Tài liệu trong cuốn "Phương pháp giải toán hàm số"
Trang 1Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:
1 Tài liệu dễ hiểu − Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này
2 Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc − Đăng kí “Học tập từ xa”.
BÀI GIẢNG QUA MẠNG
CUỐN SÁCH Phương pháp giải toán Hàm số
PHẦN IV: ĐẠO HÀM
Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12
Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC
Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngõ 86 − Đường Tô Ngọc Vân − Hà Nội
Email: nhomcumon68@gmail.com
Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689
C¸c Em häc sinh h·y tham gia häc tËp theo ph¬ng ph¸p " LÊy häc trß lµm trung t©m " 1
Trang 2Phần IV
đạo hàm
mở đầu
1 Số gia đối số và số gia hàm số
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b)
Giả sử xO và x(x ≠ xO) là hai phần tử của (a; b)
Hiệu x - xO, thờng kí hiệu là ∆x (đọc là đenta x), đợc gọi là số gia của
đối số tại điểm x O Ta có: ∆x = x - xO Từ đó
x = xO + ∆x
Hiệu y - yO = f(x) - f(xO), kí hiệu là ∆y, đợc gọi là số gia tơng ứng của
hàm số tại điểm x O Ta có:
∆y = y - yO - f(x) - f(xO) = f(xO + ∆x) - f(xO)
2 Đạo hàm tại một điểm
Định nghĩa 1 Cho hàm số y = f(x), xác định trên (a ; b) và xO∈(a ; b) Nếu tồn tại giới hạn
x
y lim
0
x ∆
∆
→
0
0 x
) x ( ) x ( lim
0 −
−
ta nói hàm số có đạo hàm tại điểm xO và giới hạn đó gọi là đạo hàm của hàm
số tại x0, kí hiệu là f'(xO) hay y'x 0
Vậy ta có định nghĩa:
f'(xO)=
x
y lim
0
x ∆
∆
→
x
) x ( ) x x (
0
−
∆ +
→
∆
hoặc f'(xO)=
0
0 x
) x ( ) x ( lim
0 −
−
→
3 Đạo hàm một phía
a Đạo hàm bên trái của hàm số y=f(x) tại điểm x0, kí hiệu là f'(x ), đợc −0
định nghĩa:
f'( −
0
x )=
x
y lim
0
x ∆
∆
−
→
0
0 x
) x ( ) x ( lim
0 −
−
−
b Đạo hàm bên phải của hàm số y=f(x) tại điểm x0, kí hiệu là f'(x ), đợc +0
định nghĩa:
f'( +
0
x )=
x
y lim
0
x ∆
∆
+
→
0
0 x
) x ( ) x ( lim
0 −
−
+
Trang 3c Vậy hàm số y=f(x) có đạo hàm tại điểm x0 thuộc tập xác định của nó, nếu và chỉ nếu f'( −
0
x ) và f'( +
0
x ) tồn tại và bằng nhau
Khi đó ta có f'(x0)=f'(x )=f'(−0 +
0
x )
4 Đạo hàm trên một khoảng
Định nghĩa 2 Hàm số y = f(x) đợc gọi là có đạo hàm trên khoảng (a ; b) , nếu
nó có đạo hàm tại mọi điểm trên khoảng đó Ký hiệu là f'(x) hay y'
Ta gọi f'(x) là đạo hàm của f(x) trong khoảng (a,b)
Định nghĩa 3 Hàm số y = f(x) đợc gọi là có đạo hàm trên đoạn [a; b], nếu nó
có đạo hàm trên khoảng (a; b), và có đạo hàm bên phải tại a, bên trái tại b
Chú ý Về sau này khi ta nói hàm số y =f(x) có đạo hàm, mà không nói rõ trên
khoảng nào, thì điều đó có nghĩa là đạo hàm tồn tại với mọi giá trị thuộc tập xác định của hàm số đã cho
5 Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số
Dùng khái niệm số gia, ta có thể đặc trng tính liên tục của hàm số y = f(x) tại điểm xO nh sau:
Định lí 1 : Một hàm số y = f(x), xác định trên khoảng (a; b), là liên tục tại
điểm xO∈ (a; b) nếu và chỉ nếu: lim y
0
x ∆
→
∆ =0 "
Chứng minh
Thật vậy, ta có:
) x (
lim
0
x
x → = f(xO) ⇔ xlimx0
→ (f(x) - f(xO)) =0 ⇔ lim y
0
x ∆
→
Định lí 2 : Nếu hàm số y= f(x) có đạo hàm tại điểm x0 thì nó liên tục tại x0 Chứng minh
Theo giả thiết, ta có:
x
y lim
0
x ∆
∆
→
∆ =f'(x0)
Do đó
y lim
0
x ∆
→
x
y ( lim
0
∆
∆
→
x
y lim
0 x 0
∆
∆
→
∆
→
Vậy hàm số y=f(x) liên tục tại điểm x0
Chú ý
1 Mệnh đề đảo của định lý 2 không đúng, nghĩa là một hàm số liên tục tại một điểm x0 có thể không có đạo hàm tại điểm đó
Chẳng hạn xét hàm số y = f(x) =x tại điểm x0 = 0.Ta có:
f(0)=0 và lim (x)
0
x → =xlim0
→ |x|=0
Vậy hàm số đã cho liên tục tại điểm x0 = 0
Mặt khác, ta có:
Trang 4∆y =f(0+∆x)-f(0)=|∆x| ⇒ xy
∆
∆
= x
| x
|
∆
∆
=
<
∆
−
>
∆
0 x khi 1
0 x khi
1
Do đó
x
y lim
0
x ∆
∆
+
→
x
y lim
0
x ∆
∆
−
→
⇒
x
y
lim
0
x ∆
∆
→
∆ không tồn tại ⇒ hàm số y=|x| không có đạo hàm tại x0=0
Bài tập đề nghị: Cho hàm số y=
x 1
| x
|
+ CMR hàm số liên tục tại x=0
những không có đạo hàm tại điểm này
2 Hệ quả Hàm số không liên tục tại x0 thì không có đạo hàm tại điểm đó
6 ý nghĩa hình học của đạo hàm
6.1 ý nghĩa hình học của đạo hàm
Định lí 3: Nếu hàm số y=f(x) có đạo
hàm tại x0 và đồ thị (C) của hàm số
có tiếp tuyến tại điểm M0 (x0, f(x0))
thì hệ số góc của tiếp tuyến với (C)
tại M0 bằng f'(x0)
6.2 Phơng trình của tiếp tuyến tại điểm M 0
Định lí 4: Phơng trình của tiếp tuyến tại điểm M0(x0, y0) của đờng cong y=f(x) là:
y-y0= f'(x0)(x- x0)
Ví dụ: Cho Hypebol (H): y= x1
Viết phơng trình tiếp tuyến của (H) trong các trờng hợp:
a. Tại điểm có hoành độ x0=1
b. Song song với đờng thẳng (d): x+4y=0
Giải:
a Ta lần lợt có:
x
T
M0
M (C)
x0 x0+∆x
f(x0+∆x) f(x0)
∆y
∆x O
y
Trang 5
−
=
⇒
−
=
=
=
1 ) 1 ('
f x
1 ) x
('
f
1 x
1 y
2 0 0
0 0
Do đó phơng trình của tiếp tuyến cần tìm là: y-1=-1(x-1) hay y = -x+2
b Giả sử tiếp điểm là M(x0,
0
x
1 )
Khi đó phơng trình tiếp tuyến có dạng:
y-0
x
1
=- 2
0
x
1
(x-x0) ⇔
y-0
x
1
=- 2
0
x
1
x +
0
x
2 (1)
Tiếp tuyến song song với đờng thẳng (d)
⇔ - 2
0
x
1
=-4
1
−
=
=
2 x
2 x
0
Với x0=2, thay vào (1), đợc tiếp tuyến thứ nhất có dạng:
(d1):
y=-4
1 x+1
Với x0=-2, thay vào (1), đợc tiếp tuyến thứ hai có dạng:
(d2):
y=-4
1 x-1
Vậy, tồn tại hai tiếp tuyến của (H) song song với đờng thẳng
y=-4 1 x