PHÂN TÍCH các câu đồ THỊ đề THI TOÁN

Đối với hàm số liên tục trên thì số điểm cực trị của hàm số bằng số nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ của phương trình y 0.. 0  Bài toán cho hình ảnh đồ thị hàm số nên ta sẽ chuyển việc x

PHÁT TRIỂN ĐỀ TOÁN SỞ GIÁO DỤC HÀ NỘI CÁC CÂU VÂN DỤNG CAO LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Phân tích tư duy

 Để tìm được giá trị nhỏ nhất của hàm số yg x  trên đoạn 3;3 ta cần so sánh các giá trị g       3 , g 0 , g 1 , g 3 mà các đáp án đã cho Con đường để tìm ra kết quả phải trải qua bước lập bảng biến thiên để so sánh thô được các giá trị, sau đó cần sử dụng đến sự so sánh diện tích để tìm kết quả cụ thể

Để lập được bảng biến thiên ta cần xét dấu được đạo hàm cấp 1: g x 2f  x  x1

 Ta cần so sánh được giá trị của f x và x1 trong các khoảng khác nhau, từ suy nghĩ này kết hợp với hình vẽ có các điểm cho sẵn gợi ý cho chúng ta kẻ thêm đường thẳng y x 1

 Chúng ta cần nhớ lại những kiến thức cơ bản sau: Khi đồ thị y f x nằm phía trên đường thẳng y x 1 thì g x 0, khi đồ thị y f x nằm phía dưới đường thẳng y x 1 thì

  0

g x  Khi hai đồ thị cắt nhau thì g x 0

Ta có hình vẽ như sau:

MÃ ĐỀ 003

 Từ hình vẽ ta dễ dàng lập được bảng biến thiên

Lời giải

Ta có: g x 2f '  x  x1; g x 0  f ' x  x 1

313

x x x

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số g x trên đoạn   3;3 bằng g 3

Chọn C

Câu 43.1 Cho hàm số y f x  liên tục trên và có đồ thị

x x x

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số g x trên đoạn   3; 2 bằng g 3

Chọn B

Câu 43.2 Cho hàm số y f x  liên tục trên và có đồ thị

x x x x

x x x x

         

-1;3Maxg x  g 1 ;g 3

Minh x h 1

     2;4

Dựa vào hình vẽ ta thấy, diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục tung, x1, và f   x ,g x

nhỏ hơn phần diện tích hình phẳng giới hạn bởi 3

         

3 0

Câu 43.5 Cho hai hàm số y f x , yg x  có đồ thị hàm số y f x , yg x  như hình vẽ sau :

Xét hàm số h x  f x g x  trên 5;5 , biết rằng :S2 S1S3 Khi đó giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số yh x  trên đoạn 5;5 lần lượt bằng:

PHÁT TRIỂN ĐỀ TOÁN SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO HÀ NỘI

MÃ ĐỀ 003

Câu 45: Cho hàm số y f x  liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ

Hỏi hàm số y f f x 2 có bao nhiêu điểm cực trị?

A 10 B 11

Phân tích tư duy

 Số điểm cực trị của hàm số bằng số điểm mà khi qua điểm đó đạo hàm cấp 1 của hàm số bị đổi dấu Đối với hàm số liên tục trên thì số điểm cực trị của hàm số bằng số nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ của phương trình y 0 Khi đi qua nghiệm kép x hoặc nghiệm bội chẵn 0

thì y không đổi dấu nên x không phải là điểm cực trị 0

 Bài toán cho hình ảnh đồ thị hàm số nên ta sẽ chuyển việc xét nghiệm phương trình y 0

về việc xét tự tương giao đồ thị hai việc này đan xen lẫn nhau nhưng cùng bản chất

Do đó ta có thể khẳng định rằng tổng số điểm cực trị hàm số chính bằng tổng số nghiệm đơn ( hoặc bội lẻ) của y 0 hay bằng số giao điểm của đồ thị y với trục hoành (không được tính điểm tiếp xúc)

 Ta chú ý công thức tính đạo hàm của hàm hợp: y f u x   y x y u u  x

Với mỗi giá trị t1 1; 2 ,t2 2;3 ta sẽ tìm được khoảng của f x , từ đó dựa vào hình vẽ tìm  

được số giao điểm của đường thẳng ym với đồ thị f x  

 Phương trình f x f f x 20 là phương trình tích nên cần chú ý kết luận nghiệm Nếu hai phương trình có nghiệm trùng nhau thì ta nhớ m n m n

a a a  : Bội chẵn x bội chẵn = bội chẵn  nghiệm không là điểm cực trị

Bội lẻ x bội lẻ = bội chẵn  nghiệm không là điểm cực trị

Bội chẵn x bội lẻ= bội lẻ  nghiệm có là điểm cực trị

 Hướng khác phù hợp trắc nghiệm: Ta có thể chọn hàm ước lượng

Vậy phương trình  1 có 3 nghiệm phân biệt

Xét phương trình    ** : f x 0 có 3 giao điểm ứng với ba nghiệm, trong đó có 1 nghiệm bội chẵn tại x2 do đồ thị tiếp xúc với Ox

Xét phương trình *** :  f x  m  0;1 có 2 giao điểm ứng với hai nghiệm

Chú ý f x 0 có nghiệm bội lẻx2 và ff x 20 có nghiệm bội chẵn x2 có nghiệm nên x2 có là điểm cực trị của hàm số

Vậy tổng có 3 4 2 2 11    điểm cực trị

 Hướng khác phù hợp trắc nghiệm: Ta có thể chọn hàm ước lượng Coi các nghiệm đơn và

bội lẻ đều là nghiệm đơn, coi các nghiệm kép và bội chẵn đều là nghiệm kép

y   xx xx x nên hàm số có 11 điểm cực trị

Câu 45.1 Cho hàm số y f x  xác định và liên tục trên Đồ

thị của hàm số y f x  như hình bên

Bảng t d u :

Dựa vào bảng xét dấu vậy hàm số có bốn điểm cực trị Chọn B

Câu 45.2 Cho hàm số y f x  xác định và liên tục trên

Đồ thị của hàm số y f x  như hình bên ố điểm

Câu 45.3 Cho hàm số xác định và liên tục trên

Đồ thị của hàm số như hình bên ố điểm cực

Lấy đối xứng trước ta được đồ thị hàm số như hình bên dưới

Đồ thị hàm số được suy ra từ đồ thị hàm số bằng cách lấy đối xứng trước rồi mới tịnh tiến

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy có điểm cực trị cũng có điểm cực trị vì phép tịnh tiến không làm thay đổi số cực trị Chọn C

Câu 43.5 Cho hàm số xác định và liên tục trên

Đồ thị của hàm số như hình bên ố điểm

Câu 46: Cho hàm số bậc bốn y f x  có đồ thị như hình vẽ

ố giá trị nguyên của tham số m để phương trình

Phân tích tư duy

Để tìm số giá trị nguyên của tham số m sao cho phương trình f xmm có 4 nghiệm

phân biệt thì ta cần tìm số giá trị nguyên của m để đường thẳng y m cắt đồ thị

y f xm tại 4 điểm phân biệt

Chú ý đồ thị hàm số được thiết lập từ đồ thị y f x  bằng cách vẽ đồ thị y f x trước sau

đó mới tịnh tiến sang trái hoặc sang phải tùy theo giá trị m

Đây là việc đơn giản nhưng rất nhiều bạn học sinh nhầm lẫn Các bạn có thể tham khảo 1 số cách xây dựng đồ thị trong bảng sau:

y f x + Giữ nguyên phần đồ thị bên phải Oy của đồ thị y f x 

+ Bỏ phần đồ thị bên trái Oy của y f x , lấy đối xứng phần

đồ thị được giữ qua Oy

 

y f x + Giữ nguyên phần đồ thị phía trên Ox của đồ thị y f x 

+ Bỏ phần đồ thị phía dưới Ox của y f x , lấy đối xứng phần

y f x m Vẽ y f x  trước sau đó tịnh tiến đồ thị lên trên hoặc xuống

dưới tùy theo m

y f xm Tịnh tiến đồ thị qua trái, phải tùy theo m sau đó lấy đối xứng

qua trục Ox (Giữ nguyên phần trên Ox , bỏ phần dưới Ox , lấy

đối xứng phần bị bỏ qua Ox )

Tịnh tiến đồ thị qua trái, phải tùy theo sau đó lấy đối xứng qua trục (Giữ nguyên phần bên phải , bỏ phần bên trái , lấy đối xứng phần được giữ nguyên qua )

Vẽ trước sau đó tịnh tiến đồ thị sang trái hoặc phải tùy theo

Để giải quyết bài này có thể đi theo hai hướng là: vẽ đồ thị hoặc không cần vẽ đồ thị

m hoặc m 1 nhưng chỉ có m  1 thỏa mãn Khi tịnh tiến sang trái , phải m đơn

vị sẽ không làm thay đổi số nghiệm phương trình Vậy có 1 giá trị nguyên thỏa mãn

Để phương trình có 4 nghiệm phân biệt thì  * có 2 nghiệm phân biệt dương

Từ đồ thị của hàm số y f t  trên miền t0

341

m m

Vậy có 1 giá trị nguyên thỏa mãn  họn

Câu 46.1 Cho hàm số bậc bốn y f x  có đồ thị như hình vẽ

ố giá trị nguyên của tham số m để phương trình

Câu 46.2 Đồ thị hàm số có dạng như hình vẽ:

A 1 nghiệm đơn 1 nghiệm kép. B 2 nghiệm đơn 1 nghiệm kép

C 2 nghiệm đơn 2 nghiệm kép. D 4 nghiệm đơn 1 nghiệm kép

02

af x bf x cf x   d

12

Với , không có giao điểm nên (*) vô nghiệm

Với , tiếp xúc tại 1 điểm và cắt tại 2 điểmnên (*) có 1 nghiệm kép

và 2 nghiệm đơn

Với , có 2 giao điểm nên (*) có 2 nghiệm

Vậy phương trình (*) có 4 nghiệm đơn 1 nghiệm kép Chọn D.

Câu 46.3 Đồ thị hàm số đa thức có dạng như hình vẽ :

Phương trình có 4 nghiệm thì số giá trị nguyên của thỏa mãn là

Lời giải

Phương trình có 4 nghiệm thì đồ thị hàm số cắt đường thẳng

tại 4 điểm phân biệt

Đặt Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi

Để phương trình có 4 nghiệm phân biệt thì có 2 nghiệm

1

11;

Câu 46.4 Đồ thị hàm số có dạng như hình vẽ sau:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình có số nghiệm là lớn nhất?

Lời giải

Vẽ đồ thị hàm số bằng cách từ đồ thị hàm số tịnh tiến lên trên 1 đơn vị Phương trình bậc 9 có tối đa 9 nghiệm Do đó đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn nên có 3 giá trị nguyên m thỏa mãn Chọn D.

Câu 46.5 Cho hàm số y f x  và yg x có đồ thị như hình vẽ:

Tổng số nghiệm của hai phương trình f g x 0 và g f x  0 là

Lời giải

* Đồ thị y f x cắt trục hoành tại 4 điểm: x   4; 3,x 0;1 ,x 2;3 ,x 4;5

Vẽ đồ thị yg x 

+Vớix   4; 3 vẽ đường thẳng ym m,    4; 3 không cắt yg x 

+Vớix 0;1 vẽ đường thẳng ym m,  0;1 cắt yg x tại 2 điểm

+Vớix 2;3 vẽ đường thẳng ym m,  2;3 cắt yg x  tại 2 điểm phân biệt +Vớix 4;5 vẽ đường thẳng ym m,  4;5 cắt yg x  tại 2 điểm phân biệt Vậy phương trình f g x 0 có 6 nghiệm phân biệt

* Đồ thị yg x cắt trục hoành tại 3 điểm: x   2; 1,x0,x 1; 2

Vẽ đồ thị y f x 

+Vớix   2; 1 vẽ đường thẳng ym m,    2; 1không cắt y f x 

+Vớix0 vẽ đường thẳng y0 cắt y f x  tại 4 điểm

+Vớix 1; 2 vẽ đường thẳng ym m,  1; 2 cắt y f x tại 8 điểm

Vậy phương trình g f x  0 có 12 nghiệm phân biệt

Vậy tổng số nghiệm hai phương trình f g x 0 và g f x  0 là 18 nghiệm

Phân tích tư duy

Để tìm được khoảng nghịch biến của hàm số ta dựa vào việc xét dấu của đạo hàm cấp 1:

1 0 1

Câu 48.1 Cho hàm số có đồ thị hàm số như hình vẽ:

Hàm số đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?

Lời giải

Ta có

Dựa vào đồ thị, suy ra

Vậy đồng biến trên các khoảng và Chọn C.

x x

 

Câu 48.2 Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ:

Hàm số đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau

x x x

Câu 48.2 Cho hàm số y f x  Đồ thị hàm số y f x như

hình bên Hàm số    2 

g x  f x  x đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?

Xét dấu ta được hàm số đồng biến trên 1; Chọn D.

Câu 48.3 Cho hàm số Hàm số có đồ thị như hình bên

Hàm số đồng biến trên khoảng: