Phân tích tai của đồ thị và đồ thị series parallel

Hơn nữa, khi ta biết một phân tích của đồ thị Series Parallel theo hai phép toán Series và Parallel thì ta có thể giải quyết được nhiều vấn đề trong thời gian tuyến tính như tìm ghép cặp

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS TSKH Phan Thị Hà Dương

Hà Nội - 2019

Tôi xin cam đoan những gì viết trong luận văn là do sự tìm tòi, học hỏi của bản thân và sự hướng dẫn tận tình của cô Phan Thị Hà Dương Mọi kết quả nghiên cứu cũng như ý tưởng của tác giả khác, nếu có đều được trích dẫn cụ thể Đề tài luận văn này cho đến nay chưa được bảo vệ tại bất kì một hội đồng bảo vệ luận văn thạc sĩ nào và cũng chưa hề được công bố trên bất kì một phương tiện nào Tôi xin chịu trách nhiệm về những lời cam đoan.

Hà Nội, tháng 10 năm 2019

Học viên

Nguyễn Thị Thu Hà

Để hoàn thành luận văn này, trước hết tôi xin được bày tỏ sự biết ơnsâu sắc nhất của mình tới PGS.TSKH Phan Thị Hà Dương đã trực tiếphướng dẫn, chỉ bảo tận tình cũng như tạo mọi điều kiện thuận lợi nhấttrong suốt thời gian tôi thực hiện luận văn.

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn các thầy cô, các anh chị và bạn bètrong Viện Toán học đã quan tâm giúp đỡ trong suốt quá trình học tập

và nghiên cứu tại Viện

Qua đây, tôi cũng xin trân trọng cảm ơn sự giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi của cơ sở đào tạo là Học viện Khoa học và Công nghệ, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam trong quá trình thực hiện luận văn.Cuối cùng tôi xin cảm ơn gia đình, người thân đã luôn quan tâm, giúp

đỡ, động viên và khích lệ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Hà Nội, tháng 10 năm 2019

Học viên

Nguyễn Thị Thu Hà

Danh sách hình vẽ 3

1 TÌM HIỂU VỀ PHÂN TÍCH TAI VÀ MỐI LIÊN HỆ VỚI TÍNH

1.1 Các định nghĩa cơ bản về đồ thị và ví dụ 8

1.2 Tính liên thông của đồ thị 12

1.3 Các loại liên thông trên đồ thị 15

1.3.1 Đồ thị k - liên thông 15

1.3.2 Đồ thị k - cạnh liên thông 21

1.4 Hai loại phân tích tai Điều kiện để có phân tích tai 24

1.4.1 Phân tích tai loại 1 24

1.4.2 Phân tích tai loại 2 27

2 NHẬN DẠNG ĐỒ THỊ SERIES PARALLEL DỰA TRÊN PHÂN

1

2.2 Đồ thị Series - Parallel và phân tích tai 40

2.2.1 Định nghĩa đồ thị Series - Parallel 40

2.2.2 Điều kiện để một đồ thị là Series - Parallel 41

2.3 Thuật toán nhận dạng đồ thị Series - Parallel 48

2.3.1 Ý tưởng thuật toán 48

2.3.2 Kiểm tra tính gắn kết 49

2.3.3 Độ phức tạp và ví dụ 59

1.1 Một số ví dụ về đồ thị 10

1.2 Đồ thị hai phần và đồ thị hai phần đầy đủ K2;3 10

1.3 Đồ thị vô hướng G 13

1.4 Trường hợp P chứa e 13

1.5 Rừng gồm 4 cây 14

1.6 Kết nối của K3, K2;3 và đồ thị liên thông có một đỉnh cắt

16 1.7 Trường hợp đường R có điểm trong chung với cả P và Q

18 1.8 Chu trình u; x; y; v; u đi qua hai cạnh uv và xy 19

1.9 Sự phân chia cạnh uv thành đường u; w; v 19

1.10 Sửa đổi chu trình qua e; f 20

1.11 Ví dụ tập ngắt kết nối cạnh không phải tập cạnh cắt

22

1.12 Hình minh họa S; S và T 23

1.13 Kết nối và kết nối cạnh của một số đồ thị 23

1.14 Ví dụ về phân tích tai và phân tích tai mở loại 1

24

1.15 Phân tích tai mới thu được khi thay P3 = P0 25

1.16 Chuỗi các phép phân chia cạnh uv chuyển đồ thị G + uv thành G[P 26

1.17 Phân tích tai và phân tích tai mở loại 2 28

1.18 Đồ thị G, cây các khối và cây các đồ thị con 2 - cạnh liên thông cực đại của G 29

1.19 Hình minh họa các trường hợp khi thêm tai thứ k 30

2.1 Phân tích tai gắn kết và phân tích tai dạng cây 34

2.2 Cây của các khoảng gắn trên tai E1 35

2.3 Phân tích tai dạng cây và cây 36

2.4 Tai Ej gắn trên Ei nhưng không gắn thực sự 38

2.5 Cấu trúc của một đồ thị TTSP bằng các phép tổng hợp chuỗi và song song 41

2.6 Cây nhị phân thể hiện cấu trúc của đồ thị TTSP trong hình 2.5 42 2.7 Hình minh họa trường hợp 1 và 2 43

2.8 Tai Ei và đường tai Hi 51

2.9 Cây gắn kết của tai Ei 56

2.10 Đường tai Hj của tai Ej 56

2.11 Cây sp 58

2.12 Đồ thị G 60

2.13 Đường cạnh H1 và cây sp 61

2.14 Đường cạnh H2 và cây sp 61

2.15 Đường cạnh H3 và cây sp 62

2.16 Đường cạnh H4 và cây sp 63

2.17 Đường cạnh H5 và cây sp 63

2.18 Cây sp của G 64

2.1 Danh sách các cạnh đi xuôi và đi ngược của các đỉnh trong Hi 51

2.2 Bảng liệt kê con đầu và em kế của các cạnh trong Hi

55 2.3 Lưu trữ các cạnh của Hi vào các ô nhớ 55

2.4 Danh sách các cạnh đi xuôi và đi ngược của các đỉnh trong Hj 56 2.5 Bảng liệt kê con đầu và em kế của các cạnh trong Hj

57

2.6 Lưu trữ các cạnh của Hj vào các ô nhớ 57

2.7 Bảng tính X; Y; Z cho từng cạnh ei 58

2.8 Bảng liệt kê con đầu và em kế của các cạnh trong H1

60

2.9 Bảng tính X; Y; Z cho từng cạnh trong H1 60

2.10 Bảng tính X; Y; Z cho từng cạnh trong H2 61

2.11 Bảng tính X; Y; Z cho từng cạnh trong H3 62

2.12 Bảng tính X; Y; Z cho từng cạnh trong H4 62

2.13 Bảng tính X; Y; Z cho từng cạnh trong H5 63

MỞ ĐẦU

Ngày nay, lý thuyết đồ thị đã được phát triển mạnh mẽ, trở thànhmột chủ đề quan trọng của Toán học, và được sử dụng trong nhiềuvấn đề ứng dụng toán học Một trong những lớp đồ thị cơ bản, quantrọng là đồ thị Series Parallel Chúng hay được ứng dụng trong môhình mạch điện, trong các vấn đề lập kế hoạch

Việc nhận ra các đồ thị Series Parallel là một trong những vấn đề được nhiều nhà khoa học quan tâm và điều này có thể được thực hiện trong thời gian tuyến tính (Valdes, Tarjan và Lawler, 1979 [2]) Hơn nữa, khi ta biết một phân tích của đồ thị Series Parallel theo hai phép toán Series và Parallel thì ta có thể giải quyết được nhiều vấn đề trong thời gian tuyến tính như tìm ghép cặp lớn nhất, tập độc lập lớn nhất, trong đó có nhiều vấn đề là NP – khó cho các đồ thị tổng quát Năm 1987, He và Yesha [3] đã đưa ra một thuật toán nhận dạng đồ thị Series- parallel có hướng trong thời gian O(log2n) với O(m + n) bộ xử lí trên EREW PRAM Năm 1992, Eppstein [4] đã cải thiện kết quả này, thuật toán chạy trong thời gian O(logn) với C(m; n) bộ xử lí trên CRCW PRAM, trong đó C(m; n) là số bộ xử

lí cần thiết để đếm số thành phần liên thông của đồ thị trong thời gian logarit Giá trị bị chặn tốt nhất được biết là C(m; n) = O(m (m; n)=logn).

Trong luận văn này, chúng tôi sẽ trình bày về phân tích tai của đồ thị, mối liên hệ giữa phân tích tai và đồ thị Series Parallel và quan trọng là trình bày thuật toán nhận dạng đồ thị Series Parallel, thuật toán dựa trên khái niệm phân tích tai mở của đồ thị Luận văn được chia làm hai chương như sau:

Chương 1: Tìm hiểu về phân tích tai và mối liên hệ với tính liênthông của đồ thị Trong phần này, chúng tôi trình bày một số khái niệm

cơ bản của đồ thị, các loại liên thông trên đồ thị, định nghĩa phân tíchtai và mối liên hệ với tính liên thông

Chương 2: Nhận dạng đồ thị Series Parallel dựa trên phân tích tai Ở chương

này, chúng tôi sẽ giới thiệu về đồ thị Series Parallel, phân tích tai gắnkết, sau đó trình bày điều kiện để một đồ thị là Series Parallel và cuốicùng là kết hợp các kết quả đã có để hình thành thuật toán.

Mặc dù bản thân tác giả đã rất cố gắng, xong luận văn này khôngthể tránh khỏi những thiếu sót Rất mong nhận được sự góp ý của quýthầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn

TÌM HIỂU VỀ PHÂN TÍCH TAI VÀ

MỐI LIÊN HỆ VỚI TÍNH LIÊN

THÔNG CỦA ĐỒ THỊ

Trước khi đi vào vấn đề chính, chúng tôi sẽ trình bày về những kiếnthức cơ bản của đồ thị, tính liên thông, k - liên thông, giới thiệu vềphân tích tai của đồ thị và mối liên hệ của nó với tính liên thông Đểlàm sáng tỏ hơn vấn đề, chúng tôi đã trình bày chi tiết chứng minh cácđịnh lý, phân chia các trường hợp cụ thể và vẽ các hình minh họa.Phần lớn các kiến thức trong chương này được trích dẫn từ [4] [5]

1.1 Các định nghĩa cơ bản về đồ thị và ví dụ

Trong mục này, chúng tôi trình bày những khái niệm cơ bản của đồ thị vô hướng như đồ thị đầy đủ, đồ thị hai phần, đường, chu trình, Đây là những kiến thức cơ sở được sử dụng trong những phần tiếp theo của luận văn.

Định nghĩa 1.1.1 (Đồ thị vô hướng)

Một đồ thị vô hướng G là một cặp có thứ tự G := (V; E) trong đó V là tập các đỉnh, E là tập các cặp đỉnh (không có thứ tự), được gọi là cạnh.

8

Hai đỉnh thuộc một cạnh được gọi là các đầu mút của cạnh đó Ta

kí hiệu V (G) là tập đỉnh của G, E(G) là tập cạnh của G.

Cạnh e = uv (hay e = vu) nếu u; v là hai đầu mút của e Khi đó ta nói cạnh e kề với hai đỉnh u và v hay u; v kề nhau hay u; v là hàng xóm của nhau.

Định nghĩa 1.1.2 Một khuyên là một cạnh mà hai đỉnh cuối của nó trùng nhau Các cạnh bội là những cạnh mà chúng có chung đỉnh

cuối Đơn đồ thị là đồ thị không có khuyên hoặc cạnh bội.

Trong luận văn này ta xét các đồ thị vô hướng có thể có khuyên và cạnh bội.

Định nghĩa 1.1.3 Cho đồ thị G, bậc của đỉnh v 2 V (G) kí hiệu là dG(v)

hay d(v) là số cạnh kề với v, riêng mỗi khuyên tại v (nếu có) được đếm 2 lần Ta đặt (G) là bậc lớn nhất của đồ thị, (G) là bậc nhỏ nhất của đồ thị.

Định nghĩa 1.1.4 Đơn đồ thị G = (V; E) được gọi là đồ thị đầy đủ nếu mọi cặp đỉnh phân biệt trong V đều kề nhau Đồ thị đầy đủ n đỉnh (n >

0) được kí hiệu là Kn.

Ví dụ 1.1.1 Trong hình 1.1

Cạnh e6 là một khuyên của đồ thị G Cạnh e7 và e1 là các cạnh bội của G , do đó G không phải là một đơn đồ thị.

Hình 1.1: Một số ví dụ về đồ thị.

Đồ thị hai phần G = (U [ W; E) là đầy đủ nếu mỗi đỉnh trong U đều

kề với mọi đỉnh trong W Nếu m là số đỉnh của U, n là số đỉnh của W thì đồ thị hai phần đầy đủ G được kí hiệu là Km;n.

Hình 1.2: Đồ thị hai phần và đồ thị hai phần đầy đủ K2;3.

Định nghĩa 1.1.6 (Đồ thị con và đồ thị con cảm sinh)

Một đồ thị con của đồ thị G là một đồ thị H sao cho V (H) V (G),

E(H) E(G) và cách gán hai đầu mút cho các cạnh trong H giống như trong G.

Cho T V (G), đồ thị con của G sinh bởi T là đồ thị con của G có tập đỉnh là T và tập cạnh là tất cả các cạnh của G có hai đầu mút thuộc T , kí hiệu là G[T ].

Ví dụ 1.1.2 Cho đồ thị G như trong hình 1.1 Ta có đồ thị H với V (H) =

fv1; v2; v3; v4g và E(H) = fe1; e2; e3; e4g là một đồ thị con của G và do H

không có khuyên hay cạnh bội nên H là một đơn đồ thị H là một đồ thị con của G nhưng không phải là đồ thị con cảm sinh của G do G[V(H)] = G.

Định nghĩa 1.1.7 Cho G = (V; E) là một đồ thị vô hướng Một hành trình là một danh sách voe1v1:::ekvk của các đỉnh và cạnh, sao cho với

0 i k cạnh ei có đỉnh cuối là vi 1 và vi Khi đó k được gọi là độ dài của hành trình, vo được gọi là đỉnh đầu, vk được gọi là đỉnh cuối của hành trình Để đơn giản, ta thường gọi dãy các đỉnh vo; v1; :::; vk là một hành trình trong G nếu với mọi i = 0; 1; :::; k 1, vivi+1 là một cạnh của G và không có cạnh bội có hai đầu mút là vi; vi+1.

Một hành trình là khép kín nếu đỉnh đầu và đỉnh cuối của nó trùng nhau Một vết là một hành trình mà mỗi cạnh chỉ xuất hiện một lần Một đường là một hành trình mà các đỉnh của nó đều khác nhau

Ta gọi hai đỉnh cuối của một đường là hai đầu mút của đường đó Một chu trình (hay một xích) là một hành trình khép kín có độ dài

ít nhất là 3 và khi xóa đi đỉnh cuối thì trở thành đường.

Ví dụ 1.1.3 Cho đồ thị G = (V; E) như trong hình 1.1 Khi đó:

v1e4v3e3v4e3v3e6v3 là một hành

trình. v1e1v2e7v1e4v3 là một vết.

v1e1v2e2v4e3v3 là một đường.

v1e1v2e2v4e3v3e4v1 là một chu trình.

1.2 Tính liên thông của đồ thị

Trong mục này, chúng tôi trình bày về tính liên thông và khái niệm câytrong đồ thị Cây là một trong những lớp đồ thị quan trọng có rất nhiềuứng dụng, đặc biệt trong việc lưu trữ dữ liệu, tìm kiếm, Trong chương

2, chúng tôi sẽ dùng cây để biểu thị cấu trúc của đồ thị Series - Parallel

Định nghĩa 1.2.1 Một đồ thị G là liên thông nếu mọi u; v 2 G đều có đường nối từ u đến v Ngược lại, G là không liên thông.

Định nghĩa 1.2.2 Một thành phần liên thông của đồ thị G là đồ thị con liên

thông cực đại của G Một thành phần liên thông là tầm thường nếu nó không chứa cạnh nào, ngược lại là không tầm thường Đỉnh cô lập là đỉnh có bậc 0.

Định nghĩa 1.2.3 Cạnh cắt hoặc đỉnh cắt của một đồ thị là một cạnh hoặc một đỉnh mà việc xóa nó làm tăng số thành phần liên thông.

Ta viết G e hoặc G M là đồ thị con của G thu được bằng việc xóa đi một cạnh e hoặc một tập cạnh M Ta viết G v hoặc G S là đồ thị con của G thu được bằng việc xóa đi một đỉnh v hoặc một tập đỉnh S.

Ví dụ 1.2.1 Ta thấy đồ thị trong hình 1.3 là đồ thị không liên thông do không có đường đi nào từ a đến b G có ba thành phần liên thông với tập đỉnh lần lượt là: fag; fb; c; d; eg; ff; g; hg Ta có g là đỉnh cắt của đồ thị, gh và gf là các cạnh cắt của G.

Tiếp theo, chúng tôi sẽ trình bày điều kiện để một cạnh là cạnh cắt.Đây là kết quả quan trọng được sử dụng trong một số kết quả về sau

Định lý 1.2.1 [5] Một cạnh là cạnh cắt khi và chỉ khi nó không thuộc một xích nào.

Chứng minh Điều kiện cần:

Hình 1.3: Đồ thị vô hướng G.

Cho e là một cạnh của đồ thị G (với hai đầu mút là x; y) và H là một thành phần liên thông của G chứa e Do việc xóa bỏ e không ảnh hưởng đến các thành phần liên thông khác nên việc chứng minh định lý trên sẽ tương đương với chứng minh H e liên thông khi và chỉ khi e thuộc một xích Đầu tiên giả sử H e liên thông Khi đó nó chứa một đường nối từ x đến y và không qua e, ghép đường đó với cạnh e ta được một xích chứa e Ngược lại giả sử e thuộc xích C Lấy hai đỉnh bất kì u; v 2 V (H) Do H liên thông nên tồn tại đường P nối u; v Nếu P không chứa e thì P là đường trong H e đi nối u; v Nếu P chứa e, không mất tính tính tổng quát giả sử x nằm giữa y và u trong P

Ta có H e chứa đường từ u tới x, đường từ y tới v dọc theo P và

đường từ x tới y dọc theo C (hình 1.4) Kết hợp ba đường trên ta thuđược một đường u; v trong H e Do dó H e là liên thông

Hình 1.4: Trường hợp P chứa e.

Định nghĩa 1.2.4 Một đồ thị không có vòng là một đồ thị phi chu trình Rừng

là một đồ thị phi chu trình Cây là đồ thị liên thông và không có chu trình.

Lá là một đỉnh có bậc 1 Đồ thị con bao trùm của G là một đồ thị con với tập đỉnh là V (G) Cây bao trùm là một thị con bao trùm và là một cây.

4 Với u; v 2 V (G), có duy nhất một đường nối từ u tới v.

Hệ quả 1.2.1 [5]

1 Mọi cạnh của một cây đều là một cạnh cắt.

2 Thêm một cạnh vào cây tạo ra duy nhất một vòng.

3 Mọi đồ thị liên thông đều chứa một cây bao trùm.

Trong mục này chúng tôi trình bày về những lớp đồ thị có "liên kết"tốt, tức là các đỉnh của đồ thị vẫn được kết nối với nhau kể cả khi xóa

bỏ một số đỉnh hoặc cạnh Điều này rất có ý nghĩa trong việc xây dựngmạng lưới truyền thông, điện lưới,

1.3.1 Đồ thị k - liên thông

Phần này giới thiệu về đồ thị k - liên thông, đồ thị mà sau khi xóa đi

k 1 đỉnh thì vẫn còn liên thông

Định nghĩa 1.3.1 Tập phân tách hay tập đỉnh cắt của đồ thị G là tập S

V (G) sao cho G S có nhiều hơn một thành phần liên thông.

Kết nối của G, viết là (G) là kích cỡ nhỏ nhất của một tập đỉnh cắt S sao cho G S là không liên thông hoặc chỉ có một đỉnh.

Một đồ thị G gọi là k-liên thông nếu kết nối của nó lớn hơn hoặc bằng k, tức là khi ta xóa đi k 1 đỉnh thì đồ thị G vẫn còn liên thông.

Ví dụ 1.3.1.Một clique không có tập phân tách và (Kn) = n 1 Từ đó ta

thu được một đồ thị G không là đồ thị đầy đủ thì (G) n(G) 2.

(Km;n) = min(m; n) với Km:n là đồ thị hai phần đầy đủ.

Một đồ thị có nhiều hơn hai đỉnh có kết nối 1 khi và chỉ khi nó liên thông và có một đỉnh cắt.

Một đồ thị với nhiều hơn một đỉnh có kết nối 0 khi và chỉ khi nó không liên thông.

(K1) = 0:

Hình 1.6 cho ta một số ví dụ về kết nối của một số đồ thị.

Hình 1.6: Kết nối của K3, K2;3 và đồ thị liên thông có một đỉnh cắt.

Tiếp theo ta sẽ tìm hiểu kĩ hơn về đồ thị 2 - liên thông, lớp đồ thị vẫn giữ được tính 2 - liên thông khi ta thay thế một cạnh của đồ thị bằng một cặp cạnh khác Đặc biệt nó có thể được phân tích thành hợp của các xích và đường.

ĐỒ THỊ 2-LIÊN THÔNG

Định nghĩa 1.3.2 Hai đường nối từ u đến v là rời nhau nếu chúng không có

đỉnh trong chung.

Định lý 1.3.1 [5] Một đồ thị G có ít nhất 3 đỉnh là 2 - liên thông khi và chỉ khi với mỗi cặp đỉnh u; v 2 V (G) có nhiều hơn hai đường rời nhau

nối từ u đến v trong G.

Chứng minh Điều kiện đủ: Vì 8u; v 2 V (G), G chứa các đường rời

nhau nối u với v nên nếu xóa đi một đỉnh của G thì không thể chia cắtđược u và v Vậy G là 2 - liên thông

Điều kiện cần: Giả sử G là 2 - liên thông, lấy u; v 2 V (G) ta chứng

minh G chứa các đường u; v rời nhau bằng quy nạp theo d(u; v) Nếud(u; v) = 1 Vì G là 2 - liên thông nên 0(G) (G) 2 Do đó G uv liên thôngnên suy ra tồn tại đường nối u tới v trong G uv, đường này rời nhau vớicạnh uv trong G Vậy trong G chứa hai đường rời nhau nối u và v

Giả sử giả thiết đúng với 1 < d(u; v) k 1 Ta chứng minh mệnh đề đúng với d(u; v) = k Lấy w là đỉnh trước v trên đường nối u tới v ngắn nhất, khi

đó ta có d(u; w) = k 1 Theo giả thiết quy nạp G chứa hai đường nối u tới w rời nhau P và Q Nếu v 2 V (P ) [ V (Q) khi đó ta tìm được hai đường rời nhau trên đường tròn P [ Q Giử sử v 2= V (P ) [ V (Q), do G là 2 - liên thông nên G w liên thông Do đó tồn tại đường R đi từ u tới v chứa trong

G w Nếu R không có điểm trong chung với P hoặc Q thì G chứa hai đường rời nhau nối u; v là R và P [ wv (nếu Rnfug \ V (P ) = ; ) hoặc Q [ wv (nếu

Rnfug \ V (Q) = ;) Nếu R có điểm trong chung với cả P và Q Gọi z là đỉnhcuối cùng của R (trước v) thuộc P [Q Không mất tính tổng quát, giả sử

z 2 P Ta sẽ kết hợp đường con từ u tới z của P với đường con từ z tới v của

R để tạo nên đường nối u và v rời nhau với Q [ wv (hình 1.7) Vậy Gchứa hai đường rời nhau từ u đến v

Hệ quả 1.3.1 [5]Nếu G là đồ thị k - liên thông và G0 là đồ thị thu được khi

thêm vào đồ thị G một đỉnh mới y với ít nhất k hàng xóm trong G, thì G0 là k liên thông.

-Hình 1.7: Trường hợp đường R có điểm trong chung với cả P và Q.

Chứng minh Giả sử S là tập phân tách của G0 Nếu y 2 S thì S y phân tách

G, do đó jSj k + 1

Nếu y 2= S và N(y) S thì jSj k Mặt khác nếu y và N(y) S nằmtrên một thành phần liên thông của G0 S thì S phải chia cắt G và jSj k.Vậy ta có jSj k nên G0

là k - liên thông

Định lý 1.3.2 [5] Cho G là đồ thị với ít nhất ba đỉnh, các mệnh đề sau tương

đương.

a) G liên thông và không có đỉnh cắt.

b) Với mọi x; y 2 V (G), tồn tại ít nhất hai đường rời nhau nối từ x đến y.

c) Với mọi x; y 2 V (G) tồn tại chu trình đi qua x và y.

d) (G) 1 và mọi cặp cạnh của G đều cùng nằm trên một chu trình.

Chứng minh G liên thông và không có đỉnh cắt nên G là đồ thị 2 - liên thông.

Do định lý 1.3.1 ta có a , b Mỗi một chu trình chứa x; y tương ứng với một cặp đường nối x và y rời nhau nên ta có c , b, vậy ta chỉ cần chứng minh

c , d

Ta có d ) c vì (G) 1 nên x; y không phải đỉnh cô lập Nếu xy là một cạnh của G thì tồn tại một chu trình đi qua xy và bất kì một cạnh nào khác trong

G do đó tồn tại chu trình đi qua x và y Ngược lại, nếu x; y không kề nhau ta áp dụng ý (d) cho hai cạnh kề với x và y ta được một chu trình đi qua x; y

c ) d: Ta có a , c nên G thỏa mãn cả (a) và (c) Vì G liên thông nên(G) 1 Xét hai cạnh uv và xy của G Ta thêm hai đỉnh w, z và các cạnh wu,

wv, zx, zy vào G và thu được đồ thị G0 Do G là 2 - liên thông nên G0 - 2 liên thông (hệ quả 1.3.1) Áp dụng (c) suy ra tồn tại chu trình T đi qua w và z Do w;

z có bậc là 2 nên T phải chứa hai đường uwv và xzy Thay thế hai đường trên bởi các cạnh uv và xy ta được một chu trình đi qua uv và xy (hình 1.8)

Hình 1.8: Chu trình u; x; y; v; u đi qua hai cạnh uv và xy.

Định nghĩa 1.3.3 [5] Trong đồ thị G, sự phân chia (subdivision) của một cạnh uv là một phép toán thay thế uv thành một đường u; w; v đi qua một đỉnh mới w (hình 1.9)

Hình 1.9: Sự phân chia cạnh uv thành đường u; w; v.

Hệ quả 1.3.2 [5] Nếu G là đồ thị 2 - liên thông thì đồ thị G0 thu được bằng cách phân chia một cạnh của G cũng là 2 - liên thông.

Chứng minh Giả sử G0 là đồ thị thu được từ đồ thị G bằng cách thêm

các cạnh wu; wv để phân chia cạnh uv Ta chứng minh G0 là 2 - liênthông bằng cách sử dụng định lý 1.3.2.d Tức là ta sẽ chỉ ra có một chutrình đi qua hai cạnh e; f bất kì của G0

Trường hợp 1: e; f 2 E(G) Do G là 2 - liên thông nên e; f sẽ cùng nằm trên

một chu trình chứa trong G Nếu chu trình đó không chứa uv thì nó cũng nằm trong G0 Nếu nó chứa uv thì ta sẽ sửa đổi chu trình này như sau (hình

1.10):

Hình 1.10: Sửa đổi chu trình qua e; f.

Trường hợp 2: Giả sử e 2 E(G) và f 2 fuw; wv g Do e; uv 2 G nên tồn tại

một chu trình đi qua hai cạnh đó, tiếp tục sửa đổi chu trình này giống như trong trường hợp 1 ta thu được một chu trình đi qua e; f và nằm trong G0.

Trường hợp 3: e; f 2 fuw; wvg Ta có một chu trình đi qua uv và một

cạnh bất kì khác trong G, sửa đổi chu trình đó ta được một chu trình đi

qua e; f và nằm trong G0 Vậy G0 là 2 - liên thông

1.3.2 Đồ thị k - cạnh liên thông

Tiếp theo chúng tôi sẽ giới thiệu về một loại liên thông khác đó là k cạnh liên thông, đồ thị k - cạnh liên thông là đồ thị mà sau khi xóa đi k

-1 cạnh thì vẫn còn liên thông

Định nghĩa 1.3.4 [5] Tập ngắt kết nối cạnh là tập F E(G) sao cho G F

có nhiều hơn một thành phần liên thông

Một đồ thị là k - cạnh liên thông nếu mọi tập ngắt kết nối cạnh của có

có ít nhất k cạnh Tức là xóa đi k 1 cạnh thì đồ thị vẫn còn liên thông

Kết nối cạnh của G, viết là 0(G) là kích cỡ nhỏ nhất của các tậpngắt kết nối cạnh của G

Cho S; T V (G), ta viết [S; T ] là tập các cạnh có một đỉnh thuộc S vàđỉnh còn lại thuộc T Tập cạnh cắt là tập cạnh có dạng [S; S] với S làtập con thực sự khác rỗng của V (G) và S = V (G) S

Chú ý 1 Mọi tập cạnh cắt là tập ngắt kết nối cạnh, do G [S; S] không chứa đường đi từ S đến S Điều ngược lại chưa chắc đúng do tập ngắt

kết nối cạnh có thể có nhiều cạnh (hình 1.11)

Tuy nhiên, mọi tập ngắt kết nối cạnh cực tiểu đều là một tập cạnh cắt (khi đồ thị có nhiều hơn một đỉnh) Thật vậy, giả sử F là một tập ngắt kết nối cạnh của đồ thị G, khi đó với mỗi H là một thành phần liên thông của G F ta

đã xóa đi tất cả các cạnh có đúng một đỉnh thuộc H Do vậy F chứa tập cạnh cắt [V (H); V (H)] , do tính cực tiểu của F nên F = [V (H); V (H)].

Định lý 1.3.3 [5] Nếu G là đơn đồ thị thì:

(G) 0(G) (G):

Chứng minh Ta có tập tất cả các cạnh kề với đỉnh có bậc nhỏ nhất là

một tập cạnh cắt nên 0(G) (G) Do đó ta chỉ cần chỉ ra (G) 0(G)

Hình 1.11: Ví dụ tập ngắt kết nối cạnh không phải tập cạnh cắt.

Xét [S; S] là tập cạnh cắt nhỏ nhất Nếu mọi đỉnh trong S đều kề với mọi đỉnh trong S thì [S; S] = jSj : S n(G) 1 mà (G) n(G) 1 (Ví dụ

1.3.1) nên [ S; S

Ngược lại, ta chọn x 2 S; y 2 S mà xy không phải là một cạnh của

đồ thị G Đặt T là tập đỉnh bao gồm tất cả các hàng xóm của x trong S vàtất cả các đỉnh thuộc S x mà có hàng xóm nằm trong S Ta thấy mọiđường nối x và y (nếu có) đều phải đi qua T nên T là tập phân tách của

G, do đó jT j (G) Nhặt những cạnh từ x đến T S và một cạnh từ mỗiđỉnh của T S đến S ta thu được jTj cạnh phân biệt của [S; S] (các cạnh

in đậm trong hình 1.12) Do đó:

0 (G) [S; S] jT j (G):

Ví dụ 1.3.2 Ta có một số ví dụ về các trường hợp xảy ra hoặc không xảy ra dấu bằng trong bất đẳng thức của định lý 1.3.3 trong hình 1.13.

Hình 1.12: Hình minh họa S; S và T

Hình 1.13: Kết nối và kết nối cạnh của một số đồ thị.

1.4 Hai loại phân tích tai Điều kiện để có phân tích tai

Phân tích tai (Ear decomposition - ED) của một đồ thị là một phântích tập cạnh thành hợp của các đường và xích trong đồ thị đó Một sốlớp đồ thị quan trọng có thể được mô tả dưới dạng một đồ thị có phântích tai thỏa mãn một tính chất nào đó Trong phần này chúng tôi sẽtrình bày hai loại phân tích tai và đặt tên là phân tích tai loại 1 và phântích tai loại 2 Hai cách định nghĩa này chỉ khác nhau ở tai đầu tiên

1.4.1 Phân tích tai loại 1

Định nghĩa 1.4.1 Một tai của đồ thị G là một đường cực đại mà các đỉnh[5]

trong của nó đều có bậc là 2 trong G Một phân tích tai loại 1 của G là một phân tích E(G) = P0 [P1 [: : :[Pk, trong đó P0 là một chu trình, Pi với i 1 là một tai của P0 [ P1 [ : : : [ Pi và hai đầu mút của Pi (có thể trùng nhau) thuộc

P 0 [P1 [: : : [Pi 1 Tai mở là tai có hai đầu mút rời nhau, tai đóng là tai có hai đầu mút trùng nhau Phân tích tai mở loại 1 (Open ear decomposition - OED) là phân tích tai mà mọi tai của nó (trừ tai đầu tiên) đều là tai mở.

Hình 1.14: Ví dụ về phân tích tai và phân tích tai mở loại 1.

Chú ý 2 Một đồ thị có thể có nhiều phân tích tai Như đồ thị G trong

hình 1.14, nếu ta coi P3 là tai đầu tiên (P3 = P0) thì G sẽ có phân tích tai mới như trong hình 1.15.

Hình 1.15: Phân tích tai mới thu được khi thay P3 = P0.

Tiếp theo, chúng tôi trình bày hai định lý thể hiện mối liên hệ giữaphân tích tai với tính liên thông của đồ thị

Định lý 1.4.1 [5] Một đồ thị là 2 - liên thông khi và chỉ khi nó có một phân tích tai mở Hơn nữa, mọi xích trong một đồ thị 2 - liên thông là

xích khởi tạo đầu tiên trong một phân tích tai nào đó.

Chứng minh Điều kiện đủ: Vì một xích là 2 - liên thông nên để chứng minh

điều kiện đủ ta chỉ cần chỉ ra rằng khi thêm một tai mở vào một đồ thị 2 - liên thông thì đồ thị mới thu được cũng 2 - liên thông Giả sử u; v là hai đầu mút của tai P được thêm vào đồ thị 2 - liên thông G Do thêm một cạnh vào đồ thị không làm mất đi tính liên thông nên G + uv là 2 - liên thông Một chuỗi các phép phân chia cạnh sẽ chuyển G + uv thành đồ thị G [ P , trong đó P là một tai (hình 1.16) Theo hệ quả 1.3.2, mỗi phép phân chia cạnh bảo toàn tính 2 -liên thông nên G [ P là 2 - liên thông

Điều kiện cần: Cho G là đồ thị 2 - liên thông, ta sẽ xây dựng một phân tích

tai từ một xích C trong G Đặt Go = C, gọi Gi là đồ thị con thu được bằng

Hình 1.16: Chuỗi các phép phân chia cạnh uv chuyển đồ thị G + uv thành G [ P

cách thêm i tai Nếu Gi 6=G, ta có thể chọn một cạnh uv thuộc G E(Gi)

và một cạnh xy 2 E(Gi) Do G là 2 - liên thông nên tồn tại một xích C0

đi qua uv; xy Đặt P là đường trong C0 mà chứa uv và có duy nhất haiđỉnh chung với Gi, hai đỉnh đó cũng là hai đầu mút của của P Khi đó tathêm P vào Gi và thu được đồ thị Gi+1 với P là một tai mở của Gi+1 Tiếptục quá trình trên cho đến khi hấp thụ hết các cạnh của G ta thu đượcmột phân tích tai mở của G Qua cách xây dựng trên ta thấy rằng mỗimột xích C sẽ cho ta một phân tích tai khác nhau, do đó mỗi xích trong

đồ thị G đều là tai đầu tiên của một phân tích tai nào đó

Định lý 1.4.2 [5] Một đồ thị là 2 - cạnh liên thông khi và chỉ khi nó có một phân tích tai và mọi xích trong đồ thị đó đều là tai đầu tiên trong

một phân tích tai nào đó.

Chứng minh Điều kiện đủ: Để chứng minh điều kiện đủ, ta chỉ cần chứng minh

rằng khi thêm một tai đóng hay mở vào một đồ thị 2 - cạnh liên thông ta cũng thu được một đồ thị 2 - cạnh liên thông Theo định lý 1.2.1, cạnh cắt là cạnh không nằm trên một xích nào Do đó một đồ thị là 2 - cạnh liên thông nếu mỗi cạnh của nó đều nằm trên một xích nào đó Giả sử G là đồ thị 2 - cạnh liên thông Khi ta thêm một tai đóng vào G tức là ta thêm một xích vào G thì đồ thị mới thu được cũng là 2 - cạnh liên thông Nếu ta thêm một tai mở P vào G thì đường nối hai đầu mút của P trong G kết hợp với P tạo thành một xích Do đó

ta cũng thu được một đồ thị 2 - cạnh liên thông.

Điều kiện cần: Giả sử G là đồ thị 2 - cạnh liên thông, ta sẽ xây dựng một

phân tích tai của G Gọi P o là một xích trong G Xét phân tích tai P o [ : : : [ P i

của đồ thị con G i của G Nếu G i 6=G, ta sẽ tìm một tai để thêm vào G i Do G

là 2 - cạnh liên thông nên tồn tại một cạnh uv 2 E(G) E(G i ) với

u 2 V (Gi) Do G là 2 - cạnh liên thông nên uv nằm trên một xích C Gọi P =

C \ (E(G) E(Gi)), thêm P vào Gi ta được một đồ thị con Gi+1 = Gi [ P với P

là một tai đóng hoặc mở Tiếp tục quá trình trên cho đến khi hấp thụ hết các cạnh của G ta thu được một phân tích tai của G Qua cách xây dựng trên ta thấy rằng mỗi một xích C sẽ cho ta một phân tích tai khác nhau, do đó mỗi xích trong đồ thị G đều là tai đầu tiên của một phân tích tai nào đó

1.4.2 Phân tích tai loại 2

Định nghĩa 1.4.2 [5] Một phân tích tai loại 2 của đồ thị G là sự phân chia các cạnh của G thành một dãy các tai E1; E2; : : : ; En Trong đó mỗi tai là một đường thỏa mãn các tính chất sau:

1 Nếu hai đỉnh của đường trùng nhau thì chúng phải là đầu mút của đường.

2 Hai đầu mút của của mỗi tai Ei; i > 1 nằm trên các tai Ej ; E j 0 với j; j0 < i

3. Không có điểm trong nào của Ei nằm trên Ej.

Định nghĩa 1.4.3 [5] Phân tích tai mở loại 2 là một phân tích tai mà hai đầu mút của mỗi tai phải phân biệt.

Ví dụ 1.4.1.

Hình 1.17 cho ta ví dụ về phân tích tai và phân tích tai mở loại 2

Nhận xét 1.4.1 Ta thấy rằng mọi phân tích tai loại 1 đều có thể coi là phân tích

tai loại 2 bằng cách chia tai đầu tiên Po thành hai tai: Po0 = ef; P10 = Po ef

Hình 1.17: Phân tích tai và phân tích tai mở loại 2.

với ef là một cạnh bất kì của Po Ngược lại, có phân tích tai là loại 2 nhưng không phải loại 1 Ví dụ phân tích tai mở trong hình 1.17 là một phân tích loại 2 nhưng không phải loại 1 do đồ thị đó không phải 2 - liên thông.

Quan sát phân tích tai loại 2 ta thấy rằng một phân tích tai (tương ứng phân tích tai mở) loại 2 thu được khi ta gắn các đồ thị con 2 - liên thông cực đại (tương ứng 2 - cạnh liên thông cực đại) của đồ thị ban đầu lên tai đầu tiên Do đó ta có thể tìm ra mối liên hệ giữa phân tích tai loại 2 và tính liên thông bằng cách định nghĩa các đồ thị con 2 - liên thông cực đại (2 - cạnh liên thông cực đại) như sau:

Định nghĩa 1.4.4 Một khối (block) của đồ thị G là một đồ thị con 2 - liên thông cực đại của G.

Tập các khối của một đồ thị liên thông có dạng một cây với các nút

là các khối và các đỉnh cắt của đồ thị Hai nút được nối với nhau bằng một cạnh trong các trường hợp sau:

1 Một nút là một đỉnh cắt và nút còn lại là khối chứa đỉnh đó.

2 Cả hai nút đều là các đỉnh cắt và chúng được nối với nhau bằng một cạnh của đồ thị.

Khối lá là khối chỉ chứa duy nhất một đỉnh cắt (tương ứng với lá của cây các khối).

Tương tự ta có định nghĩa về đồ thị con 2 - cạnh liên thông cực đại.

Định nghĩa 1.4.5 Đồ thị con 2 - cạnh liên thông cực đại của đồ thị G

là đồ thị con liên thông cực đại của G mà sau khi xóa đi một cạnh bất

kì thì phần còn lại vẫn liên thông.

Tập các đồ thị con 2 - cạnh liên thông cực đại của một đồ thị có dạng một cây với các nút là các đồ thị con 2 - cạnh liên thông cực đại được nối với nhau bằng cạnh cắt của đồ thị.

Ví dụ 1.4.2 Cho đồ thị G như trong hình 1.18, hình 1.18i là cây các khối của G còn hình 1.18ii là cây các đồ thị con 2 - cạnh liên thông cực đại của G.

Hình 1.18: Đồ thị G, cây các khối và cây các đồ thị con 2 - cạnh liên thông cực đại của G.

Nhận xét 1.4.2 Qua việc nghiên cứu về phân tích tai của đồ thị, chúng tôi có hai nhận xét như sau:

1 Đồ thị G có phân tích tai mở loại 2 khi và chỉ khi cây các khối của

G là một đường.

2 Đồ thị G có phân tích tai loại 2 khi và chỉ khi cây các đồ thị con 2 cạnh liên thông của G là một đường.

-Chúng tôi có ý tưởng chứng minh điều 1 (điều 2 có thể chứng minh tương tự) như dưới đây Tuy nhiên chúng tôi chưa thể chứng minh chi tiết và chặt chẽ nên xin được viết ở đây như hai câu hỏi mở.

Điều kiện cần: Chứng minh quy nạp theo số tai của G Nếu G chỉ có một tai E1 thì điều kiện cần hiển nhiên đúng do cây các khối của G chính là

E 1 Giả sử điều kiện cần đúng nếu số tai nhỏ hơn k, ta chứng minh điều kiện cần vẫn đúng khi thêm tai thứ k vào đồ thị Nếu tai thứ k có hai đầu mút nằm trên các tai khác tai đầu tiên thì hoặc số khối không đổi hoặc số khối giảm đi một Nếu cả hai đầu mút của tai thứ k đều nằm trên tai đầu thì số khối hoặc giữ nguyên hoặc tăng một hoặc giảm một Khi đó cây các khối vẫn là đường ban đầu (có thể thêm hoặc bớt đỉnh) (hình 1.19)

Hình 1.19: Hình minh họa các trường hợp khi thêm tai thứ k.

Điều kiện đủ: Giả sử G có cây các khối là một đường P , khi đó các đỉnh cắt của G đều thuộc P , đánh số thứ tự cho các đỉnh cắt này từ một đầu mút của P cho đến hết là x1; x2; : : : ; xk Gọi đường xixi+1 là đường ngắn nhất nối từ xi đến xi+1 trong G Đặt Po là hợp của các đường xixi+1 Ta sẽ xây dựng một phân tích tai của G bắt đầu từ Po Giả sử B là một khối của

G Nếu B khác khối lá và xi, xi+1 thuộc B thì do B là 2 - liên thông nên B

có một phân tích tai mở bắt đầu từ đường xi x i+1 Nếu B là một đỉnh x của

G thì x là hàng xóm của x1 hoặc xk Khi đó ta thêm cạnh x1x hoặc xkx vào

Po Nếu B là khối lá và B có nhiều hơn một đỉnh thì x1 hoặc xk là đỉnh cắt

chứa trong B Không mất tính tổng quát ta giả sử là x1, gọi

x1u là một cạnh thuộc B Do B là 2 - liên thông nên có một phân tích tai

mở bắt đầu từ x 1 u và ta thêm cạnh x 1 u vào P o Đánh số lại các tai trong từng phân tích tai ta được một phân tích tai của G với tai đầu tiên là P o.

Ta rút ra kết luận sau về điều kiện để có phân tích tai

1 Ta thấy rằng, nếu một đồ thị có 3 đỉnh bậc 1 thì đồ thị đó không thể có phân tích tai.

2 Khi đồ thị không có đỉnh bậc 1, G có phân tích tai mở khi G là 2 - liên thông G có phân tích tai nếu G là 2 - cạnh liên thông.

3 Nếu đồ thị có 1 hoặc 2 đỉnh bậc 1 thì đồ thị chỉ có thể có phân tích tai loại 2 (do nó không là 2 - liên thông) Đồ thị G có phân tích tai (phân tích tai mở) nếu G liên thông và cây các đồ thị con 2 - cạnh liên thông cực đại (các khối) của G là một đường với đầu mút là đỉnh bậc 1.

Như vậy, trong chương này ta đã tìm hiểu về tính liên thông của đồ thị và mối quan hệ của nó với phân tích tai Phân tích tai của đồ thị là một vấn đề kinh điển,

đã được phát triển sâu rộng và được sử dụng như một công cụ mạnh để phân loại

và nghiên cứu các tính chất của đồ thị Đã có thuật toán tìm phân tích tai của đồ thị trong thời gian logarit như thuật toán của Maon et al (1986) [7]