DA Toan 9 PBC 09-2010

Không mất tính tổng quát, giả sử A và O Suy ra đoạn AO cắt đờng thẳng BC tại K.. Kẻ AH vuông góc với BC tại H... Suy ra điều phải chứng minh.

Sở GD&ĐT Nghệ An Kì thi TUYểN sinh VàO lớp 10 trờng thpt chuyên

phan bội châu năm học 2009 - 2010

Môn thi: Toán

Hớng dẫn chấm thi

Bản hớng dẫn chấm gồm 03 trang

3 x23 7 x 3

3

3 (x 2)(7 x) 2

(x 2)(7 x) 8

1 6

x x







Đặt 2

z

Hệ đã cho trở thành

3 3

2 3

2 3

x z

z x







0.25đ

x z x  2 xz z2 3 0

x z

3 2 0

2

x

x





     



Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm: ( , ) ( 1; 2), 2,1x y     

0,25đ

Điều kiện để phơng trình có nghiệm:   0 a2  4a 8 0 (*) 0,25đ Gọi x1, x2 là 2 nghiệm nguyên của phơng trình đã cho ( giả sử x1 ≥ x2)

1 2





 



0,25đ

1 2

1 3

1 1

x x



 



hoặc 1

2

x x







Đề thi chính thức

1 2

4 2

x x





 





hoặc 1

2

0 2

x x











Suy ra a = 6 hoặc a = -2 (thỏa mãn (*) )

MAE MAN

Vì M, N thuộc đờng tròn đờng kính AB nên AMB ANB 900 0,25đ

 ANK AME900, kết hợp

với (1) ta có tam giác AME đồng dạng với tam giác ANK

0,50đ

Vì tứ giác AMIN nội tiếp nên ANM AIM

Vì tứ giác BMNC nội tiếp nên ANM ABC

0,25đ

Từ chứng minh trên suy ra tam giác AMI

đồng dạng với tam giác AOB

AI AO AM AB

Gọi E, F là giao điểm của đờng thẳng AO với (O) (E nằm giữa A, O)

Chứng minh tơng tự (1) ta đợc:

AM.AB = AE.AF = (AO - R)(AO + R) (với BC = 2R)

= AO2 - R2 = 3R2

0,25đ

 AI.AO = 3R2

Tam giác AOB và tam giác COK đồng dạng nên

OK

0,25đ

Từ (2), (3) suy ra OI = OK

Suy ra O là trung điểm IK, mà O là trung điểm của BC

Giả sử O nằm ngoài miền tam giác ABC

Không mất tính tổng quát, giả sử A và O

Suy ra đoạn AO cắt đờng thẳng BC tại K

Kẻ AH vuông góc với BC tại H 0,25đ

Suy ra AH  AK < AO <1 suy ra AH < 1 0,25đ

B

A

C

K

N

M

E

A

F

O

I

M

N

E

A

O

K

H

K

Suy ra 2.1

1

ABC

AH BC

với giả thiết) Suy ra điều phải chứng minh

0,25đ

Ta có: 3(a 2 + b 2 + c 2 ) = (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 )

= a 3 + b 3 + c 3 + a 2 b + b 2 c + c 2 a + ab 2 + bc 2 + ca 2 0,25đ

mà a 3 + ab 2  2a 2 b (áp dụng BĐT Côsi )

b 3 + bc 2  2b 2 c

c 3 + ca 2  2c 2 a Suy ra 3(a 2 + b 2 + c 2 )  3(a 2 b + b 2 c + c 2 a) > 0

0,25đ

Suy ra P a2 b2 c2 ab bc ca2 2 2

P

0,25đ

Đặt t = a 2 + b 2 + c 2 , ta chứng minh đợc t  3.

P t



Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 4

0,25đ

Nếu thí sinh giải cách khác đúng của mỗi câu thì vẫn cho tối đa điểm của câu đó