(Đại số 9  Chường II ) Bài giảng: Hệ số góc của đường thẳng

Biên soạn theo hướng "LẤY HỌC TRÒ LÀM TRUNG TÂM"

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức

Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:

1 Tài liệu dễ hiểu  Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này

2 Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc  Đăng kí “Học tập từ xa”.

BÀI GIẢNG QUA MẠNG

Đ ẠI SỐ 9

CHƯƠNG II HÀM SỐ BẬC NHẤT

các khái niệm về hàm số

 Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả”

Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12

Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC

Địa chỉ: Số nhà 20  Ngõ 86  Đường Tô Ngọc Vân  Hà Nội

Email: nhomcumon68@gmail.com

Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689

PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ

Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn

1 Đọc lần 1 chậm và kĩ có thể bỏ quả nội dung các HOẠT ĐỘNG

Đánh dấu nội dung chưa hiểu

2 Đọc lần 2 toàn bộ:

Ghi nhớ bước đầu các định nghĩa, định lí

Định hướng thực hiện các hoạt động

Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu

3 Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện có thứ tự:

Đọc  Hiểu  Ghi nhớ các định nghĩa, định lí

Chép lại các chú ý, nhận xét

Thực hiện các hoạt động vào vở

4 Thực hiện bài tập lần 1

5 Viết thu hoạch sáng tạo

Phần: Bài giảng nâng cao

1 Đọc lần 1 chậm và kĩ

Đánh dấu nội dung chưa hiểu

2 Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện các ví dụ

3 Đọc lại và suy ngẫm tất cả chỉ với câu hỏi “Vì sao họ lại nghĩ được cách giải như vậy”

4 Thực hiện bài tập lần 2

5 Viết thu hoạch sáng tạo

Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau mỗi bài

giảng em hãy viết yêu cầu theo mẫu:

Nôi dung chưa hiểu

Hoạt động chưa làm được

Bài tập lần 1 chưa làm được

Bài tập lần 2 chưa làm được

Thảo luận xây dựng bài giảng

gửi về Nhóm Cự Môn theo địa chỉ nhomcumon86@gmail.com để nhận

được giải đáp

Đ 5 h ệ số góc của đờng thẳng

bài giảng theo chơng trình chuẩn

1 khái niệm hệ số góc của đờng thẳng

a) Góc tạo bởi đờng thẳng y = ax + b và trục Ox

Cho đờng thẳng y = ax + b, với a  0

Gọi  là góc tạo bởi đờng thẳng với tia Ox Ta có hai trờng hợp:

Trong OAB, ta có:

tan = OA

OB =

| b | b a

 = a

Trong OAB, ta có:

tan = tanABO= OA

OB= 

| b | b a

 = a

b) Hệ số góc

Nh vậy, ta thấy đợc mối liên quan giữa hệ số a với góc tạo bởi đờng thẳng và tia

Ox, nên ta gọi a là hệ số góc của đờng thẳng y = ax + b.

Ta có kết quả:

Đờng thẳng y = ax + b có hệ số góc là a và:

 Nếu a > 0 thì  < 900

 Nếu a < 0 thì  > 900 (khi đó  = 1800 ABO)

2 Thí dụ

Thí dụ 1: Cho đờng thẳng (d): y = x + 8.

a Vẽ đờng thẳng (d)

b Tính hệ số góc của đờng thẳng (d) và góc tạo bởi đờng thẳng (d)

với trục Ox (làm tròn đến phút)

 Giải

a Ta lấy hai điểm thuộc (d) là A(0; 8) và B(8; 0) Nối A

và B ta nhận đợc đồ thị của (d)

b Ta có ngay, đờng thẳng (d) có hệ số góc bằng 1

Khi đó, gọi  là góc tạo bởi đờng thẳng (d) với trục Ox:

tan = 1   = 450

Thí dụ 2: Lập phơng trình đờng thẳng (d), biết (d):

a Đi qua điểm M (1; 2) có hệ số góc bằng 3

b Đi qua điểm A (3; 2) và tạo với tia Ox một góc 450

c Đi qua điểm B (3; 2) và tạo với trục Ox một góc 600

 Giải

Giả sử đờng thẳng (d) có phơng trình y = ax + b

a Đờng thẳng (d) có hệ số góc bằng 3 nên a = 3

Vì M(1; 2) thuộc (d) nên 2 = a.1 + b = 3.1 + b  b = 1

O x

y A B

y = ax + b



y A

B

y = ax + b



O x

y A B

y

= x + 8



 8 8

Vậy, phơng trình đờng thẳng (d): y = 3x  1.

b Đờng thẳng (d) tạo với tia Ox một góc 450 nên a = tan450 = 1

Vì A(3, 2) thuộc (d) nên:

2 = a.(3) + b = 1.(3) + b  b = 5

Vậy, phơng trình đờng thẳng (d): y = x + 5

c Ta xét hai trờng hợp:

Trờng hợp 1: Đờng thẳng (d) tạo với tia Ox một góc 600, ta đợc :

a = tan600 = 3

Vì B(3; 2) thuộc (d) nên:

2 = a.3 + b = 3 3 + b  b = 2  3 3

Vậy, phơng trình đờng thẳng (d1): y = 3 x + 2  3 3

Trờng hợp 2: Đờng thẳng (d) tạo với tia đối của tia Ox một góc 600, ta đợc:

a = tan600 =  3

Vì B(3; 2) thuộc (d) nên 2 = a.3 + b =  3 3 + b  b = 2 + 3 3

Vậy, phơng trình đờng thẳng (d2): y =  3 x + 2 + 3 3

Kết luận, có hai đờng thẳng (d1) và (d2) thoả mãn điều kiện đầu bài

bài tập lần 1

Bài tập 1: Cho đờng thẳng:

(d): y = x + 2

a Vẽ đờng thẳng (d)

b Tính hệ số góc của đờng thẳng (d)

Bài tập 2: Cho hai điểm A (2; 3) và B (5; 8) thuộc đờng thẳng (d)

a Tính hệ số góc của đờng thẳng (d)

b Xác định đờng thẳng (d) đó

Bài tập 3: Lập phơng trình đờng thẳng (d) có hệ số góc bằng

3

4 và:

a Đi qua điểm M(1; 1)

b Chắn trên hai trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 24

Bài tập 4: Lập phơng trình đờng thẳng (d) có hệ số góc bằng

3

4

và khoảng cách

từ O đến (d) bằng

5

12

Bài tập 5: Lập phơng trình đờng thẳng (d), biết (d) cắt Ox, Oy theo thứ tự tại

A(a, 0), B(0, b) với a, b  0

Bài tập 6: Trên mặt phẳng toạ độ, cho điểm M(4, 1) Một đờng thẳng (d) luôn đi

qua M cắt Ox, Oy theo thứ tự tại A(a, 0), B(0, b) với a, b > 0 Lập

ph-ơng trình đờng thẳng (d) sao cho:

a Diện tích OAB nhỏ nhất

b OA + OB nhỏ nhất

OA

1 + 2 OB 1 nhỏ nhất

Bài tập 7: a Lập phơng trình đờng thẳng (d) đi qua điểm A(5; 5) sao cho (d)

tạo với tia Ox một góc  có tan =

2

1

b Tìm trên đờng thẳng (d) điểm M(xM, yM) sao cho 2

M 2

M y

x  nhỏ nhất

bài giảng nâng cao

A Tóm tắt lí thuyết

Đờng thẳng y = ax + b có hệ số góc là a và:

 Nếu a > 0 thì  < 900

 Nếu a < 0 thì  > 900 (khi đó  = 1800 ABˆO)

B phơng pháp giải toán

Ví dụ 1: (Bài 28/tr 58  Sgk): Cho hàm số y = 2x + 3 (d)

a Vẽ đồ thị hàm số

b Tính góc tạo bởi đờng thẳng (d) và trục Ox (làm tròn đến phút)

 Hớng dẫn: Tham khảo thí dụ 1.

 Giải

a Ta lấy hai điểm thuộc (d) là A(0; 3) và 3

B ; 0 2

  Nối A và B ta nhận đợc đồ thị

của (d)  Học sinh tự vẽ hình.

b Ta có ngay, đờng thẳng (d) có hệ số góc bằng 2

Khi đó, gọi  là góc tạo bởi đờng thẳng (d) với trục Ox:

tan = 2   = 126017’

Ví dụ 2: (Bài 27/tr 58  Sgk): Cho hàm số bậc nhất y = ax + 3

a Xác định hệ số góc a, biết rằng đồ thị của hàm số đi qua điểm A(2; 6)

b Vẽ đồ thị của hàm số

 Hớng dẫn:

 Giải

a Ta có điểm A(2; 6) thuộc đồ thị hàm số, suy ra:

6 = a.2 + 3  2a = 3 3

a 2

   Hàm số có dạng 3

2

b Học sinh tự thực hiện.

Ví dụ 3: (Bài 30/tr 59  Sgk):

2

  và y = x + 2 trên cùng một

hệ trục toạ độ

2

  và y = x + 2 cắt nhau tại C và cắt trục Ox theo thứ tự tại A và B Tính các góc của ABC

c Tính chu vi và diện tích ABC (đơn vị đo trên các trục toạ độ là xentimét)

 Hớng dẫn: Ta lần lợt:

 Với câu a), sử dụng phơng pháp vẽ đồ thị hàm số bậc nhất.

 Với câu b), sử dụng tính chất của hệ số góc để tìm số đo của các góc A, B, từ đó suy ra số đo của góc C dựa vào tính chất tổng ba góc trong một tam giác.

 Với câu c), sử dụng các phơng trình hoành độ để nhận đợc toạ độ của A, B, C Khi đó:

 Chu vi ABC đợc tính bởi công thức:

ABC

CV  AB BC AC  

 Diện tích ABC đợc tính bởi công thức:

ABC

1

S d(A, BC).BC 2

2

 Giải

a Học sinh tự vẽ đồ thị theo chỉ dẫn sau:

 Đồ thị hàm số 1

2

  đi qua A(4; 0) và điểm C(0; 2)

 Đồ thị hàm số y = x + 2 đi qua B(2; 0) và điểm C(0; 2)

b Trong ABC, ta có:

tanA = 1

2  Â  26

031’; tanB = 1  B  450’;

 C 180  0 A B   1800 26 31' 450  0108 29'.0

c Ta lần lợt:

 Hoành độ điểm C là nghiệm của phơng trình:

1

2x + 2 = x + 2  3x = 0  xC = 0  yC = 2  C(0; 2).

 Hoành độ điểm A là nghiệm của phơng trình:

1

2x + 2 = 0  x + 4 = 0  xA = 4  A(4; 0).

 Hoành độ điểm B là nghiệm của phơng trình:

x + 2 = 0  xB = 2  B(2; 0)

Khi đó:

 Chu ABC đợc tính bởi công thức:

CVABC = AB + BC + AC  2  4  2222  ( 4) 222

6 2 2 2 5(cm)

 Diện tích ABC đợc tính bởi công thức:

ABC

1

2

y x x 2

2 2 4 6cm 2

Ví dụ 4: Cho hai điểm A (2; 3) và B (5; 8) thuộc đờng thẳng (d)

a Tính hệ số góc của đờng thẳng (d)

b Xác định đờng thẳng (d) đó

 Hớng dẫn: Bài toán đợc chuyển về việc xác định phơng trình đờng thẳng (d).

 Giải

a Giả sử phơng trình của đờng thẳng (d): y = ax + b

Ta có:

Lấy (2) trừ (1) suy ra:

2a = 6  a =3

Vậy, hệ số góc của (d) bằng 3

b Thay a = 3 vào (1) ta đợc:

3.3 + b = 2  b = 7

Vậy, phơng trình đờng thẳng (d): y = 3x  7

 Tổng quát: Cho hai điểm A (x1 ; y1) và B (x2 ; y2) thuộc đờng thẳng (d), trong đó x1  x2 Ta dễ dàng chứng minh đợc:

 Hệ số góc của đờng thẳng (d) là:

a = 2 1





 Phơng trình (d) đợc xác định bởi công thức:

1 1

y y

x x



 = 2 1



Trong nhiều bài toán việc sử dụng công thức (*) để xác định đờng thẳng (d) dễ dàng hơn nhiều

Ví dụ 5: (Bài 31/tr 59  Sgk):

a Vẽ đồ thị các hàm số y = x + 1; 1

3

b Gọi , ,  lần lợt là các góc tạo bởi các đờng thẳng trên và trục

Ox Chứng minh rằng tan = 1, tan = 1

3 , tan = 3. Tính số

đo các góc , , 

 Hớng dẫn: Ta lần lợt:

 Với câu a), sử dụng phơng pháp vẽ đồ thị hàm số bậc nhất.

 Với câu b), sử dụng tính chất hệ số góc của đờng thẳng y = ax + b.

 Giải

a Học sinh tự vẽ đồ thị theo chỉ dẫn sau:

 Đồ thị hàm số y = x + 1 đi qua A1(1; 0) và điểm B1(0; 1)

 Đồ thị hàm số 1

3

  đi qua A2(3; 0) và điểm B2(0; 3)

 Đồ thị hàm số y 3x 3 đi qua A3(1; 0) và điểm B3(0;  3)

b Sử dụng định nghĩa hệ số góc của đờng thẳng dạng y = ax + b, ta có ngay:

 Đờng thẳng y = x + 1 có hệ số góc k1 = 1 nên:

tan = 1   = 45.

 Đờng thẳng 1

3

  có hệ số góc k2 = 1

3 nên:

tan = 1

3   = 30

0

 Đờng thẳng y 3x 3 có hệ số góc k3 = 3 nên:

tan = 3   = 600

Phơng pháp

Ta ghi nhận kết quả:

" Mọi đờng thẳng có hệ số góc k luôn có phơng trình y = kx + b ".

Khi đó, để xác định phơng trình đờng thẳng ta chỉ cần xác định b

Ví dụ 1: (Bài 29/tr 59  Sgk): Xác định hàm số bậc nhất y = ax + b trong mỗi

trờng hợp sau:

a a = 2 và đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1,5

b a = 3 và đồ thị của hàm số đi qua điểm A(2; 2)

c Đồ thị hàm số song song với đờng thẳng y 3x và đi qua

điểm B 1; 3 5  

 Hớng dẫn: Ta lần lợt:

 Với câu a) và câu b), vì a đã biết nên hàm số y = ax + b sẽ đợc hoàn toàn xác định khi biết b, để thực hiện điều này ta sử dụng

điều kiện còn lại của giả thiết.

 Với câu c), ta sử dụng dần các điều kiện từ song song đến đi qua

điểm B.

 Giải

a Với a = 2, hàm số có dạng: y = 2x + b

Đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1,5, tức là đi qua

điểm M(1,5; 0) nên:

0 = 2.1,5 + b  0 = 3 + b  b = 3  Hàm số có dạng y = 2x  3

b Với a = 3, hàm số có dạng: y = 3x + b

Đồ thị của hàm số đi qua điểm A(2; 2) nên:

2 = 3.2 + b  2 = 6 + b  b = 4  Hàm số có dạng y = 3x  4

c Ta lần lợt:

 Đồ thị hàm số song song với đờng thẳng y 3x nên có dạng:

y 3x b.

 Đồ thị hàm số đi qua điểm B 1; 3 5   nên:

3 5  3.1 b  b = 5  Hàm số có dạng y 3x 5.

Ví dụ 2: Lập phơng trình đờng thẳng (d) có hệ số góc bằng 4

3 và:

a Đi qua điểm M(1; 1)

b Chắn trên hai trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 24

 Hớng dẫn: Đờng thẳng (d) với hệ số góc bằng 4

3 có phơng trình y =

4

3x + b Để tìm

b ta lần lợt:

 Với câu a), thay toạ độ của M vào phơng trình (d).

 Với câu b), ta thực hiện theo các bớc:

 Tìm toạ độ các điểm A, B của (d) theo thứ tự với Ox và Oy.

 Thiết lập điều kiện:

S OAB = 24 1OA.OB 24.

2

 Giải

Đờng thẳng (d) có hệ số góc bằng 4

3 có phơng trình:

(d): y = 4

3x + b.

a Vì M(1; 1) thuộc (d) nên:

1 = 4

3.(1) + b  b = 1.

Vậy, ta đợc (d): y = 4

3x + 1.

a Gọi A, B theo thứ tự là giao điểm của (d) với các trục Oy, Ox, ta đợc:

 Với điểm A: x = 0  y = 4

3.0 + b = b, do đó A(0; b).

 Với điểm B: y = 0  0 = 4

3.x + b  x = 

3b

4 , do đó B( ; 0).

Diện tích OAB đợc cho bởi:

SOAB = 1

2.OA.OB  24 =

1

2. b 

3b 4

 =

2

3b 8

 b2 = 64  b =  8

Khi đó:

 Với b = 8, ta đợc đờng thẳng (d1): y = 4

3x + 8.

 Với b = 8, ta đợc đờng thẳng (d2): y = 4

3x  8.

Vậy, tồn tại hai đờng thẳng (d1) và (d2) thoả mãn điều kiện đầu bài

Ví dụ 3: Lập phơng trình đờng thẳng (d) có hệ số góc bằng 4

3 và khoảng

cách từ O đến (d) bằng 12

5 .

O x

y A B

 Hớng dẫn: Đờng thẳng (d) với hệ số góc bằng 4

3 có phơng trình y =

4

3x + b

Để tìm b ta lần lợt:

 Với câu a), thay toạ độ của M vào phơng trình (d).

 Với câu b), ta thực hiện theo các bớc:

 Tìm toạ độ các điểm A, B của (d) theo thứ tự với Ox và Oy.

 Thiết lập điều kiện:

h = d(O, d) = 12

h OA OB .

 Giải

Đờng thẳng (d) có hệ số góc bằng 4

3 có phơng trình:

(d): y = 4

3x + b.

Gọi A, B theo thứ tự là giao điểm của (d) với các trục Oy, Ox, ta đợc:

 Với điểm A: x = 0  y = 4

3.0 + b = b, do đó A(0, b).

 Với điểm B: y = 0  0 = 4

3.x + b  x = 

3b

4 , do đó B(

3b

4 , 0).

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên đờng thẳng (d)

Trong OAB vuông tại O, ta có:

OA.OB

OA OB

 12

3b

| b | 4 3b b

4



  

= 3 | b |

5  | b | = 4  b =  4.

Khi đó:

 Với b = 4, ta đợc đờng thẳng (d3): y = 4

3x + 4.

 Với b = 4, ta đợc đờng thẳng (d4): y = 4

3x  4.

Vậy, tồn tại hai đờng thẳng (d3) và (d4) thoả mãn điều kiện đầu bài

Ví dụ 4: Lập phơng trình đờng thẳng (d), biết (d) cắt Ox, Oy theo thứ tự tại

A(a, 0), B(0, b) với a, b  0

 Giải

Giả sử phơng trình đờng thẳng (d) có dạng y = kx + m

 Vì B(0, b) thuộc (d) nên b = k.0 + m  m = b

 Vì A(a, 0) thuộc (d) nên:

0 = ka + m  ka = m = b  k = 

a

b Vậy, phơng trình đờng thẳng (d) có dạng:

O x

y A

BH

y = 

a

b

x + b 

a

x + b

y = 1

 Nhận xét: Qua lời giải của ví dụ trên, ta ghi nhận kết quả " Mọi đờng thẳng

đi qua hai điểm A(a, 0) và B(0, b) với a, b  0 luôn có phơng trình

a

x + b

y = 1 "

Phơng trình trên đợc gọi là phơng trình đoạn chắn

Ví dụ tiếp theo sẽ minh hoạ việc sử dụng phơng trình đoạn chắn để giải toán

Ví dụ 5: Trên mặt phẳng toạ độ, cho điểm M(4, 1) Một đờng thẳng (d) luôn đi

qua M cắt Ox, Oy theo thứ tự tại A(a, 0), B(0, b) với a, b > 0 Lập

ph-ơng trình đờng thẳng (d) sao cho:

a Diện tích OAB nhỏ nhất

b OA + OB nhỏ nhất

OA + 2

1

OB nhỏ nhất.

 Hớng dẫn: Sử dụng kết quả trong nhận xét sau ví dụ 4.

 Giải

Từ giả thiết, ta đợc (d): x

a +

y

b = 1.

Vì M(4; 1) thuộc (d) nên:

4

a +

1

b = 1  a =

4b

a Diện tích OAB đợc cho bởi:

S = 1

2.OA.OB =

ab

2 .

Từ (*), sử dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:

1 = 4

a +

1

b  2

4 1

a b =

4

ab  ab  16  S  8.

Suy ra, ta đợc SMin = 8, đạt đợc khi:

4

a =

1

b =

1

2 

a 8

b 2









 Vậy, phơng trình đờng thẳng (d) có dạng:

(d): x

8 +

y

2 = 1  (d): y = 

1

4x + 2.

b Ta có:

OA + OB = | a | + | b | = 4b

b 1 + b = 4

b 1 + b + 4 = 4

b 1 + b  1 + 5  2 4

.(b 1)

b 1  + 5 = 9

Suy ra, ta đợc (OA + OB)Min = 9, đạt đợc khi:

4

b 1 = b  1 = 2  a 6

b 3









 Vậy, phơng trình đờng thẳng (d) có dạng:

(d): x

6 +

y

3 = 1  (d): y = 

1

2x + 3.

c Ta có:

2

1

1

OB = 2

1

a + 2

1

b . Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:

(42 + 12)( 12

a + 2

1

b )  (

4

a +

1

b)

2 = 1  12

a + 2

1

b 

1

17 . Suy ra, ta đợc ( 12

1

OB )Min =

1

17, đạt đợc khi:

4 1

1

a b

4a b











17 a 4

b 17









 



Vậy, phơng trình đờng thẳng (d) có dạng:

(d): x

17 / 4 +

y

17 = 1  (d): y = 

1

4x + 17.

 Chú ý: Sai lầm thờng gặp của học sinh trong câu b) là dùng lập luận:

OA + OB = a + b  2 ab  8

Khi đó (OA+OB)Min = 8 đạt đợc khi a = b   a = b = 5.(*)

Ví dụ 6: a Lập phơng trình đờng thẳng (d) đi qua điểm A(5; 5) sao cho (d)

tạo với tia Ox một góc  có tan = 1

2.

b Tìm trên đờng thẳng (d) điểm M(xM, yM) sao cho x2My2M nhỏ nhất

 Giải

a Giả sử phơng trình đờng thẳng (d): y = ax + b

 (d) tạo với tia Ox một góc  có tan = 1

2 nên a = tan =

1

2.

 Vì A(5, 5) thuộc (d) nên:

5 = a(5) + b = 1

2(5) + b  b =

15

2 . Vậy, phơng trình đờng thẳng (d): y = 1

2x +

15

2 .

b Vì M(xM, yM) thuộc (d) nên: