Phân dạng các bài toán tích phân phạm minh tứ

Tính chất của tích phân Giả sử cho hai hàm số f và g liên tục trên K, a, b, c là ba số bất kỳ thuộc K.. Hằng số k trong dấu tích phân, có thể đưa ra ngoài dấu tích phân được Ngoài 5 tính

TÍCH PHÂN

I Khái niệm tích phân

1 Diện tích hình thang cong

• Giới thiệu cho học sinh về cách tính diện tích của một hình thang cong

• Từ đó suy ra công thức: ( ) ( ) ( )

0

0

0 0

• Cho hàm f liên tục trên một khoảng K và a, b là hai số bất kỳ thuộc K Nếu F là một nguyên hàm của f

trên K thì hiệu số: F(b) – F(a) được gọi là tích phân của f đi từ a đến b, ký hiệu là: b ( )

f x dx F x= =F b −F a

∫

• Trong đó:

– a: là cận trên, b là cận dưới

– f(x) gọi là hàm số dưới dấu tích phân

– dx: gọi là vi phân của đối số

– f(x)dx: Gọi là biểu thức dưới dấu tích phân

II Tính chất của tích phân

Giả sử cho hai hàm số f và g liên tục trên K, a, b, c là ba số bất kỳ thuộc K Khi đó ta có:

∫ ∫ (Hằng số k trong dấu tích phân, có thể đưa ra ngoài dấu tích phân được)

Ngoài 5 tính chất trên, người ta còn chứng minh được một số tính chất khác như:

6 Nếu f x( ) ≥ ∀ ∈0 x [ ]a b; thì: ( ) 0 [ ];

b a

M b a− ≤∫ f x dx N b a≤ − (Tính chất giá trị trung bình của tích phân)

III CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

A PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH

1 Trong phương pháp này, chúng ta cần:

• Kỹ năng: Cần biết phân tích f(x) thành tổng, hiệu, tích, thương của nhiều hàm số khác, mà ta có thể sửdụng được trực tiếp bảng nguyên hàm cơ bản tìm nguyên hàm của chúng

• Kiến thức: Như đã trình bày trong phần “Nguyên hàm”, cần phải nắm chắc các kiến thức về Vi phân,các công thức về phép toán lũy thừa, phép toán căn bậc n của một số và biểu diễn chúng dưới dạng lũythừa với số mũ hữu tỷ

1

dx x

− ++

2 2 2

π

−+

0

sin 22sin 3cos

x dx

sin 1 tancos

dx x

∫

c/

3 4

B PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

I Phương pháp đổi biến số dạng 1.

Để tính tích phân dạng này, ta cần thực hiện theo các bước sau

2/ Nhận dạng: (Xem lại phần nguyên hàm)

t

π πππ

1 x dx−

1 2

2 0

1

3 2+ x x− dx

∫

Giải

12x−4x −5dx

1 2 0

∫

* Chú ý: Để tính tích phân dạng có chứa ( x2+a, a2−x2), ta còn sử dụng phương pháp đổi biến số:

• Khi đó: 2

2

12

t dx

II Đổi biến số dạng 2

1 Quy tắc: (Ta tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số dạng 2 theo các bước sau:)

• Bước 1: Khéo léo chọn một hàm số u x và đặt nó bằng ( ) t t u x: = ( )

• Bước 2: Tính vi phân hai vế và đổi cận: dt u x dx= '( )

A DẠNG: P x( ) ( 0)

ax b

β α

α α

Ví dụ 7: Tính tích phân sau:

2 0

14

x

=+

∫

• Đặt: x=2 tant suy ra: 2

∫

Giải Cách 1:

• Đặt: x+ =1 t, suy ra x t= −1 và: khi x=0 thì t=1; khi x=1 thì t=2

Có hai cách giải: Hệ số bất định và phương pháp nhẩy tầng lầu

Ví dụ 10: Tính tích phân sau: ( ) ( )

3

3 2

C C

11

Thay các nghiệm của mẫu số vào hai tử số:

Khi x=0: 1= −4A suy ra: A= −1/ 4

Thay lần lượt các nghiệm mẫu số vào hai tử số:

Thay: x=1 ta có: 1 2A= , suy ra: A=1/ 2

Thay: x= −1 ta có: 1= −2B, suy ra: B= −1/ 2

Thay: x= −2 ta có: 4= −5C, suy ra: C= −5 / 4

để rút kinh nghiệm cho bản thân

Sau đây tôi lấy một số ví dụ minh họa

Ví dụ 1 Tính các tích phân sau:

1

2 2

11

x dx x

++

∫

Giải

a ( )

1

2 2

11

x dx x

++

3 2

1

11

2 2

d ( )

3 2

Q x

β

α∫ (Với Q x có bậc cao hơn 4)( )

Ở đây tôi chỉ lưu ý: Đối với hàm phân thức hữu tỷ có bậc tử thấp hơn bậc mẫu tới hai bậc hoặc tinh ý nhận ratính chất đặc biệt của hàm số dưới dấu tích phân mà có cách giải ngắn gọn hơn Phương pháp chung là như vậy,nhưng chúng ta khéo léo hơn thì cách giải sẽ hay hơn

Sau đây tôi minh họa bằng một số ví dụ

2 0

x dx x

++

0 1

x

dx x

+

3 2 0

1

dx x

x x

dx x

1 tan2

b a

dt t

2 2

4cos 1 tan

4

du dt

du u

ππ

0 1

x dx x

1 x dx x

2 2

−+

t x

α α

α α

=∫

a/ Nếu ( ) (sinm ;cosn )

f x =R x x thì ta chú ý:

- Nếu m lẻ, n chẵn: đặt cos x t= (Gọi tắt là lẻ sin)

- Nếu n lẻ, m chẵn: đặt sin x t= (Gọi tắt là lẻ cos)

- Nếu m, n đều lẻ thì: đặt cos x t= hoặc sin x t= đều được (gọi tắt lẻ sin hoặc lẻ cos)

- Nếu m, n đề chẵn: đặt tan x t= (gọi tắt là chẵn sin ,cosx x )

b/ Phải thuộc các công thức lượng giác và các công thức biến đổi lượng giác, các hằng đẳng thức lượng giác,công thức hạ bậc, nhân đôi, nhân ba, tính theo tang góc chia đôi…

3 Nói chung để tính được một tích phân chứa các hàm số lượng giác, học sinh đòi hỏi phải có một số yếu tốsau:

- Biến đổi lượng giác thuần thục

- Có kỹ năng khéo léo nhận dạng được cách biến đổi đưa về dạng đã biết trong nguyên hàm

II MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA

Ta có: cos3x=4cos3x−3cosx=(4cos2x−3 cos) x= −(4 4sin2 x−3 cos) x= −(1 4sin2x)cosx

Cho nên: ( ) cos3 (1 4sin2 )

cos

x x

xdx I

−

=+

sin 2cos cos

x

π π

ππ

1sin 1

sinsin sin

cos sinsin

1sin cot

π π

=∫

x dx x

sin 2

4 cos

x dx x

π

−+

x I

x

ππ

π π

sin cos

1 cos

dx x

5cos 4sinsin cos

x dx

4sin

sin cos

xdx I

2

4cossin cos

x

π π

+

2 0

sincos

dx x

1 cos

x dx x