toanmath com phân dạng các bài toán tích phân phạm minh tứ

• Cho hàm f liên túc trên m t kho ng K và a, b là hai s b t k thu c K N u F

là m t nguyên hàm c a f trên K thì hi u s : F(b)-F(a) đ c g i là tích phân

c a f đi t a đ n b , ký hi u là : ( )

b a

f x dx

∫

• Có ngh a là : ( ) ( ) ( )

b a

8 N u : ∀ ∈x [ ]a b; và v i hai s M,N ta luôn có : M ≤ f x( ) ≤N Thì :

b a

M b a− ≤∫ f x dx≤N b a− ( Tính ch t giá tr trung bình c a tích phân )

• Ki n th c : Nh đã trình bày trong ph n " Nguyên hàm " , c n ph i n m tr c

các ki n th c v Vi phân , các công th c v phép toán l y th a , phép toán c n

1

dx x

− + +

− +

1

2 1

ln

x dx

∫c/

3 4

2 6

4 sin 2

sin 2

x dx x

c

π π

π π

1 x dx−

1 2

2 0

1

1 2

dx x

−

2

2 1

12x− 4x − 5dx

1 2 0

1

1dx

x + +x

∫c/

∫

* Chú ý : tính tích phân d ng có ch a ( 2 2 2)

,

x +a a −x , ta còn s d ng ph ng pháp đ i bi n s : u(x)=g(x,t)

Ví d 1 : Tính tích phân sau 1 2

0

1 1

• Khi đó : 2

2

1 2

t dx

• B c 1: Khéo léo ch n m t hàm s u(x) và đ t nó b ng t : t=u(x)

• B c 2: Tính vi phân hai v và đ i c n : dt=u'(x)dx

β

α

β α

x dx x

− +

B D NG : 2

( ) ax

=

∫Thông th ng ta đ t (x+b/2a)=t

Ví d 4 : Tính tích phân sau : I= 3 2 3

x dx

x − x+

∫

4dx

x +

∫

∫

Gi i Cách 1:

• t : x+1=t , suy ra x=t-1 và : khi x=0 thì t=1 ; khi x=1 thì t=2

C C

ng nh t h s hai t s : ( )

2

1 3 1

Do đó : ( ) ( )

2 2

1 4

Thay các nghi m c a m u s vào hai t s :

Khi x=0 : 1= -4A suy ra : A=-1/4 Khi x=-2 : -1= 8C suy ra C=-1/8 Khi x=2 : 3= 8B suy ra : B=3/8

Thay l n l t các nghi m m u s vào hai t s :

Thay : x=1 Ta c : 1=2A , suy ra : A=1/2

Thay : x=-1 ,Ta có :1=-2B, suy ra : B=-1/2

Thay x=-2 ,Ta có : 4= -5C, suy ra : C=-5/4

Nh ng d ng này , g n đây trong các đ thi đ i h c ít cho ( Nh ng không h n là

không cho ) , nh ng tôi v n đ a ra đây m t s đ thi đã thi trong nh ng n m các

tr ng ra đ thi riêng , mong các em h c sinh khá ,gi i tham kh o đ rút kinh

nghi m cho b n thân

Sau đây tôi l y m t s ví d minh h a

1 1

x dx x

+ +

1 1

x dx x

+ +

∫

Gi i

3 2

Q x

β

α

∫ ( V i Q(x) có b c cao h n 4 )

đây tôi ch l u ý : i v i hàm phân th c h u t có b c t th p h n b c m u t i

hai b c ho c tinh ý nh n ra tính ch t đ c bi t c a hàm s d i d u tích phân mà có

cách gi i ng n g n h n Ph ng pháp chung là nh v y , nh ng chúng ta khéo léo

2 0

1 1

x dx x

−

−

2 2 6 1

1 1

x dx x

+ +

0 1

x dx x

1

dx x

x x

dx x

( )

2 2

2

1 1

2 2

e p

x dx x

+

+ +

2 2 2

( )

1

p p

- T : tan 1 artan e artan e

0 1

x dx x

+

∫

2 2

− +

∫

c

3 5 32 0

2 1

dx x

− +

3 2 0

Khi :

7

3 4

0

1

0 1

x

dx x x

+

2 2

0

1 1

0 1

- N u m,n đ u l thì : đ t cosx=t ho c sinx =t đ u đ c ( g i t t l sin ho c l cos )

- N u m,n đ ch n : đ t tanx=t ( g i t t là ch n sinx , cosx )

b/ Ph i thu c các công th c l ng giác và các công th c bi n đ i l ng giác , các

h ng đ ng th c l ng giác , công th c h b c , nhân đôi , nhân ba , tính theo tang góc

π

dx x

x x I

x

x x

I = ∫2 +

0 1 cos

cos 2 sin

dx x

x c

2

xdx I

sinx-cosx+3 sinx-cosx+3

c c

sin xdx

π

4 2 6

1

dx sin x cot gx

os2x sinx+cosx+2

os sin

c x dx x

π

d

2 4

6 0

sin

os

x dx

sin 2

x dx

0

1 2 sin

1 sin 2

x dx x

π

− +

sin 3

1 2 os3x

x dx c

x I

x

π π π

2 0

s inxcos

x dx

4 sin

s inx+cosx

xdx I

b/

2

3 0

s inx cos

x

dx x

1 s inx ln

π

+

4 2

Ta phân tích : asinx+bcosx+c ( ' osx-b'sinx)

's inx+b'cosx+c' 's inx+b'cosx+c' 's inx+b'cosx+c'