CHUYAN AAO BAUT AAONG THEAIC A... Chứng minh: be ca 4D.. Ap dụng BĐT Côsi cho hai sô chứng minh: a.
Trang 1CHUYAN AAO BAUT AAONG THEAIC
A BAUT AAONG THEEIC CA-SI
Cho 3 sau dzeang a, b, c Chœïng minh rằng
1 1 = 1
—+—+—
abe
HD: a+b+c >3Vabc; 1,1,1 >3;[—— => Kq
C
a+b b+c c+a
a+b b+c c+a
a+b b+c c+a
2)(a+b+c)
9
25 (2)
b+c atc bta 2
HD: (3) —2- +29 4-2 43 32
©(a+b+c) 1 + 1 + 1 = Sd bai 2
HD:VT =| 242\4/ 242 +|£+2] 6
b* c® a& c a b
5 —=†+>>_-†t—+—
= b* c* a bc
1b ˆ c? a Cc a a | 1||b c ˆ a’ | la b?
Dae Be oF bP oF oF] Zila? Be] (BP oF | oF a
c a b
>—+—+—
a be
a+1 b+1 c+1 3+a+b+c
9 3
> =—
2
3+3
Trang 2a b c 3 1 1 1
<—<
aZ+1 b+1 c+1 2 a+1 b+1 c+l
HD:@ “8 <5 9 <1
a +1 a +1 2
bˆ+1 2 c ˆ+1 2 a 2+1 bˆ+1 c?+1 2
+ +(1- a)(1- b)(1- e) <1 va,b,ce|0;1|
b+c+1 a+c+1 a+b+†
HD: Gs a <b <c
(a+b+1)(1- a)(1- b) < a+b+1+1-a+t1-b =
3
1- aJ(1- b)\1- c}<
b+c+1 b+a+1ic+a+1 btatt
=>
a>0,5>0
7)Cho ) atb<i .Tim im GTNN ciia cua So = oO +b + 2gb
lái: Ÿ > = >4
GIÁO ^ 2p ?+2ab (a+b)}
Dấu đăng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1/2
(a+b)
Giải:
2
2
2|_ 2 8
Bài tập tương tự
Trang 3Chứng minh: (a +b)(b+c)(c+a) >8abc ;a,bc>0
2 Chứng minh: (a+b+c)(a* +b* +c*) > Qabe : a,b,c >0
3 Chirng minh: (4+a)(4+b)(1+c)>(1+%abc) véia,b,c>0
mm
4 Choa,b>0 Chứng minh: (142) +(1+2| >2m*1 với m e Z”
a
5 Chứng minh: be ca 4D b.ọ ,a,b.c>0
xe y?
6 Chứng minh: — 2 3x°y° —16 ;xy>0
7 Chứng minh: 2af + > 3aZ —1
1+a
8 Chứng minh: a!°®°>1995(a-1) ,a>0
9 Chứng minh: a2(1+b2)~b2(4+c2)~c2(1+a2) > Gabe
a-+b* b*+c* at®ic® 2
11 Choa ,b> 1, chứng minh: ab > a/b—1+bx/a —1
12 Cho x, y, z > 1 và x +y+z=4 Chứng minh: xyz > 64(x — 1)(y — 1)(z — 1)
43 Choa >b >c, Chứng minh: a > 3Ÿ(a—b)(b—c)c
14 Cho:a,b,c>0vàa+b+c=1 Chứng minh:
a) b+c2 16abc
b) (1 —a)(1 — b)(1 — c) > 8abc
"_.-
1
15 Cho x >y >0 Chứng minh: X+- >3
(x-y)y
16 Chứng minh:
a) 22250 weR bp ŠÈ*Ê>6 vx>i ep) StS 24
17 Chứng minh: ab ~ be +4 <atb+e >a,b,c>0
2
18 Chứng minh: —“——+ y d1
4+16x* 1+16y® 4
49 Chứng minh: -2_—+—P_„—® >3 :a b,c>0
b+c a+c a+b 2
2
20 Choa,b,c>0.C/m:
a2 +bŠ+abc bŸ+cŠ + abe c7+a°+abc abc
21 Ap dụng BĐT Côsi cho hai sô chứng minh:
a a+b+c+d> 4%/abcd voia,b,c,d>0 (Côsi 4số)
b a+b+c>3ýabc vớia,b,c>0, (Côsi 3 số )
22 Chứng minh: aŠ +bŠ +cŠ >a“Abc +b°4ac+c?Vab ;a,b,c>0
23 Chứng minh: 2-/a + 3‡b + 4‡c > 9Ÿabc
Trang 4
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
Cho ve tS x>0 Định x để y đạt GTNN
x Cho yan x>1 Định x đễ y đạt GTNN
Cho y = —+——., x >-1 Dinh x dé y dat GTNN
2 x+1
,X» > Định x dé y dat GTNN
Cho y= +2 ,0<x<1.Dinhx dé y dat GTNN
x
Cho y=———— ,x>0 Định x đễ y đạt GTNN
x2+4x+4
,
Tim GTNN cua f(x) = x>0
Tìm GTNN của f(x) = x? + = x>0
x
Tim GTLN cua f(x) = (2x — 1)(3 — 5x) -
Cho y = x(6 —- x), 0 <x<6 Định x đê y đạt GTLN
Cho y = (x + 3)(6 ~2x) , 3 <x< Š Định x dé y dat GTLN
Cho y = (2x + 5)(5—x), -S<x<5 _ Dinh x dé y dat GTLN
Cho y = (6x + 3)(5 — 2x) , “5 <x< — Định x để y đạt GTLN
Hướng dẫn
1 Chứng minh: (a +b)(b + c)(c+a) >8abc ;a,b,c>0
™ Ap dung bat dang thirc Cési cho hai số không âm:
=> a+b>2Jab ` b+c>2V/be ` a+c>2Jac
=> (a+b)(b+c)(a+c) > 8Va*b*c* = 8abc
Chứng minh: (a+~b+c)(a? +b? +c) > 9abc ;a,b.c>0
“ Áp dụng bát đẳng thức Côsi cho ba số không âm:
=> a+b+c>3ÿabc , a® +b* +c? > 39 a*b*c?
=> (a+b+c)(a? +b? +c?) > 9% a%b%c® = Q9abc
Chứng minh: (1+a)(1+b)(1+c) >(1+Ÿabc)` ,vớia,b,c>0
x“ (1+a)(1+b)(1+c)=1+a+b+c+ab + ac +bc + abc
“xẻ a+b+c>3Ÿabc , ab+ac+bc > 3a b°c?
x_ (1+a)(1+b)(1+c) > 1+ 3Ÿabc + 3Ÿa?b°c? + abc = (1+ Yabc)
b`
Cho a, b > 0 Chứng minh: {1+2] +{1+2] >2"?! với m e Z”
_ (12) [bP eafreay (-ÈŸ ~2|s-B-8Ƒ
Trang 55 Chứng minh: be 24, abo ng ;a,b,c>0O
= Ap dung BDT Cési cho hai số không âm:
ca ab > a#bc
——¬—
=> be „ca 3D .bzc
6 .9
6 Chứng minh: *—~~—>a3x?y° 16 :X.V>O (*)
3 , 3
(*)© xÊ+y9+64>12x°yŸ © (x2) ;+(y3} +43 >12x2y3
Ap dụng BĐT Côsi cho ba sẽ không âm:
\3 + 3
(x?) +(y?) +4° > 3x7y?4 = 412x*y? -
7 Chứng minh: 2a* +—> 3a2 —1 (*%)
1+a (*+)© a*+a“+a2+1+— 1] >» 4a2,
1+aZ
Áp dụng BĐT Côsi cho 4 số không âm: a', af, a +1, 1 5
+a a“+a“+a2 +1+ 5 > 4af a#(a2 + 4) 1 5 - 4a?
8 Chứng minh: a?®°P > 1995(a—1) (%) ,a>0
(*) © a?9%° » 1995a - 1995 © a†!?9° + 1995 > 1905a
a!°®9° 4995 > a!9 44994 = a9 44444 4121995) Fai9> ~1995a
1994 số
9 Chứng minh: a2(1+b2)+b2(1+c2)~c2(1~ a2) > 6abc
° a? (1+b?)+b?(1+c7) +c? (44a?) = a° + “bể +b° +b°cZ +c° +c“aZ
= Ap dung bat dang thirc Cési cho 6 so khéng am:
© a® + a*b? +b? +b2c? +c? +c7a? > 6Ya®b®c® = Gabe
10 Choa _b >0 Chứng minh: <—
° a=(a- )+1>2ja=1, b=(b-1)+1>2-/b-1
°_ ab>2bVa-1, ab>2av/b—1
12 Cho x, y, z > 1 và x + y+zZ=4 C/m: xyz > 64(x — 1)(y — 1)(Zz — 1)
°_ x=(x-†Ì+†1=(x-†+x+y+z-3
=(x~)+(x~)+(y~1)+(z~1) > 4ẤÍ(x — 1Ê (y—1)(z—3)
Tương tự: y> AẨ(x ~4)(y-1)° (z-1); z> 4Ẩ(x ~®(y—1)(z-1®
=> xyz>64(x— 1)(y— 1)(z— 1)
13 Cho a >b >c, Chứng minh: a > 3Ÿ(a—b)(b—ec)ec
° a=(a—b)+(b—c)+c > 3Ÿ(a —b)(b —c)c
8
Trang 6
14 Chứng minh: Nếu a + b > 1 thì: a° +bŸ >7
° a+b>1>b2>1-a>b=(1-a)=1-ata-a
1“ 1.1
=aŸ'+b`= SÍa~ +—>_—
2/ 4 4
15 Cho a, b, c la số đo độ dài 3 cạnh của 1 tam giác Chứng minh:
a ab + bc + ca < a” + bỂ + cˆ< 2(ab + bc + ca)
ab + bc + ca < aŸ + bỂ + cẰẴ © (a— b) + (a— c}” + (b — c}
x a>|b—c| ,b >|a—c|,, e > |a — bị
=> a“ >bÊ-2bc+cˆ , b* > a* -2ac+c* , c* > a* -2ab+b*
=> a* + b* + c* < 2(ab + be + ca)
b abc2>(a+b—c)\(a+c—b)(b+c-—a)
x a? > a? -(b-c)* = a2 > (a+c-b)(a+b-c)
x b? > b?-(a—c)* = b? > (b+c-alla+b-c)
x c2 > ce? -(a—b)* = c2 > (b+c-a)(a+c-b)
=> a°b°c? > (a+b-c)*(a+c-b)*(b+c-a)*
© abc > (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)
c 2a*b? + 2b°c? + 2c’a*-a*—b*-c*>0
© 4a7b* + 2c7(b* + a”) — a* — b* — 2a”bỶ — cỶ > 0
© 4a°b* + 2c*(b* + a”) - (aˆ + bˆ)”— cˆ > 0
© (2ab)Ÿ — [(a” + bŸ) — c]Ý > 0 © [c” — (a — b} l[(a + b)” — c”] > 0
© (c-a+b)(c +a—b)(a + b — c)(a + b + c) >0 đúng
°- Vìia,b, c là ba cạnh của tam giác
> c-a+b>,c+a—-b>Ð a+b-c>0 ,a+b+c>0.