Đờng tròn này cắt AB và AC lần lợt tại E và F.. Chứng minh a EF // BC b Các tam giác AED và ADC; àD và ABD là các tam giác đồng dạng.
Trang 1Đề 13 Bài 1: Cho biểu thức A =
2
1
1 4( 1)
x
− − + + −
−
− ữ
− −
a) Tìm điều kiện của x để A xác định
b) Rút gọn A
Bài 2 : Trên cùng một mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A(5; 2) và B(3; -4)
a) Viết phơng tình đờng thẳng AB
b) Xác định điểm M trên trục hoành để tam giác MAB cân tại M
Bài 3 : Tìm tất cả các số tự nhiên m để phơng trình ẩn x sau:
x2 - m2x + m + 1 = 0
có nghiệm nguyên
Bài 4 : Cho tam giác ABC Phân giác AD (D ∈ BC) vẽ đờng tròn tâm O qua A
và D đồng thời tiếp xúc với BC tại D Đờng tròn này cắt AB và AC lần lợt tại E
và F Chứng minh
a) EF // BC
b) Các tam giác AED và ADC; àD và ABD là các tam giác đồng dạng c) AE.AC = à.AB = AC2
Bài 5 : Cho các số dơng x, y thỏa mãn điều kiện x2 + y2 ≥ x3 + y4 Chứng minh:
x3 + y3≤ x2 + y2≤ x + y ≤ 2
Đáp án
Bài 1:
a) Điều kiện x thỏa mãn
2
1 0 4( 1) 0 4( 1) 0 4( 1) 0
x
− ≠
− − ≥
+ − ≥
− − >
⇔
1 1 1 2
x x x x
≠
≥
≥
≠
⇔ x > 1 và x ≠ 2
KL: A xác định khi 1 < x < 2 hoặc x > 2
b) Rút gọn A
2
( 1 1) ( 1 1) 2
1 ( 2)
x x
− − + − + −
−
−
− − + − + −
Trang 2Với 1 < x < 2 A = 2
1 −x
Với x > 2 A = 2
1
x−
Kết luận
Với 1 < x < 2 thì A = 2
1 −x
Với x > 2 thì A = 2
1
x−
Bài 2:
a) A và B có hoành độ và tung độ đều khác nhau nên phơng trình đờng thẳng
AB có dạng y = ax + b
A(5; 2) ∈ AB ⇒ 5a + b = 2
B(3; -4) ∈ AB ⇒ 3a + b = -4
Giải hệ ta có a = 3; b = -13
Vậy phơng trình đờng thẳng AB là y = 3x - 13
b) Giả sử M (x, 0) ∈ xx’ ta có
MA = (x− 5) 2 + − (0 2) 2
MB = (x− 3) 2 + + (0 4) 2
∆MAB cân ⇒ MA = MB ⇔ (x− 5) 2 + = 4 (x− 3) 2 + 16
⇔ (x - 5)2 + 4 = (x - 3)2 + 16
⇔ x = 1
Kết luận: Điểm cần tìm: M(1; 0)
Bài 3:
Phơng trình có nghiệm nguyên khi ∆ = m4 - 4m - 4 là số chính phơng
Ta lại có: m = 0; 1 thì ∆ < 0 loại
m = 2 thì ∆ = 4 = 22 nhận
m ≥ 3 thì 2m(m - 2) > 5 ⇔ 2m2 - 4m - 5 > 0
⇔ ∆ - (2m2 - 2m - 5) < ∆ < ∆ + 4m + 4
⇔ m4 - 2m + 1 < ∆ < m4
⇔ (m2 - 1)2 < ∆ < (m2)2
∆ không chính phơng
Vậy m = 2 là giá trị cần tìm
Bài 4:
2
ã ã ( 1 ằ )
2
F E
A
B
C D
Trang 3mà ãEDA FAD= ã ⇒EFD FDCã =ã (0,25)
⇒ EF // BC (2 góc so le trong bằng nhau)
b) AD là phân giác góc BAC nên ằDE DF= ằ
2
ACD= sđ(ẳAED DF− ằ ) = 12sđằAE = sđãADE
do đó ãACD ADE= ã và ãEAD DAC=ã
⇒∆DΑΕ ∼ ∆ADC (g.g)
Tơng tự: sđ ã 1 ằ 1 (ẳ ằ )
do đó ∆AFD ~ →ΑΒ (g.g
c) Theo trên:
+ ∆AED ~ ∆ΑDB
⇒ AE AD = AD AC hay AD2 = AE.AC (1) + ∆ADF ~ ∆ABD ⇒ AD AB = AD AF
⇒ AD2 = AB.AF (2)
Từ (1) và (2) ta có AD2 = AE.AC = AB.AF
Bài 5 (1đ):
Ta có (y2 - y) + 2 ≥ 0 ⇒ 2y3≤ y4 + y2
⇒ (x3 + y2) + (x2 + y3) ≤ (x2 + y2) + (y4 + x3)
mà x3 + y4≤ x2 + y3 do đó
x3 + y3≤ x2 + y2 (1) + Ta có: x(x - 1)2 ≥ 0: y(y + 1)(y - 1)2≥ 0
⇒ x(x - 1)2 + y(y + 1)(y - 1)2 ≥ 0
⇒ x3 - 2x2 + x + y4 - y3 - y2 + y ≥ 0
⇒ (x2 + y2) + (x2 + y3) ≤ (x + y) + (x3 + y4)
mà x2 + y3≥ x3 + y4
⇒ x2 + y2≤ x + y (2)
và (x + 1)(x - 1) ≥ 0 (y - 1)(y3 -1) ≥ 0
x3 - x2 - x + 1 + y4 - y - y3 + 1 ≥ 0
⇒ (x + y) + (x2 + y3) ≤ 2 + (x3 + y4)
mà x2 + y3≥ x3 + y4
⇒ x + y ≤ 2
Từ (1) (2) và (3) ta có:
x3 + y3≤ x2 + y2≤ x + y ≤ 2