Qua điểm M thuộc nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến cắt Ax; By tại C và D.. Gọi E là giao điểm của AM và By ; F là giao điểm của BM với Ax.. AF b Tìm giá trị bé nhất của diện tích tứ giác CDEF
Trang 1Phòng GD-ĐT nghi lộc đề thi học sinh giỏi năm học 2008-2009
Thời gian làm bài 150 phút
Bài 1: Chứng minh rằng A =
9
2
10 2008 + 3 là số tự nhiên
Bài 2: ChoM = 6 , 25 + 8 − 2 6 + 20 ; N=
2
1
5 + Hãy so sánh M và N
Bài 3: Giải các phơng trình nghiệm nguyên:
a) xy +x - 2y = 3
b) x2 – 2y2 = 5
Bài 4 : Cho a; b; c là các số dơng thoả mãn điều kiện a+b+c = 2008 Tính giá trị bé nhất
của biểu thức ( 1 2008)( 1 2008)( 1 2008)
c b
a
Bài 5: Cho nửa đờng tròn tâm O, đờng kính AB , trên nửa mặt phẳng có bờ AB cùng phía
nửa đờng tròn kẻ các tiếp tuyến Ax , By Qua điểm M thuộc nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến cắt Ax; By tại C và D Gọi E là giao điểm của AM và By ; F là giao điểm của BM với Ax
a) Chứng minh rằng: AB2 = BE AF
b) Tìm giá trị bé nhất của diện tích tứ giác CDEF khi M chạy trên nửa đờng tròn đã cho
c) Chứng minh trằng : EF , CD, AB đồng quy khi M không phải là điểm chính giữa cung AB
Hớng dẫn chấm toán lớp 9
Trang 2Bài 1: A =
9
8 10 9
2
10 2008 + 3 = 2008 +
Nhận xét : 102008 có tổng các chữ số là 1
=> 102008 + 8 có tổng các chữ số bằng 9 => ĐPCM
Bài 2: M = 6 , 25 + 8 − 2 6 + 20 = 6 , 25 + 8 − 2 5 + 2 5 + 1
= 6 , 25 + 8 − 2 ( 5 + 1 ) 2 = 6 , 25 + 8 − 2 ( 5 + 1 )
= 6 , 25 + 6 − 2 5 = 2
) 1 5 ( 25 ,
6 + − = 6 , 25 + 5 − 1
=
2
1 5 2
1 5 2 2
1 5 2 2 20 4
5 4 21 5 25 ,
=> M = N
Bài 3: a) xy +x - 2y = 3 <=> x(y+1) – 2(y+1) = 5 <=> (y+1)(x-2) =5
=> Hoặc
=
−
=
+
1 2
5
1
x
y
<=>
=
=
3
4
x
y
Hoặc
−=
−
−=
+
1 2
5
1
x
y
<=>
=
−=
1
6
x y
Hoặc
=
−
=
+
5 2
1
1
x
y
<=>
=
=
7
0
x
y
Hoặc
−=
−
−=
+
5 2
1
1
x
y
<=>
−=
−=
3
2
x
y
b) x2 – 2y2 = 5 => x lẻ đặt x = 2k + 1 (k∈Z)
<=> 4k2 + 4k + 1 – 5 = 2y2 <=> 2(k2 + k – 1) = y2 => y chẵn đặt y = 2n (n∈Z) => 2(k2 + k – 1) = 4n2 <=> k2 + k = 2n+1 <=> k(k+1) = 2n+1 vế trái chẵn, vế phải lẻ => PT vô nghiệm
Bài 4:
64 64
) 2008 1
)(
2008 1 )(
2008 1 (
4
4 2
2 2008
1
4
4 2
2 2008
1
4
4 2
2 2008
1
4 2 2 2
4 4 4
=
≥ +
+ +
=>
=
≥ +
≥ + + +
= +
=
≥ +
≥ + + +
= +
=
≥ +
≥ + + +
= +
abc
c b a c
b a
c
ab c
ab c c
ab c
c
c b a c c
b
ac b
ac b b
ac b
b
c b a b b
a
bc a
bc a a
bc a
a
c b a a a
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi : a=b=c=2008/3
Vậy Min Q = 64
Bài 5:
Trang 3
a) Kết luận đợc tam giác : ABF đồng dạng với tam giác BEA.
b)
Trang 4
F
C
E
D M
J