H là trực tâm của tam giác.. D là một điểm trên cung BC không chứa điểm A.. a, Xác định vị trí của điẻm D để tứ giác BHCD là hình bình hành.. b, Gọi P và Q lần lợt là các điểm đối xứng c
Trang 1Đề 2
−
+
−
+
+
−
−
−
1
1 2 2 : 1 1
x
x x x
x
x x x x
x x
a,Rút gọn P
b,Tìm x nguyên để P có giá trị nguyên
Bài 2: Cho phơng trình: x2-( 2m + 1)x + m2 + m - 6= 0 (*)
a.Tìm m để phơng trình (*) có 2 nghiệm âm
b.Tìm m để phơng trình (*) có 2 nghiệm x1; x2 thoả mãn 3
2 3
=50
Bài 3: Cho phơng trình: ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm dơng phân biệt x1,
x2Chứng minh:
a,Phơng trình ct2 + bt + a =0 cũng có hai nghiệm dơng phân biệt t1 và t2 b,Chứng minh: x1 + x2 + t1 + t2 ≥4
Bài 4: Cho tam giác có các góc nhọn ABC nội tiếp đờng tròn tâm O H là
trực tâm của tam giác D là một điểm trên cung BC không chứa điểm A
a, Xác định vị trí của điẻm D để tứ giác BHCD là hình bình hành
b, Gọi P và Q lần lợt là các điểm đối xứng của điểm D qua các đờng thẳng AB và AC Chứng minh rằng 3 điểm P; H; Q thẳng hàng
c, Tìm vị trí của điểm D để PQ có độ dài lớn nhất
Bài 5: Cho hai số dơng x; y thoả mãn: x + y ≤ 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = x2 1y2 +501xy
+
Đáp án Bài 1: (2 điểm) ĐK: x ≥ 0 ;x≠ 1
1
1 2
: 1
1
−
−
−
−
x
x x
x
x
x z <=> P = ( 11)2 −11
+
=
−
−
x
x x
x
b P =
1
2 1 1
1
− +
=
−
+
x x
x
Trang 2§Ó P nguyªn th×
) ( 1 2
1
9 3
2
1
0 0
1
1
4 2
1
1
Loai x
x
x x
x
x x
x
x x
x
−
=
⇒
−
=
−
=
⇒
=
⇒
=
−
=
⇒
=
⇒
−
=
−
=
⇒
=
⇒
=
−
VËy víi x= {0 ; 4 ; 9} th× P cã gi¸ trÞ nguyªn
Bµi 2: §Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ©m th×:
<
+
=
+
>
− +
=
≥
− +
−
+
=
∆
0 1 2
0 6
0 6 4
1
2
2
1
2
2
1
2 2
m
x
x
m
m
x
x
m m m
2 1
0 )3 )(2 (
0 25
−<
⇔
−<
>
+
−
>
=∆
m
m m
b Gi¶i ph¬ng tr×nh: ( 2 ) 3 ( 3 ) 3 50
= +
−
−
−
=
+
−
=
⇔
=
− +
⇔
= + +
⇔
2
5 1 2
5 1
0 1 50
) 7 3 3 ( 5
2 1
2 2
m m
m m m
m
Bµi 3: a V× x1 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: ax2 + bx + c = 0 nªn ax12 + bx1 + c
=0
V× x1> 0 => c 1 . 1 0
1
2
1 + + =
x
b
1
1
x lµ mét nghiÖm d¬ng cña
ph-¬ng tr×nh: ct2 + bt + a = 0; t1 =
1
1
x V× x2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh:
ax2 + bx + c = 0 => ax22 + bx2 + c =0
2 2
2
= +
+
x
b
2
1
cña ph¬ng tr×nh ct2 + bt + a = 0 ; t2 =
2
1
x
Trang 3Vậy nếu phơng trình: ax2 + bx + c =0 có hai nghiẹm dơng phân biệt x1; x2 thì
phơng trình : ct2 + bt + a =0 cũng có hai nghiệm dơng phân biệt t1 ; t2 t1 =
1
1
x ; t2 =
2
1
x
b Do x1; x1; t1; t2 đều là những nghiệm dơng nên
t1+ x1 =
1
1
x + x1 ≥2 t2 + x2 =
2
1
x + x2 ≥2
Do đó x1 + x2 + t1 + t2 ≥4 Bài 4
a Giả sử đã tìm đợc điểm D trên cung BC sao cho tứ giác BHCD là hình bình
hành Khi đó: BD//HC; CD//HB vì H là trực tâm tam giác ABC nên
CH ⊥ AB và BH⊥ AC => BD⊥ AB và CD⊥ AC
Do đó: ∠ABD = 900 và ∠ACD = 900
Vậy AD là đờng kính của đờng tròn tâm O
Ngợc lại nếu D là đầu đờng kính AD
của đờng tròn tâm O thì
tứ giác BHCD là hình bình hành
b) Vì P đối xứng với D qua AB nên ∠APB = ∠ADB
nhng ∠ADB =∠ACB nhng ∠ADB = ∠ACB
Do đó: ∠APB = ∠ACB Mặt khác:
∠AHB + ∠ACB = 1800 => ∠APB + ∠AHB = 1800
Tứ giác APBH nội tiếp đợc đờng tròn nên ∠PAB = ∠PHB
Chứng minh tơng tự ta có: ∠CHQ = ∠DAC
Vậy ∠PHQ = ∠PHB + ∠BHC +∠ CHQ = ∠BAC + ∠BHC = 1800
Ba điểm P; H; Q thẳng hàng
c) Ta thấy ∆ APQ là tam giác cân đỉnh A
Có AP = AQ = AD và ∠PAQ = ∠2BAC không đổi nên cạnh đáy PQ
đạt giá trị lớn nhất AP và AQ là lớn nhất hay AD là lớn nhất
H
O P
Q
D
C B
A
Trang 4 D là đầu đờng kính kẻ từ A của đờng tròn tâm O