Đề thi Olympic Toán 10 năm 2017 – 2018 sở GD và ĐT Bà Rịa – Vũng Tàu

Đề thi Olympic 274 Toán 10 năm 2017 – 2018 sở GD và ĐT Bà Rịa – Vũng Tàu gồm 1 trang với 6 bài toán tự luận, thời gian làm bài 180 phút, kỳ thi được tổ chức vào ngày 06032018 nhằm tuyển chọn các em học sinh giỏi Toán 10 tại các trường THPT và cơ sở GD – ĐT trên toàn tỉnh Bà Rịa – Vũng Tàu, đề thi HSG có lời giải chi tiết.. Trích dẫn đề thi Olympic 274 Toán 10 năm 2017 – 2018: + Cho 2018 số nguyên dương phân biệt và nhỏ hơn 4034. Chứng minh tồn tại 3 số phân biệt trong 2018 số đã cho mà một số bằng tổng hai số kia. + Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vuông tại A, D và AD = CD = 2AB. Điểm I thuộc đoạn AC sao cho AI = 34.AC. Biết điểm B(5; 3), đường thẳng DI có phương trình 3x – y + 8 = 0 và điểm D có hoành độ dương. Tìm tọa độ điểm D. + Cho tam giác ABC đều có độ dài cạnh bằng 3. Trên các cạnh BC, CA, AB lần lượt lấy các điểm N, M, P sao cho BN = 1, CM = 2, AP = x (0 < x < 3). a) Phân tích vectơ AN theo hai vectơ AB, AC. b) Tìm giá trị của x để AN vuông góc với PM.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

ĐỀ THI OLYMPIC 27/4 - NĂM HỌC 2017- 2018

MÔN THI: TOÁN LỚP 10

Ngày thi: 06/03/2018

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1 (6,0 điểm):

x x x  x 2) Giải hệ phương trình

2

1







Câu 2 (4,0điểm):

1) Cho tam giác ABC có diện tích S và bán kính của đường tròn ngoại tiếp R thỏa mãn hệ thức

2

3

S R A B C Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều

2) Cho tam giác ABC đều có độ dài cạnh bằng 3 Trên các cạnh BC CA AB lần lượt lấy các , , điểm , , N M P sao cho BN 1, CM 2, AP x (0 x 3)

a) Phân tích véc tơ AN theo hai vectơ  AB AC,

b) Tìm giá trị của x để AN vuông góc với PM

Câu 3 (2,0 điểm): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD vuông tại , A D và

2

AD CD  AB Điểm I thuộc đoạn AC sao cho 3

4

AI  AC Biết điểm (5;3),B đường thẳng DI

có phương trình 3x y    và điểm D có hoành độ dương Tìm tọa độ điểm 8 0 D

Câu 4 (3,0 điểm): Cho phương trình x24m1x3m22m  (m là tham số) 0

1) Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x thỏa mãn 1, 2

3 3

1 2 18

x x 

2) Tìm tất cả các giá trị nguyên của m nguyên sao cho phương trình đã cho có nghiệm nguyên

Câu 5 (3,0 điểm): Cho 4 số thực dương , , ,a b c d thỏa mãn a b c d    Chứng minh rằng: 4

b c  c d  d a a b 

Câu 6 (2,0 điểm): Cho 2018 số nguyên dương phân biệt và nhỏ hơn 4034 Chứng minh tồn tại 3 số

phân biệt trong 2018 số đã cho mà một số bằng tổng hai số kia

- HẾT -

Họ và tên thí sinh Số báo danh Chữ ký của giám thị 1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI OLYMPIC 27/4 - NĂM HỌC 2017- 2018

TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU MÔN THI: TOÁN LỚP 10

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC

(Hướng dẫn chấm có 04 trang)

Câu 1

6,0

điểm

1) Đk x3

0,5

2 3 0

3( )

t t

 



      



2x0,25

( ) 2

( ) 2















KL pt có nghiệm là 5 37

2

0,5 0,5

2







(1) ( 1) 3( 1) 3

( 1 - y) + 1 0

1 + 1 = 0

y x

x xy y

 



   



Ta có x2xy y 2 + 1 = 0 vô nghiệm

Với y = x + 1 thay vào pt (2) ta được pt: 3x1 + 3x 4 3x2  x 3

2

2

2

2

0

3

0 1

vn vi x

x x

  











0,25 0,25

2x0,25 0,25

0,25 0,25 0,25 2x0,25

0,25 0,25

KL: Hpt có nghiệm là (0; 1), (1; 2)

Cầu 2

4điểm 1) Theo định lí sin ta có :

2x0,25

3 3 3

Áp dụng bắt đẳng thức cô – si ta có: a3  b3 c3 3abc



4

abc VT

R



Mà

4

abc S R

 , dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c  ABC đều

2x0,25 2x0,25

AN AB BN AB AC AB  AB AC

        0,25x2

b) Ta có = 1 -

x

PM PA AM  AC AB

    

1 2 1 0

2 4 5

x

x x

x

    

 

     

     

0,25 0,25 2x0,25 0,25 0,25

Câu 3

2,0

Suy ra BDI vuông cân tại I

Do đó BI x: 3y14 0.

Mà I là giao điểm của BI và DI  I(-1; 5)

Vì D  DI  D(x; 3x + 8) mà DI = BI

( 1) (3 3) 40

3( )

x n





        

 D(1;11)

0,5

0,5 0,25 0,25

0,25x2

4m 1 4 3m 2m 4m 1 0, m R

Suy ra phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt x x Theo viet ta có 1, 2

2

1 2

4 1







0,5

28m 15m 6m 1

0,25

m 1 28  m2 13m 19 0 m 1

0,25

Phương trình có nghiệm nguyên suy ra là bình phương của 1 số nguyên 0,5 Nếu m = 0 thì ta có pt : 2 0

0

1

x

x x

x





     

 (thỏa)

0,5 Nếu m0thì 2  2

4m  1 2k1 (k Z ) do 4m2 là số lẻ 1

0,5

Mà k k,   1 1 k,k+1 là hai số chính phương (vô lí)

Vậy chỉ có m =0 thỏa

0,5

Ta có

b c   b c   b c  

0,5

a

a ab abc

b c  



0,5

Chứng minh tương tự ta có

1 4

0,5

2

a b c d

ab bc cd da    a c b d       

0,5

4

3

4

1

4 16

a b c d abc bcd cda dab abcd

a b c d

  

  

0,5

a b c d

b c c d  d a a b     

Dấu « = » xảy ra     a b c d 1

0,5

Cho 2018 số nguyên dương khác nhau và nhỏ hơn 4034 Chứng minh tồn tại ba số

trong 2018 số đó mà một số bằng tổng hai số kia

2,0đ Gọi 2018 số nguyên dương đã cho là a a1, , ,2 a2018 Không mất tính tổng quát giả sử

1 a a   a a 4033

Đặt b i  a i a i1 2,3, , 2018

0,25

Suy ra 1b2   b3 b2018 4032 0,25 Xét dãy gồm 4034 số a a2, , ,3 a2018, , , ,b b2 3 b2018 Các số này nhận 4033 giá trị khác

nhau nên có ít nhất 2 số trong dãy số trên bằng nhau

0,5

Mặt khác ta có : a i a b j; i b j, i j (2i j, 2018) Ngoài ra

, 2,3, , 2018

a b  i (do a1 Suy ra tồn tại 0) a xb x y  y, 2x y, 2018

0,5 Hay a x a y a1 a1a xa y(đpcm) 0,5