Gọi D và E lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên cạnh AB, AC.. Cho tam giác vuông có chu vi 72cm, hiệu giữa đường trung tuyến và đường cao ứng với cạnh huyền bằng 7cm.. Biết hai
Trang 1UBND HUYỆN THANH SƠN
PHÒNG GD &ĐT
(Đề có 02 trang)
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
Năm học: 2018 - 2019 Môn: Toán
Thời gian 150 phút không kể thời gian giao đề
I PHẦN TRẮC NGHIỆM (8,0 điểm)
Hãy chọn các phương án trả lời đúng rồi ghi vào bài làm
Câu 1 Cho a > b > 0 thỏa mãn 2a2 + 2b2 = 5ab Giá trị của biểu thức
b a
b a P
bằng: A.1 B 2 C 3 D 5
�� ���� ��
Câu 3 Cho x3 52 6 3 5 2 6 Giá trị của biểu thức A x 3 3x 2009 bằng:
Câu 4 Giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x4 x2 bằng:
Câu 5 Giá trị x 32 53 2 5 là nghiệm của phương trình:
A x33x 4 0 B x33x 4 = 0 C x33x 4 = 0 D x2x = 0
(x x 2018)(y y 2018) 2018 thì giá trị x2019y2019 bằng:
Câu 7 Cặp số (x; y) thỏa mãn phương trình 3x2 – 6x + y – 2 = 0 để y đạt giá trị lớn nhất là:
Câu 8 Giá trị x thỏa mãn 2x 1 52 là:
A x25
2
1
2
1
2
1
x
Câu 9 Cho a, b, c dương thỏa mãn a a b b c c 3 abc Giá trị của biểu thức
a
c c
b b
a
1 1
A 0 B 2 C 8 D 27
Câu 10 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, có AH = 12cm và tanB = 3
4 Khi đó độ dài đoạn HB bằng:
A 16cm
B 24
3 cm
Câu 11 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Gọi D và E lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên cạnh AB, AC Biết BH = 4 cm, CH = 9cm Khi đó độ dài đoạn thẳng DE là:
Câu 12 Cho hình thang ABCD vuông tại A và D, biết AB = 4cm, AD = 6cm, hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau Khi đó diện tích hình thang ABCD là:
1
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2A 24cm2 B 30cm2 C 39cm2 D 40cm2
Câu 13 Cho tam giác ABC, đường phân giác AD, AB = 4cm, AC = 6cm Điểm O chia
trong đoạn AD theo tỉ số 2:1 Gọi K là giao điểm của BO và AC Tỉ số AK
KC bằng:
A 2
5
Câu 14 Cho tam giác vuông có chu vi 72cm, hiệu giữa đường trung tuyến và
đường cao ứng với cạnh huyền bằng 7cm Diện tích tam giác vuông đó là:
Câu 15 Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 8cm Biết hai đường trung tuyến từ đỉnh B và C vuông góc với nhau Khi đó độ dài cạnh BC là:
Câu 16 Một cột đèn cao 7m có bóng trên mặt đất dài 4m
Gần cột đèn có một tòa nhà cao tầng có bóng trên mặt đất là 80m
Biết mỗi tầng cao 2m thì số tầng của tòa nhà là:
A 80 B 70
C 32 D 28
II PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm).
Câu 17 (3,0 điểm)
a) Tìm số tự nhiên n để 2 2
8 36
n có giá trị là số nguyên tố
b) Cho số nguyên dương n thỏa mãn n và 10 là hai số nguyên tố cùng nhau Chứng minh rằng 4
1 40
n M
Câu 18 (3,0 điểm) Cho biểu thức 2 2 2 1
x
A
a) Rút gọn biểu thức A;
b) Tìm x để biểu thức B 2 x
A
nhận giá trị là một số nguyên
Câu 19 (2,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH = 12cm,
BC = 25cm.Vẽ trung tuyến AM
a) Tính �AMH (làm tròn kết quả đến phút);
b) Tính diện tích tam giác AHM
Câu 20 (3,0 điểm) Cho tam ABC cân tại A, AH là đường cao, gọi D là trung điểm của
đoạn thẳng AH Vẽ HE vuông góc với CD tại E Chứng minh rằng � 0
90
AEB
Câu 21 (1,0 điểm) Cho a, b, c dương, thỏa mãn a b c 1 Tìm giá trị lớn nhất của
S a b b c c a
-HẾT -Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm./.
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
Năm học: 2018 - 2019 Môn: Toán 9
7m
Trang 3Lưu ý: Nếu học sinh làm cách khác, tổ chấm thống nhất cho điểm Học sinh
không vẽ hình hoặc vẽ sai không tính điểm.
I PHẦN TRẮC NGHIỆM (8,0 điểm) Mỗi câu trả lời đúng được 0,50 điểm
Đáp
II PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm)
Câu 17 (3,0 điểm)
a) Tìm số tự nhiên n để 2 2
8 36
n có giá trị là số nguyên tố
b) Cho số nguyên dương n thỏa mãn n và 10 là hai số nguên tố cùng nhau Chứng minh rằng n4 M1 40.
a) Phân tích được: 2 2 2 2
Vì n là số tự nhiên nên n26n 10 n26n10 Khi đó, để 2 2
8 36
n
có giá trị là số nguyên tố thì 2 2
Thử lại: với n = 3 thì 2 2
8 36 37
n là số nguyên tố Vậy n = 3 thỏa
b) Vì n và 10 là hai số nguyên tố cùng nhau nên n không chia hết cho 2 và 5
2
n
Mặt khác, do n không chia hết cho 2 nên
n k �n n n n k k n M (2) 0,50
Từ (1) và (2) và (5;8) = 1 nên 4
1 40
Câu 18 (3,0 điểm) Cho biểu thức 2 2 2 1
x
A
a) Rút gọn biểu thức A;
b) Tìm x để biểu thức B 2 x
A
nhận giá trị là một số nguyên
b) Khi đó
1
x B
x
nguyên nên B�0;1; 2
0,50
3
F
K
A
E D
C H
B
Trang 4+ Nếu B = 0 thì 2 0 0
1
x
x
+ Nếu B = 1 thì 2 1 7 3 5
1
x
x
+ Nếu B = 2 thì 2 2 1
1
x
x
(không thỏa mãn).
Vậy: x �7 3 5 thì B có giá trị là một số nguyên.
0,25
Câu 19 (2,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH = 12cm,
BC = 25cm.Vẽ trung tuyến AM
a) Tính �AMH (làm tròn kết quả đến phút);
b) Tính diện tích tam giác AHM.
Vẽ hình:
a) Trong tam giác vuông ABC, ta có : 25 12,5
BC
Trong tam giác vuông AMH, ta có: 12
12,5
AH SinM
AM
Suy ra � 74 44'o
b) Trong tam giác vuông AMH, ta có: MH 12,52 122 3,5 (cm) 0,50
AHM
Câu 20 (3,0 điểm) Cho tam ABC cân tại A, AH là đường cao, gọi D là trung điểm của đoạn thẳng AH Vẽ HE vuông góc với CD tại E Chứng minh rằng �AEB900.
Vẽ hình:
F
K
A
E D
M H
C B
A
Trang 5Dựng hình bình hành ACHF, suy ra AF = CH; AF//CH 0,50
Ta có, BH = CH �AF = BH; AF//BH, mà �AHB900 nên AHBF là hình
Gọi K là giao điểm của AB và HK � AK = KB = KH = KF (1) 0,50
Vì ACHF là hình bình hành, D là trung điểm của AH nên C, D, F thẳng
Tam giác HEF vuông tại E, có EK là đường trung tuyến ứng với cạnh
huyền nên KE = 1
2FH =1
2AB (Tính chất hình chữ nhật) 0,50
Suy ra tam giác AEB vuông tại E Hay �AEB900 0,50
Câu 21 (1,0 điểm) Cho a, b, c dương, thỏa mãn a b c 1 Tìm giá trị lớn nhất của
S a b b c c a .
Viết lại 3 .2 .2 .2
Áp dụng BĐT Cosi, ta có
S
(do a b c 1)
0,25
dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi 1
3
3
a b c
-HẾT -5