Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số.. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, O là giao điểm của AC và BD.. Biết mặt bên của hình chóp là tam giác đều và khỏang cách từ O đến mặt
Trang 1
ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2009 ĐỀ SỐ 29
Môn thi: TOÁN
Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề.
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7.0 điểm)
Câu I.(2.0 điểm)
Cho hàm số y = x3 – 3x + 1 có đồ thị (C) và đường thẳng (d): y = mx + m + 3
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2 Tìm m để (d) cắt (C) tại M(-1; 3), N, P sao cho tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc nhau
Câu II (2.0 điểm).
1 Giải hệ phương trình:
0 3 2 2
6 ) 2 )(
1 )(
1 (
2
x
y x y
x
2 Giải phương trình : tan2x + cotx = 8cos2x
Câu III (1.0 điểm)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = 2x, y = 3 – x , trục Ox và trục Oy
Câu IV (1.0 điểm)
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, O là giao điểm của AC và BD Biết mặt bên của hình chóp là tam giác đều và khỏang cách từ O đến mặt bên là d Tính thể tích khối chóp đã cho
Câu V (1.0 điểm)
Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta đều có:
2 sin 2 sin 2
sin 4
sin 4 sin 4
II PHẦN RIÊNG (3.0 điểm)
1 Theo chương trình Chuẩn.
Câu VI.a (2.0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa Oxy, cho elip (E): 1
4 6
2 2
y x
và điểm M(1 ; 1) Viết phương trình đường thẳng (d) qua M và cắt (E) tại hai điểm A, B sao cho M là trung điểm AB
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Oz và tạo với mặt phẳng (Q): 2x + y - 3z = 0 một góc 600
Câu VII.a (1.0 điểm).
Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 4x – 4m(2x – 1) = 0
2 Theo chương trình Nâng cao.
Câu VI.b (2.0 điểm).
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; 2), B(1; 6) và đường tròn có phương trình (C): (x - 2)2 + (y - 1)2 = 2 Lập phương trình đường tròn (C’) qua B và tiếp xúc với (C) tại A
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c là những số dương thay đổi sao cho a2 + b2 + c2 = 3 Xác định a, b, c để khoảng cách từ O đến mp(ABC) lớn nhất
Câu VII.b (1.0 điểm).
Tìm m để phương trình: 4log log 0
2 1 2
2 x xm có nghiệm trong khỏang (0; 1)
………Hết ………
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên:………Số báo danh:………
Hướng dẫn Câu I.
1/
Trang 22/ Phương trình hòanh độ giao điểm của (C) và (d): x3 – (m + 3)x – m – 2 = 0
Hay : (x + 1)(x2 – x – m – 2) = 0
(*) 0 2
3 , 1
x
y x
(*) phải có hai nghiệm phân biệt ( m > )
4
9
, xN và xP là nghiệm của (*)
Theo giả thiết: 2 3 2 3 1
3
2 2 3 3
2 2 3 0
1 18
9 2
m
m m
Câu II.
0 5 2 ) ( 6 ) ( 0 5 6 ) ( 0 5 ) 1 (
)
1
(
6 ) 1 1 )(
1 )(
1
(
2 2
2 2
v u uv v
u v u uv y
x
y x y
x
với
1 1
y v x u
Đặt:
v u P
v u
S
2 3 0 5 2 6
S P
S S P
u, v là nghiệm của phương trình: X2 – 3X + 2 = 0
2 1
1 1 1 1
2 1 2
1
y
x y
x X
X
Vậy nghiệm của hệ: (3 ; 2), (2 ; 3)
2/ ĐK:
0 sin
0 2
cos
x x
tan2x + cotx =
x x
x x
x
x x x
x x
x x
x
sin 2 cos
cos sin
2 cos
cos 2 cos sin
2 sin sin
cos 2
cos
2 sin
Pt cosx( 8 sinxcosxcos 2x 1 ) 0 cosx( 2sin4x – 1) = 0
2 24
5 2
24
2
k x
k x
k x
Câu III.
Phương trình : 2x = -x + 3 có một nghiệm duy nhất x = 1 Do đó đồ thị hai hàm số cắt nhau tại điểm có hòanh độ
x = 1 Vậy diện tích cần tính là:
1
0
3
1
2 2 ln
1 )
3 (
2x dx x dx
Câu IV.
d
x
H
M O
D
C B
A
S
Gọi M là trung điểm CD CD (SOM) (SCD) (SOM)
CD OS CD OM
Kẻ đường cao OH của tam giác SOM OH (SCD) OH d
Gọi CM = x Khi đó: OM = x , SM = x 3
x x x x
2
6
2
3 d x x x d CD d SO d
3 2 3 6 3
1
3
d d
d SO
CD
Câu V Theo bất đẳng thức Côsi:
Trang 3
4
si n 4
cos 4
sin 2
sin 2
sin 2
2 sin 2
sin
4
si n 4
cos 4
sin 2
sin 2
sin 2
2 sin 2
sin
4 sin
4 cos
4 sin
2 sin 2
sin 2
2 sin 2
sin
B A
C A
C A
C A
C
A C
B C
B C
B C
B
Nhân vế với vế được bất đẳng thức cần chứng minh
Câu VIa.
1/ Pt của d: y = k(x – 1) + 1
Tọa độ giao điểm của d và (E) là nghiệm của hệ
24 6
4
1 ) 1 (
2
x x k y
Suy ra: (6k2 + 4)x2 – 2(6k2 – k)x + 6k2 – 2k – 23 = 0 (*)
4 6
6 2 4 6
) 6 ( 2
2
2 2
2
k k
k k k
k k
Vậy d : y = -4x + 5 hay 4x + y – 5 = 0
2/ Mp(P) chứa trục Oz nên có dạng Ax + By = 0, n p (A;B; 0 )
và ( 2 ; 1 ; 5 )
Q
2 2
2
1 5 1 4
2 60
cos ) ,
B A
B A n
6A2 16AB 6B2 0
Chọn B = 1 ta có : 6A2 + 16A – 6 = 0 suy ra: A = -3 , A = 1/3
Vậy có hai mặt phẳng (P) cần tìm là: x + 3y = 0 và -3x + y = 0
Câu VII a.
Đặt t = 2x (t > 0) ta có phương trình: t2 – 4mt + 4m = 0 (*)
1
2
t
t
Xét
1
2
t
t
2 1
2 '
t
t t y
y’ = 0 t 0 t 2
+
-
+
0
0 0
2
y
y'
Từ bảng biến thiên ta có : m < 0 m 1
Câu VI b
1/ (C) có tâm I(2 ; 1) và phương trình của đường thẳng AI: x + y – 3 = 0
Pt của (C’) : x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 có tâm I’(-a ; -b)
A(1 ; 2), B(1 ; 6) thuộc (C’) và tâm I’ thuộc đường thẳng AI Ta có hệ phương trình:
0 3
37 12
2
5 4
2
b
a
c b
a
c b
a
, giải hệ được a = 1, b = -4, c = 9
Pt của (C’) : x2 + y2 + 2x – 8y + 9 = 0
2/ Pt mp(ABC):
2 2 2
1 1 1
1 ))
(
; ( 1
c b a
ABC O d c
z b
y a
x
Theo bất đẳng thức Côsi : 3
2 2 2 2
2 2
1 3 1 1 1
c b a c
b
a và 3 = a2 + b2 + c2 3 3 a2b2c2
Ta có :
3
1
3 1 1 1 3 1 1
1
2 2 2 2
2
c b a c
b
a
Dấu = xảy ra khi a2 = b2 = c2 hay a = b = c = 1
Vậy d lớn nhất bắng
3
1
khi a = b = c = 1
Câu VII b
Trang 4Pt đã cho log log 0 ( 0 ; 1 ) log log 0
2
1
2 2
Đặt t log2 x ,x(0;1) t( ;0]
t t m m t t t
Xét hàm số y = -t2 – t có y’ = -2t – 1
y’ = 0
4
1 , 2
1
t -
-2
1
0
y’ + 0 -
y
4
1
- 0
ĐS : m
4 1