gi¶i nh÷ng bµi tËp nµy lµ häc sinh biÕt vËn dông ph¬ng ph¸p thÝch hîp ®Ó gi¶i.[r]
Trang 1Giáo án dạy HSG toán 8 năm học 2009-2010 Ngày soạn:
Chuyên đề 3: Các phơng pháp phân tích đa thức
thành nhân tử I/ Mục tiêu:
- HS nắm đợc các phơng pháp phân tích thành nhân tử
- HS có thể thực hành phân tích đa thức thành nhân tử một các thành thạo, vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải các bài toán liên quan,
- Rèn luyyện t duy logic, khả năng phán đoán, suy luận thông qua các dạng bài tập
- Giáo dục ý thức học tập chủ động tích cực, sáng tạo, tinh thần say xua, hứng thú học tập
II/ Chuẩn bị
- GV: nghiên cứ tài liệu, soạn nội dung bài dạy
- HS: làm việc theo hớng dẫn của GV
- Tài liệu tham khảo
1 Sách giáo khoa Toán 8
2 Sách bài tập Toán 8
3 Toán bồi dỡng đại số 8
4 400 bài toán chọn lọc 8
5 Toán học tuổi trẻ số ra hàng tháng
6 Toán học tuổi thơ II số ra hàng tháng
7 Tuyển tập các bài toán chọn lọc THCS
III/ Nội dung
Tuần:
Phần 1: GV giới thiệu các pp phân tích đa thức yhành nhân tử
1 phơng pháp đặt nhân tử chung
a) Phơng pháp : + Tìm nhân tử chung là những đơn, đa thức có mặt trong tất cả các hạng
tử
+ Phân tích mỗi hạng tử thành tích của nhân tử chung và một nhân tử khác
+ Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi hạng tử vào trong dấu ngoặc( kể cả dấu của chúng)
b) Ví dụ:
+) 28a2b2 - 21ab2 + 14a2b = 7ab(4ab - 3b + 2a)
+) 2x( y – z) + 5y( z –y ) = 2(y- z) – 5y(y- z) = (y – z)(2- 5y)
Trang 2+) xm + xm+3 = xm (x3 + 1) = xm( x+ 1)(x2 – x + 1)
2) Ph ơng pháp dùng hằng đẳng thức.
a) Phơng pháp: Dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích
đa thức thành nhân tử
b) Ví dụ:
9x2 – 4 = (3x)2 – 22 = ( 3x- 2)(3x + 2)
8 – 27a3b6 = 23- (3ab2)3 = (2- 3ab2)( 4 + 6ab2 + 9a2b4) 25x4 – 10x2y + y2 = (5x2 – y)2
3) Ph ơng pháp nhóm nhiều hạng tử:
a)Phơng pháp:
Kết hợp các hạng tử thích hợp thành từng nhóm
áp dụng liên tiếp các phơng pháp đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức
b) Ví dụ:
2x3- 3x2 + 2x – 3 = ( 2x3 + 2x) – (3x2 + 3)
= 2x(x2 + 1) – 3( x2 + 1) = ( x2 + 1)( 2x – 3)
x2 - 2xy + y2 – 16 = ( x- y)2 - 42
= ( x – y – 4)( x –y + 4)
4) Phối hợp nhiều ph ơng pháp
a) Phơng pháp :+ Chọn các phơng pháp theo thứ tự u tiên.
+ Đặt nhân tử chung
+ Dùng hằng đẳng thức
+ Nhóm nhiều hạng tử
b) Ví dụ:
3xy2 – 12xy + 12x = 3x( y2 – 4y + 4)
= 3x(y – 2)2 3x3y – 6x2y – 3xy3 - 6axy2 – 3a2 xy + 3xy = 3xy(x2 – 2y –y2 – 2ay- a2+ 1)
= 3xy[( x2 – 2x + 1) - (y2 + 2ay + a2)]
= 3xy[(x – 1)2 – (y + a)2]
= 3xy[(x – 1)- ( y+ a)][(x – 1) + (y+ a)]
= 3xy( x -1 – y – a)(x -1 +y + a)
5 Ph ơng pháp tách một hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử.
Trang 3a) Phơng pháp: Tách một hạng tử thành hani hạng tử để đa thức
có nhiều hạng tử hơn rồi dùng phơng pháp nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung
b) Ví dụ: Phân tích: x2 - 6x + 8
* Cách 1: x2 – 6x + 8 = x2 – 2x – 4x + 8
= x(x – 2) – 4( x – 2) = (x- 2)(x- 4)
* Cách 2: x2 - 6x + 8 = x2 – 6x + 9 - 1
= (x – 3)2 – 1 = ( x – 3 -1)(x-3 + 1) = (x- 4)( x- 2)
* Cách 3: x2 - 6x + 8 = x2 – 4 – 6x + 12
= ( x – 2)(x+ 2) – 6(x- 2) = (x- 2)(x- 4)
* Cách 4: x2 - 6x + 8 = x2 – 16 – 6x + 24 = ( x- 4)(4 + x) - 6(x – 4)
= (x- 4)( x + 4 – 6) = (x - 4) ( x – 2)
* Cách 5 : x2 - 6x + 8 = x2 – 4x + 4 – 2x + 4 = (x- 2)2 – 2( x -2)
= (x- 2)( x- 2 – 2) = ( x- 2)(x – 4) Tuy rằng có nhiều cách tách nhng thông dụng nhất là hai cách sau:
* Cách 1: Tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử rồi dùng phơng pháp nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung mới
áp dụng trong khi phân tích tam thức bậc hai ax2 + bx + c thành nhân
tử ta làm nh sau:
+ Tìm tích ac + Phân tích tích ac thành tích của 2 thừa số nguyên bằng mọi cách
+ Chọn hai thừa số có tổng bằng b
Khi đó hạng tử bx đã đợc tách thành 2 hạng tử bậc nhất
Ví dụ: 4x2 – 4x – 3
Tính tích: ac = 4.(-3) = - 12 Phân tích : - 12 = -1.12 = 1.(-12) = - 2.6 = -3.4 = 3.(-4) Chọn 2 thừa số có tổng là : - 4 đó là 2 và (-6)
4x2 – 4x – 3 = 4x2 + 2x - 6x – 3 = 2x(2x + 1) – 3(2x+ 1)
= (2x+ 1)(2x – 3)
* Cách 2: Tách hạng tử không đổi thành 2 hạng tử rồi đa đa thức về dạng hiệu hai bình phơng
Trang 4Ví dụ: 4x2 – 4x – 3 = 4x2 – 4x +1 – 4 = ( 2x – 1) -22
= ( 2x -1 -2)( 2x- 1+ 2) = (2x + 1)(2x- 3)
3x2 – 8x + 4 = 4x2 – 8x + 4 – x2 = (2x-2)2 – x2
= ( 2x – 2 – x)(2x – 2 + x) = (x -2)(3x – 2)
6 ph ơng pháp thêm bớt cùng một hạng tử.
a) Phơng pháp : Thêm bớt cùng một hạng tử để đa đa thức về
dạng hằng đẳng thức hoặc nhóm nhiều hạng tử Thông thờng hay đa về dạng
a2 – b2 sau khi thêm bớt
b) Ví dụ: 4x4+ 81 = 4x4 + 36x2 + 81 – 36x2
= ( 2x2+ 9)2 – (6x)2
= (2x2 + 9 – 6x)(2x2 + 9 + 6x)
x7 + x2 + 1 = x7 – x + x2 + x + 1 = x(x6 – 1) + (x2+ x + 1)
= x(x3 – 1)(x3 + 1) + (x2+ x + 1)
= x(x3 +1)(x- 1)(x2 + x + 1) + ( x2 + x + 1)
= (x2+ x+ 1)(x5- x4 – x2 - x + 1)
II Các ph ơng pháp khác:
1 Ph ơng pháp đổi biến số ( đặt ẩn phụ).
a) Phơng pháp: Đặt ẩnphụ để đa về dạng tam thức bậc hai rồi sử
dụng cac phơng pháp cơ bản
b) Ví dụ: Đa thức đã cho có dạng :
+) 6x4- 11x2+ 3
Đặt x2 = y ta có 6y2-11y + 3 = ( 3y – 1)( 2y – 3)
Vậy : 6x4- 11x2+ 3 = (3x2 – 1)( 2x2 – 3)
+) (x2 + x)2 + 3( x2 + x) + 2 Đặt x2 + x = y
Ta có y2 + 3y +2 = ( y + 1)( y + 2)
Vậy : (x2 + x)2 + 3( x2 + x) + 2 = (x2 + x + 1)(x2+x + 2)
2.Ph ơng pháp hệ số bất định.
a) Phơng pháp: Phân tích thành tích của hai đa thức bậcnhất
hoặc bậc hai hay một đa thức bậc nhất, một đa thức bậc hai dạng
( ax +b)( cx2 + dx + m) rồi biến đổi cho đồng nhất hệ số của đa thức này vơí
hệ số của đa thức kia
b) Ví dụ: x3 – 19x – 30 Nếu đa thức này phân tích đợc thành nhân tử thì tích đó phải có dạng
Trang 5x(x2 + bx + c) = x3 + (a + b)x2 + ( ab + c)x + ac
Vì hai đa thức này đồng nhất trên
a+ b = 0
ab + c = -19
ac = -30 Chọn a =2, c = - 15
Khi đó b = - 2 thoả mãn 3 điều kiện trên
Vậy: x3 – 19x – 30 = (x + 2))( x2 - 2x – 15)
3 Ph ơng pháp xét giá trị riêng.
a) Phơng pháp: Xác định dạng các thừa số chứa biến của đa
thức, rồi gán cho các biến giá trị cụ thể xác định các thà số còn lại
b) Ví dụ:
p = x2( y – z) + y2 (z – c) + z(x - y) Thay x bởi y thì p = y2 ( y – z) + y2( z – y) = 0
Nh vậy p chứa thừa số(x – y)
Ta thấy nếu thay x bởi y , thay y bởi z, thay z bởi x thì p không đổi (đa thức p có thể hoán vị vòng quanh) Do đó nếu p đã chứa thừa số ( x – y) thì cũng chứa thừa số ( y – z), ( z – x) Vậy p có dạng k(x – y)(y – z)(z- x)
Ta thấy k phải là hằng số vì p có bậc 3 đối với tập hợp các biến x, y, z; còn tích
(x – y)(y- z)(z – x) cũng có bậc 3 đối với tập hợp các biến x,y,z
Vì đẳng thức x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) = k(x –y)(y – z)(z- x)
đúng với mọi x, y, z Nên ta gán cho các biến x ,y, z các giá trị riêng chẳng hạn:
x =2 , y = 1, z = 0 ta đợc 4.1 + 1.(-2) + 0 = k.1.1.(-2) suy ra k =1
Vậy p = -(x – y)(y – z)(z – x) = (x- y)(y – z)( x – z)
4 Ph ơng pháp tìm nghiệm của đa thức:
a) Phơng pháp: Cho đa thức f(x), a là nghiệm của đa thức f(x) nếu
f(x) = 0 Nh vậy nếu đa thức f(x) chứa nhân tử (x – a) thì phải là nghiệm của đa thức
Ta đã biết rằng nghiệm nguyên cảu đa thức nếu có phải là ớc của hệ số tự do
Ví dụ: x3 + 3x – 4
Nếu đa thức trên có nghiệm là a (đa thức có chứa nhân tử ( x- a) thì nhân tử còn lại có dạng x2 + bx = c suy ra –ac = - 4 suy ra a là ớc của - 4
Trang 6Vậy trong đa thức với hệ số nguyên nghiệm nguyên nếu có phải là ớc của hạng tử không đổi
Ước của (-4) là -1; 1; -2; 2; - 4; 4 Sau khi kiểm tra ta thấy 1 là nghiệm của đa thức suy ra đa thức chứa nhân tử ( x – 1)
Do vậy ta tách các hạng tử của đa thức làm xuất hiện nhân tử chung ( x – 1)
* Cách 1:
x3 + 3x2 – 4 = x3 – x2 + 4x2 – 4 = x2(x – 1) + 4(x -1)(x + 1)
= ( x – 1)(x2+ 4x +4) = (x- 1)(x+ 2)2
* Cách 2: x3 + 3x2 – 4 = x3 – 1 + 3x2 – 3 = (x3 – 1) + 3(x2 – 1)
= (x – 1)( x2 + x + 1) + 3(x2 – 1)
= ( x – 1)( x+ 2)2
Chú ý:
+ Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng không thì đa thức chứa nhân tử (x –
1)
+ Nếu đa thức có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hạng
tử bậc lẻ thì đa thức chứa nhân tử ( x + 1)
Ví dụ:
* Đa thức : x3 – 5x2 + 8x – 4 có 1-5 + 8 – 4 = 0
Suy ra đa thức có nghiệm là 1 hay đa thức có chứa thừa số ( x – 1)
* Đa thức: 5x3 – 5x2 + 3x + 9 có (- 5) + 9 = 1+ 3
Suy ra đa thức có nghiệm là -1 hay đa thức chứa thừa số ( x+ 1)
+ Nếu đa thức không có nghiệm nguyên nhng đa thức có nghiệm hữu tỉ Trong đa thức với hệ số nguyên nghiệm hữu tỷ nếu có phải có dạng p/q trong
đó p là ớc của hạng tử không đổi, q là ớc dơng của hạng tử cao nhất
Ví dụ: 2x3 – 5x2 + 8x – 3
Nghiệm hữu tỷ Nếu có của đa thức trên là:
( - 1); 1; (-1/2); 1/2 ; ( -3/2); 3/2 ; -3
Sau khi kiểm tra ta thấy x = 1/2 là nghiệm nên đa thức chứa nhân tử ( x - 1/2) hay (2x – 1) Do đó ta tìm cách tách các hạng tử của đa thức để xuất hiện nhân tử chung (2x – 1)
2x3 - 5x2 + 8x – 3 = 2x3- x2 – 4x2 + 2x + 6x – 3
= x2( 2x – 1) – 2x( 2x – 1) + 3(2x – 1) = ( 2x – 1)(x2 – 2x + 3)
5 Ph ơng pháp tính nghiệm của tam thức bậc hai
Trang 7a) Phơng pháp: Tam thức bậc hai ax2 + bx + c Nếu b2 – 4ac là bình phơng của mmột số hữu tỷ thì có thể phân tích tam thức thành thừa số bằng một trong các phơng pháp đã biết
Nếu b2 – 4ac không là bình phơng của một số hữu tỷ nào thì không thể phân tích tiếp đợc nữa
b) Ví dụ: 2x2 – 7x + 3
a = 2 , b = -7 , c = 3 Xét b2 – 4ac = 49 – 4.2.3 = 25 = 55
Suy ra Phân tích đợc thành nhân tử: 2x2 – 7x + 3
= ( x – 3)(2x – 1)
Hoặc có thể phân tích bằng cách để ra bình phơng đủ
2x2 – 7x + 3 = 2/9x2 – 7/2x + 3/2
= 2( x2 – 2.7/4 + 49/16 – 25/16) = 2[(x – 7/4)2 – (5/4)2] = 2(x – 1/2)(x – 3)
= (2x -1)(x- 3)
Chú ý: P(x) = ax2 + bx + c có nghiệm là x1 , x2 thì
P(x) = a( x- x1)(x – x2)
Ký duyệt của BGH
Tuần:
Phần 2: các bài toán phân tích đa thức
1 Bài toán rút gọn biểu thức.
a) Ví dụ: Cho A = (2− x x +3 − 3− x
x +2+
2− x
x2
+5 x+ 6)
a) Rút gọn A b) Tính giá trị của A với x = 998
c) Tìm giá trị của x để A > 1
b) Đờng lối giải: Dựa trên cơ sở của tính chất cơ bản của phân
thức đại số, phân tích tử và mẫu thức thành nhân tử nhằm xuất hiện nhân tử chung rồi rút gọn, đồng thời tìm tập xác định của biểu thức thông qua các nhân tử nằm ở dới mẫu
Trang 8Với học sinh: Rèn luyện kỹ năng vận dụng các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào loại bài toán rút gọn, giúp học sinh thấy đợc sự liên hệ chặt chẽ giữa các kiến thức phát triển trí thông minh
2 Bài toán giải phơng trình:
a) Đờng lối giải: Với các phơng trình bậc hai trở lên việc áp dụng các
phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử rất quan trọng, vì sau khi phân tích vế chứa ẩn thì đợc dạng phơng trình tích A.B = 0 khi và chỉ khi A = 0 hoặc B = 0
b) Ví dụ:
+) Giải phơng trình: ( 4x + 3)2 – 25 = 0 Giải : áp dụng phơng pháp phân tích đa thức vế trái thành nhân tử đa phơng trình về dạng
8(2x – 1)( x+ 2) = 0 ⇒ x = 1/2 hoặc x = -2 +) Giải phơng trình: 3x2 + 5x - 2 = 0
Giải: áp dụng phơng pháp phân tích tam thức bậc 2 ở vế trái thành nhân
tử đa phơng trình về dạng
( 3x – 1)( x + 2) = 0 ⇒ x = 1/3 hoặc x = -2
3 Bài toán giải bất phơng trình
a) Đờng lối giải: Với các bất phơng trình bậc cao hoặc các bất phơng
trình có chứa ẩn ở mẫu thì việc rút gọn biểu thức và phơng trình thành đa thức
tử và mẫu thành nhân tử đóng vai trò rất quan trọng khi đa bất phơng trình về dạng bất phơng trình tích
( A.B < 0) hoặc A.B > 0) hay bất phơng trình thờng
b) Ví dụ: Giải bất phơng trình
x
x −2 −
2
x −3>1
− 2
(x − 2)¿ ¿
Vì - 2 < 0 ⇒( x- 2)(x- 3) < 0 ⇒ 2 < x< 3
3x3 – 10x – 8 > 0
⇒ ( 3x + 2)( x – 4) > 0 lập bảng xét dấu tích
⇒ x < - 2/3 hoạc x > 4
4 Bài toán chứng minh về chia hết
Trang 9a) Đờng lối giải: Biến đổi đa thức đã cho thành một tích trong đó
xuất hiện thừa số có dạng chia hết
b) Ví dụ: * Chứng minh rằng ∀x Z ta có biểu thức:
P = ( 4x + 3) 2 – 25 chia hết cho 8 Phân tích P = 8( 2x – 1)( x + 1) chia hết cho 8
* Chứng minh rằng: ∀n Z thì biểu thức
n
3+
n2
2+
n3
6 là số nguyên
Biến đổi biểu thức về dạng
2n+ 3 n2+n3
6
Và chứng minh ( 2n + 3n2 + n3) chia hết cho 6
2n + 3n2 + n3 = n( n+ 1)( n +2) là tích của 3 số nguyên liên tiếp vì vậy ít nhất có một thừa số chia hết cho 2 và chia hết cho 3
mà (2;3) = 1 nên tích này chia hết cho 6
Vậy ∀n Z thì biểu thức
n
3+
n2
2+
n3
6 là số nguyên
* GV lu ý: Trên đây là 4 loại bài toán áp dụng kỹ năng phân tích đa
thức thành nhân tử Tất nhiên không chỉ có 4 dạng này mà còn có một số bài tập khác ( không điển hình, ít gặp) có vận dụng phân tích đa thức thành nhân
tử Với những bài tập vận dụng này đã giúp học sinh phát triển t duy, óc sáng tạo tìm tới phơng pháp giải toán nhanh hơn, thông minh hơn Đờng lối
giải những bài tập này là học sinh biết vận dụng phơng pháp thích hợp để giải Giáo viên hãy tác động đến từng đối tợng sao cho phù hợp nh với học sinh trung bình cần gợi ý tỷ mỉ, học sinh khá giỏi nêu ra nét cơ bản hớng dẫn giải theo con đờng ngắn nhất Có nh vậy học sinh sẽ tích cực tìm tòi và phát huy trí học của mình
Qua các bài tập vận dụng kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử học sinh cần đợc rèn luyện củng cố phơng pháp t duy tổng hợp
Ký duyệt của BGH