Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là AB vẽ tia Ax, By cùng vuông góc với AB.. Trên tia Ax lấy điểm C khác A, qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OC, cắt tia By tại D.. Chứng minh AC = CM.
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP 8 NĂM HỌC 2017-2018
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể giao đề
Đề thi có 03 trang
I PHẦN TRẮC NGHIỆM: (8,0 điểm)
Chọn đáp án đúng và ghi vào Bài làm trên tờ giấy thi (V.dụ: 1 – A)
Câu 1 Phân tích đa thức A = 3x2 – 8x + 4 thành nhân tử, ta được kết quả:
A) (x + 2)(3x + 2); B) (x + 2)(3x – 2); C) (x - 2)(3x + 2); D) (x – 2)(3x – 2)
Câu 2 Kết quả của phép tính
3
5 5
9 3
2 5
2
x
x x
x x
x x
x
với x ≠ - 5; x ≠ - 3 là:
A) x – 3 B) x + 3 C)
3
1
x D)
3
1
x
Câu 3 Rút gọn biểu thức 2 33 7 22 12 45
3 19 33 9
với x � 3 và x �
1
3 ta được:
A)
1
3
5
2
x
x
B)
1 3
5 2
x
x
C)
1 3
5 2
x
x
D)
1 3
5 2
x
x
Câu 4 Tổng hai phân thức
1
1
2
x
x
và
1
1
2
x
x bằng phân thức nào sau đây:
A)
1
1
3
1
2
3
1
2
3
x
x
D)
1
2
3
x x
Câu 5 Biểu thức rút gọn của A =
x xy x
xy y
x
4 4 2
4 4 4
2
2 2
với x ≠ 0; x - 2y + 2 ≠ 0 là:
A)
x
y
x
2
2
2
B)
x
y x
2
2
2
C)
x
y x
2
2
2
D)
x
y x
2
2
2
Câu 6 Cho xyz = 60; (x + y)2 = 7 và x2 + y2 = 3 thì giá trị của z là:
Câu 7 Giá trị của biểu thức P =
) ( ) 1 (
1
2
2 2
y x xy
y x y x
với x =
2018
1
và y = -3 là :
A) P =
2
1
B) P =
2
1
C) P =
4
1 D) P =
4 1
Trang 2Câu 8 Nếu xy = 2 và x2 + y2 = 5 thì
x
y y
x
có giá trị là:
A)
2
5
B)
2
5
C)
5
2 D)
5
2
Câu 9 Tập hợp nghiệm của phương trình 4x2 = 1 là:
A)
2
1
;
2
1
B)
4
1
; 4
1
C)
2
1
D)
4 1
Câu 10 Nghiệm của phương trình :
7
7 3 7
4
x x
là :
Câu 11 Giá trị của x để đa thức A = 36x2 + 24x + 7 đạt giá trị nhỏ nhất là:
A) x =
3
1
B) x =
-3
1
Câu 12 Một hình thoi có độ dài một cạnh là 10cm và độ dài một đường chéo là 16cm có
diện tích là:
Câu 13 Cho hình chữ nhật PQRS có hai đường chéo PR và QS biết PQS =5xo;
RQS = 4xo thì số đo của góc QSR là:
Câu 14 Cho tứ giác ABCD có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA
Tỉ số diện tích của hai tứ giác MNPQ và ABCD bằng:
A)
2
1
B) 4
1
C) 8
1
D) 16 1
Câu 15 Hình thang ABCD (AD//BC, AD > BC) có diện tích là 164cm2 Biết đường cao của hình thang là 8cm, AB = 10cm, CD = 17cm Khi đó độ dài của cạnh BC là:
Câu 16 Cho ABC có AC = 6cm; AB = 4 cm; các đường cao AH; BK; CI Biết AH =
CI + BK
2 thì tính được BC bàng:
II PHẦN TỰ LUẬN: (12,0 điểm)
Trang 3Câu 1 (1,0 điểm)
Chứng minh rằng: x8n + x4n + 1 chia hết cho x2n + xn + 1
Câu 2 (3,0 điểm)
Giải các phương trình
a) x 1 x x( 1)
b) 2x(8x 1) (4x 1) 9 2
Câu 3 (3,0 điểm)
a) Cho biểu thức:
4036
) 4 (
4 )
2 (
1 )
2 (
1
2
x x
x x
x
x x
x
x
Tìm x để biểu thức xác định, khi đó hãy rút gọn biểu thức?
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M x2 5 y2 4 xy 2 x 8 y 2018
Câu 4: (4,0 điểm)
Cho O là trung điểm của đoạn AB Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là AB vẽ tia
Ax, By cùng vuông góc với AB Trên tia Ax lấy điểm C (khác A), qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OC, cắt tia By tại D
a) Chứng minh: AB2 = 4 AC.BD
b) Kẻ OM vuông góc CD tại M Chứng minh AC = CM
c) Từ M kẻ MH vuông góc AB tại H Chứng minh BC đi qua trung điểm của MH d) Tìm vị trí của C trên tia Ax để diện tích tứ giác ABDC nhỏ nhất
Câu 5: (1,0 điểm)
Cho x, y, z là ba số dương và xyz = 1 Chứng minh :
y z x �
Hết
-HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HSNK LỚP 8 NĂM HỌC 2017-2018
Trang 4I PHẦN TRẮC NGHIỆM: (8,0 điểm) Mỗi câu đúng cho 0,5 điểm.
II PHẦN TỰ LUẬN:
Câu 1 (1,0 điểm)
Chứng minh rằng: x8n + x4n + 1 chia hết cho x2n + xn + 1
Ta có: x8n + x4n + 1 = x8n + 2x4n + 1 - x4n = (x4n + 1)2 - x4n = (x4n + x2n + 1)( x4n - x2n +
1)
Ta lại có: x4n + x2n + 1 = x4n + 2x2n + 1 – x2n = (x2n + xn + 1)( x2n - xn + 1)
chia hết cho x2n + xn + 1
Vậy: x8n + x4n + 1 chia hết cho x2n + xn + 1
0,25
0,5 0,25
Câu 2 (3,0 điểm)
Giải các phương trình
a) x 1 x x( 1)
b) 2x(8x 1) (4x 1) 9 2
a) x 1 x x( 1) � (x x � 1) x 1 0 x x �1 x 1 0 x1 (x 1) 0
1
x
� � �
� � � �
0,75
0,75 b) Ta có 2
2 (8x x1) (4x �1) 9
(64x 16x1)(8x 2 ) 9x �(64x 16x1)(64x 16 ) 72x (*) 0,25 Đặt 64x2 -16x = t ta có (*)�t(t+1) – 72 = 0�t = - 9 hoặc t = 8 0,5 Với t = -9 ta có 64x2 -16x = -9 �64x2 -16x + 9 = 0�(8x -1)2 + 8 = 0
Với t = 8 ta có 64x2 -16x = 8 �64x2 -16x – 8 = 0�(8x -1)2 -9 = 0
� x = 1
2 hoặc x = 1
4
0,25 Vậy nghiệm của phương trình là x = 1
2 hoặc x= 1
4
.
0,25
Câu 3 (3,0 điểm)
a) (1,5 điểm) Cho biểu thức:
4036
) 4 (
4 )
2 (
1 )
2 (
1
2
x x
x x
x
x x
x
x
Tìm x để biểu thức xác định, khi đó hãy rút gọn biểu thức
Trang 5Ta có
4 )
2 (
1 )
2 (
1
2
x x
x x
x
x x
x
x
ĐK: x x 2 � 4 0 0
2
x x
�
�
� ���
Khi đó:
4036
1 ) 4 (
4 )
2 (
1 )
2
(
1
x x
x x
x
R
4
4 ) 2 )(
1 ( ) 2 )(
1 ( 4036
1
2
x
x x x
2018
1 4
) 4 (
2
4036
1
2
2
x
x
0.5 Vậy R xác định khi ��x x���02
� và
2018
1
b) (1,5 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
�
Vậy Mmin = 2013 khi 3
2
x y
�
�
�
0,25 0,25 0,25
0,5
0,25
Câu 4: (3,5 điểm)
a) Chứng minh: AB2 = 4 AC.BD
b) Kẻ OM vuông góc CD tại M Chứng minh AC = CM
c) Từ M kẻ MH vuông góc AB tại H Chứng minh BC đi qua trung điểm của MH d) Tìm vị trí của C trên tia Ax để diện tích tứ giác ABDC nhỏ nhất.
Trang 60,5 0,25
0,25 0,25 0,25 0,25 0,25
0,25
0,25 0,25
0,25
-si ta có
0,25
0,25
Trang 70,25 0,25
Câu 5: (1,0 điểm)
Cho x, y, z là ba số dương và xyz = 1 Chứng minh :
y z x �
�
Cộng vế với vế ba BĐT trên ta được:
� � � � � ��
x 1 y y 1 z z 1 x (x y z)
1+y 4 1+z 4 1+x 4
�
3
x y z 3 x y z (x y z) 3(x y z) 3
3.3 xyz 3 3
Dấu “=” xảy ra� x y z 1 BĐT đã cho được chứng minh
0,5
0,5