Điểm M nằm trên đờng chéo AC.. Gọi EF theo thứ tự là hình chiếu của M trên AD, CD.
Trang 1Phòng GD Ngọc Lặc Đề thi học sinh giỏi lớp 8 môn
Trờng PTDT Nội Trú toán năm học 2006 - 2007
(thời gian làm bài 150 phút)
Đề bài
Bài 1: ( 4 điểm )
a, Phân tích thành nhân tử:
( ) (3 ) (3 ) (3 )3
a b c+ + − + −a b c − + −b c a − + −c a b
b, Xác định các hằng số a, b sao cho:
3 3
5 50
ax +bx + x− chia hết cho 2
3 10
x + x−
Bài 2: ( 4 điểm )
a, Chứng minh rằng phân số sau đây tối giản với mọi số tự nhiên n:
2 1
2 1
n n
+
−
b, Tìm nghiệm nguyên của phơng trình sau:
2xy+ 4x y− = 5
Bài 3: (2,5 điểm )
a, giải phơng trình:
9 20 11 30 13 42 18
b, tìm giá trị nhỏ nhất của:
( )x ( 1) ( 3) ( 4) ( 6) 10
Bài 4: ( 4 điểm )
Cho hình vuông ABCD Điểm M nằm trên đờng chéo AC Gọi EF theo thứ tự
là hình chiếu của M trên AD, CD Chứng minh rằng:
a, BM ⊥EF
b, Các đờng thẳng BM, AF, CE đồng qui
Bài 5: ( 3 điểm )
Tam giác ABC có AB = 4 cm, AC = 5 cm, BC = 6 cm Chứng minh rằng
2
∠ = ∠
Trang 2
-Hết -Đáp án đề thi học sinh giỏi lớp 8
Bài 1
x y z a b c
⇒ + + = + +
( ) (3 ) (3 ) (3 )3
24
a b c+ + − + −a b c − + −b c a − + −c a b = abc
( ) ( ) ( )
3 x y y z z x
24
a b c+ + − + −a b c − + −b c a − + −c a b = abc
1 điểm
0,5 điểm 0,5 điểm
1 điểm
b, Dùng phơng pháp hệ số bất định
ax +bx + x− = x + x− ax+
Ta có: (x2 + 3x− 10) (ax+ 5) = ax3 + +(5 3a x) 2 +(15 10 − a x) − 50
Vậy a = 1, b = 8
0,5 điểm
0,5 điểm
Bài 2
a, Gọi c ( 2n +1; 2n2 - 1) + d
=> [ n (2n +1) – (2n2 -1) ] chia hết cho d
n +1
[(2n +1) – 2 (n +1)] chia hết cho d
-1 chia hết cho d
d = 1 ; d = - 1
⇒( 2n + 1; 2n - 1 ) = 1 điều này chứng tỏ phân số 2 2 1
2 1
n n
+
− tối giản
với mọi số tự nhiên n
0,5 điểm 0,5 điểm
0,5đ
0,5 điểm
b,
(2điểm) 2xy + 4x - y = 5⇔2x( y + 2) - ( y +2 ) = 3
⇒( y + 2 )( 2x - 1 ) = 3
Vì x, y ∈ Z ⇒ y + 2∈ Z; 2x - 1 ∈ Z
Ta có các trờng hợp sau:
Vậy (x y; ) ( ) ( ) (∈{ 1;1 ; 2;1 ; 0; 5 ; 1; 3 − ) (− − ) }
1 điểm
0,5 điểm
0,5 đ
Trang 3Bài 3
a,
(x 4) (1x 5) (+ x 5) (1x 6) (+ x 6) (1x 7) = 181
ĐKXĐ: x≠ − − − − 4; 5; 6; 7
4 7 18
2 2
18 3 11 28
11 26 0
⇔x = -13 hoặc x = 2
x = -13 hoặc x = 2 thỏa mãn ĐKXĐ
Vậy tập nghiệm của phơng trình là S= −{ 13; 2}
1điểm
1 điểm
1 điểm
b, A( )x =(x2 − 7x+ 6) (x2 − 7x+ 12)+ 10
Đặt 2
7 6
x − x+ = t
( ) ( )
( )2 2
6 10
6 9 1 3 1 1
t
( )t Min 1
A = đạt đợc khi t = -3
( )x Min 1
A
⇒ = đạt đợc khi 2
7 6
x − x+ = -3
⇔x2 - 7x + 9 = 0 =>
1 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm Bài 4:
a
b
K
H
F
Gọi H là giao điểm BM và EF
K là giao điểm EM và BC Chứng minh đợc EMF BKM g c g( . )
Mà ∠KMB= ∠EMH( đối đỉnh )
0 0
90 90
hay BH ⊥EF
b) chứng minh đợc EC BF, AF BE + xét BEF có các đờng cao BH; EC;
FA’ nên các đờng BM, AF, CE đồng quy tại một điểm
0,5đ
0,5 điểm
1 điểm
1 điểm
1 điểm
Trang 4Bài 5:
a
6 5 5
4
A
E Trên tia đối của tia AE lấy điểm E sao
cho : AE = 5 cm Xét ∆ABCvà ∆EBC ta có:
Góc B chung
;
ABC
⇒ ∆ đồng dạng với ∆CBE c g c( . ) 1
mà ∆ACE cân tại A nên
2
0,5đ
1 điểm 0,5đ
1 điểm