêng s 0;

của f tương ứng với giá trị riêng s 1 Từ đó suy ra đa thức đặc trưng của f có các nghiệm là số thực;

a) Chứng minh rằng nếu u, v, w độc lập tuyến tính thì u, f(v), f(w)

cũng độc lập tuyến tính;

b) Tìm ma trận B của f theo cơ sở u, v, w Từ đó suy ra các giá trị

riêng của f