CHỦ ĐỀ 6: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ1.. Đối chiếu với điều kiện ta thấy chỉ có x4 là nghiệm của phương trình.. MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ THƯỜNG GẶP 1.. Giải phương
Trang 1CHỦ ĐỀ 6: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
1 Phương trình vô tỷ cơ bản:
2
( ) 0 ( ) ( )
( ) ( )
g x
f x g x
f x g x
�
�
�
Ví dụ 1: Giải các phương trình:
a) x22x 6 2x1
b) 2x 1 x 4x9
Lời giải:
a) Phương trình tương đương với:
2 2
x
b) Điều kiện: x�0 Bình phương 2 vế ta được:
8
4(2 ) ( 8)
x
x x x
�
�
�
2
4 8
16
7
x x
x
�
�
�
� � Đối chiếu với điều kiện ta thấy chỉ có x4 là nghiệm của phương trình
Ví dụ 2: Giải các phương trình:
II MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ THƯỜNG GẶP
1 Giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp sử dụng biểu thức liên hợp:
Dấu hiệu:
+ Khi ta gặp các bài toán giải phương trình dạng: n f x( )m g x( )h x( ) 0
Mà không thể đưa về một ẩn, hoặc khi đưa về một ẩn thì tạo ra những phương trình bậc cao dẫn đến việc phân tích hoặc giải trực tiếp khó khăn
+ Nhẩm được nghiệm của phương trình đó: bằng thủ công ( hoặc sử dụng máy tính cầm tay)
Phương pháp:
Đặt điều kiện chặt của phương trình ( nếu có)
Ví dụ: Đối phương trình: x2 3 3 2x2 7 2x
+ Nếu bình thường nhìn vào phương trình ta thấy:
CHỦ ĐỀ 7: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ
PHƯƠNG TRÌNH
I HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI 1:
a) Một hệ phương trình ẩn x, y được gọi là hệ phương trình đối xứng loại 1 nếu mỗi phương trình
ta đổi vai trò của x, y cho nhau thì phương trình đó không đổi
Trang 2b) Tính chất
Nếu x y0, 0 là một nghiệm thì hệ y x0, 0 cũng là nghiệm
c) Cách giải: Đặt
S x y
P x y
�
�
2 4
S �P quy hệ phương trình về 2 ẩn S P,
Chú ý: Trong một số hệ phương trình đôi khi tính đối xứng chỉ thể hiện trong một phương trình.
Ta cần dựa vào phương trình đó để tìm quan hệ S P, từ đó suy ra qua hệ x y, .
Ví dụ 1: Giải các hệ phương trình sau:
8
x y xy
x y
�
�
� b)
x y
x y xy
�
�
�
c) 3 2 3 2
6
x y x y xy
x y
�
�
�
x y xy
�
�
�
�
Giải:
a) Đặt
S x y
P x y
�
�
S � P hệ phương trình đã cho trở thành:
2
2
6 3
8 2
S P
S P
S
S S P
S S
�
�
�
�
2S 3S 6S 16 0 S2 2S 7S 8 0 S2 P0
Suy ra x y, là hai nghiệm của phương trình: 2
X X � X X
�
� �
Chủ đề 5: PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
Để giải một phương trình bậc lớn hơn 3 Ta thường biến đổi phương trình đó về một trong các dạng đặc biệt đó là:
1 Phương pháp đưa về dạng tích: Tức là biến đổi phương trình:
0 0 0
0
f x
F x f x g x
g x
�
� Đưa về một phương trình tích ta thường dùng các cách sau:
Cách 1: Sử dụng các hằng đẳng thức đưa về dạng:a2 b2 0,a3 b3 0,
Cách 2: Nhẩm nghiệm rồi chia đa thức: Nếu x a là một nghiệm của phương trình
0
f x thì ta luôn có sự phân tích: f x x a g x Để dự đoán nghiệm ta dựa vào các chú ý sau:
Trang 3Chú ý:
Cách 3: Sử dụng phương pháp hệ số bất định Ta thường áp dụng cho phương trình bậc bốn
Đặc biệt đối với phương trình bậc 4: Ta có thể sử dụng một trong các cách xử lý sau:
Phương trình dạng: 4 2
x ax bx c
Phương pháp: Ta thêm bớt vào 2 vế một lượng: 2mx2 m2 khi đó phương trình trở
(x m) (2m a x ) bx c m
Ta mong muốn vế phải có dạng: (Ax B )2
4(2 )( ) 0
m a
m
�
�� � �
Phương trình dạng: x4 ax3 bx2 cx d
Ta sẽ tạo ra ở vế phải một biểu thức bình phương dạng:
2 2
2
a
Bằng cách khai triển biểu thức:
x x m x ax �m �x amx m
� � � �
� � � � Ta thấy cần thêm vào hai vế một
lượng:
2
2
4
a
� � khi đó phương trình trở thành:
Chủ đề 8 - BẤT ĐẲNG THỨC
Phần 1: BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY (CÔ SI)
Cho các số thực không âm a b c, , khi đó ta có:
2.a b c �33abc Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c
Các bất đẳng thức 1, 2 gọi là bất đẳng thức Cauchy cho 2 và 3 số thực không âm (Còn gọi là bất đẳng thức Cô si hay bất đẳng thức AM- GM)
Để vận dụng tốt bất đẳng thức Cauchy Ta cần nắm chắc những kết quả sau:
1) 1 1 4 2 22 2
a b �a b� a b
x y
x y
2) 1 1 1 9 23 32 2
a b c �a b c � a b c
a ab b a b a b � a b
a ab b a b a b � a b
Trang 45) 2
3
a b c
ab bc ca a b c
6) 2 2 2 2
x y z
x y z
7) 3
4
a b
�
2
a b � a b (*) Thật vậy BĐT cần chứng minh tương đương với
(a nb n)(a mb m)(a nb n) 0� điều này là hiển nhiên đúng
(**) Tổng quát ta có
n
a b �a b �
��� ��