(Hình học 10 - Chương II) Bài giảng: Hệ thức lượng trong tam giác

Biên soạn theo hướng "LẤY HỌC TRÒ LÀM TRUNG TÂM"

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức

Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:

1 Tài liệu dễ hiểu  Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này

2 Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc  Đăng kí “Học tập từ xa”.

BÀI GIẢNG QUA MẠNG

CHƯƠNG II TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

 Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả”

Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12

Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC

Địa chỉ: Số nhà 20  Ngõ 86  Đường Tô Ngọc Vân  Hà Nội

Email: nhomcumon68@gmail.com

Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689

PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn

1 Đọc lần 1 chậm và kĩ có thể bỏ quả nội dung các HOẠT ĐỘNG

Đánh dấu nội dung chưa hiểu

2 Đọc lần 2 toàn bộ:

Ghi nhớ bước đầu các định nghĩa, định lí

Định hướng thực hiện các hoạt động

Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu

3 Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện có thứ tự:

Đọc  Hiểu  Ghi nhớ các định nghĩa, định lí

Chép lại các chú ý, nhận xét

Thực hiện các hoạt động vào vở

4 Thực hiện bài tập lần 1

5 Viết thu hoạch sáng tạo

Phần: Bài giảng nâng cao

1 Đọc lần 1 chậm và kĩ

Đánh dấu nội dung chưa hiểu

2 Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện các ví dụ

3 Đọc lại và suy ngẫm tất cả chỉ với câu hỏi “Vì sao họ lại nghĩ được cách giải

như vậy”

4 Thực hiện bài tập lần 2

5 Viết thu hoạch sáng tạo

Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau mỗi bài

giảng em hãy viết yêu cầu theo mẫu:

Nôi dung chưa hiểu

Hoạt động chưa làm được

Bài tập lần 1 chưa làm được

Bài tập lần 2 chưa làm được

Thảo luận xây dựng bài giảng

gửi về Nhóm Cự Môn theo địa chỉ nhomcumon68@gmail.com để nhận

được giải đáp

Đ3 hệ thức lợng trong tam giác

Một tam giác hoàn toàn đợc xác định nếu biết ba cạnh, hoặc hai cạch và một góc xen giữa, hoặc một cạnh và hai góc kề Nh vậy, giữa các yếu tố của tam giác

có những mối liên hệ nào đó, mà ta sẽ gọi chúng là hệ thức lợng trong tam giác.

Trong bài học này các em học sinh sẽ đợc làm quen với một vài hệ thức đó và phải biết vận dụng chúng để giải một số bài toán hình học và bài toán thực tế.

bài giảng theo chơng trình chuẩn

1 Định lí côsin trong tam giác

Trong ABC có AB = c, BC = a, CA = b ta có:

a2 = b2 + c22bccosA

b2 = a2 + c22accosB

c2 = a2 + b22abcosC

Hoạt động H y chứng minh các hệ thức trên.ãy chứng minh các hệ thức trên.

Thí dụ 1: Cho ABC, biết a = 6, b = 2, c = 3 + 1 Tính các góc A, B, C và

đờng cao ha của tam giác

Giải

Trong ABC, ta có:

cosA =

bc2

ac

bc

a2 2  2

= 2

2  B = 450.Mặt khác trong ABC, ta có:

a

=

Bsin

b

=

Csin

c

= 2R

trong đó R là bán kính đờng tròn ngoại tiếp ABC

Hoạt động H y chứng minh các hệ thức trên.ãy chứng minh các hệ thức trên.

Thí dụ 2: Cho ABC, biết b = 7, c = 5, cosA =

5

3

Tính đờng cao ha và bánkính đờng tròn ngoại tiếp R của tam giác

trong đó b, c đã biết và:

a2 = b2 + c22bc.cosA = 49 = 252.7.5

5

3

= 32  a = 4 2 (3)Thay (2), (3) vào (1), ta đợc:

a

= 5

4 2

2 4 = 2

Hoạt động H y chứng minh các hệ thức trên.ãy chứng minh các hệ thức trên.

Thí dụ 3: Cho ABC có AB = 5, AC = 6, BC = 7 Gọi trung điểm của AC là M.

Tính bán kính đờng tròn ngoại tiếp ABM

Giải

áp dụng định lý hàm số sin trong ABM, ta có:

RABM =

Asin2

BCAC

4 diện tích tam giác

Trong ABC có AB = c, BC = a, CA = b và các đờng cao tơng ứng là ha, hb, hc, tacó:

S = pr = p ( p  a )( p  b )( p  c ).với p là nửa chu vi tam giác, r bán kính đờng tròn nội tiếp)

Thí dụ 4: Cho ABC có AB = 3, AC = 4 và diện tích S = 3 3 Tính BC

120 A

60 A

và đờng cao AH = 6 Tính độ dài các

đoạn HB, HC, AB, AC

Bài tập 2: Cho ABC, có AB = a  2 b 2 , BC = b  2 c 2 , AC = a  2 c 2 với a, b, c

là ba độ dài cho trớc Chứng minh rằng ABC nhọn

Bài tập 3: Cho ABC, cạnh a, b, c và A = 600 Chứng minh rằng:

 Chú ý: Các bài tập này sẽ đợc trình bày trong phần “Bài giảng nâng cao”.

bài giảng nâng cao

A Tóm tắt lí thuyết

I Định lí côsin trong tam giác

Định lí: Trong ABC có AB = c, BC = a, CA = b ta có:

a2 = b2 + c22bccosA

 



II Định lí sin trong tam giác

Định lí: Trong ABC có AB = c, BC = a, CA = b và R là bán kính đờng tròn ngoại

tiếp tam giác ta có:

2Rsin A sin B sin C

III Tổng bình phơng hai cạnh và độ dài đờng trung tuyến của tam giác

Trong ABC có AB = c, BC = a, CA = b và các đờng trung tuyến tơng ứng là ma,

IV diện tích tam giác

Trong ABC có AB = c, BC = a, CA = b và các đờng cao tơng ứng là ha, hb, hc, tacó:

B phơng pháp giải toán

Bài toán 1:Giải tam giác

Phơng pháp thực hiện

Sử dụng các hệ thức trong tam giác

Ví dụ 1: Cho ABC vuông tại A, tgC =

3

2

và đờng cao AH = 6 Tính độ dài các

đoạn HB, HC, AB, AC

Bài toán 2:Chứng minh tính chất của tam giác.

Ví dụ 2: Cho ABC, có AB = 2 2

Bài toán 3:Chứng minh các hệ thức trong tam giác

Ví dụ 3: Cho ABC, cạnh a, b, c và A = 600 Chứng minh rằng:

Bài toán 4:Tập hợp điểm

Ví dụ 4: Cho đoạn AB = a cố định Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn:

Bài tập 1 Cho ABC có AB = 2, AC = 3, BC = 4 Tính:

a Diện tích S của tam giác

b Các đờng cao ha, hb, hc

c Các bán kính R, r

Bài tập 2 Cho ABC cân tại A Đờng cao BH = a, ABC = 

a Tính các cạnh và đờng cao còn lại

b Tính bán kính đờng tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác ABC

M

Bài tập 3 Cho ABC, biết AB + AC = 13, AB > AC, A = 60 và bán kính đờng tròn nộitiếp tam giác bằng 3 Tính độ dài các cạnh của ABC.

Bài tập 4 Cho ABC vuông tại A, AB = 3, AC = 4 Gọi M là trung điểm AC Tính

bán kính đờng tròn ngoại tiếp MBC

Bài tập 5 Cho ABC, các trung tuyến AA1 = 3, BB1 = 6 và hợp với nhau một góc

600 Tính độ dài các cạnh của ABC

Bài tập 6 Cho ABC, biết AB = 2, BC = 3, CA = 4, đờng cao AD Tính độ dài đoạn

CD

Bài tập 7 Cho hai đờng tròn (I1), (I2) có bán kính bằng 2, 8 tiếp xúc trong với nhautại A Nửa đờng thẳng vuông góc với I1I2 cắt (I1), (I2) theo thứ tự tại B, C Tính bánkính đờng tròn ngoại tiếp ABC

Bài tập 8 Cho ABC, có AB = 3, AC = 6, BAC = 600 Tính bán kính đờng tròn cắt cả

3 cạnh của ABC và chắn trên mỗi cạnh 1 dây có độ dài bằng 2

Bài tập 9 Cho ABC, biết BC = 6 Lấy E, F theo thứ tự thuộc AB, AC sao cho EF song

song với BC và tiếp xúc với đờng tròn nội tiếp ABC Tính chu ABC, biết EF = 2

Bài tập 10 Trong các tam giác có chu vi không đổi hãy tìm tam giác có chu vi đờng

tròn nội tiếp lớn nhất

Bài tập 11 Cho ABC có diện tích 12 Trên các cạnh AB, AC lần lợt lấy các điểm

a Tính diện tích các tam giác BMC, ABN và AMN theo S0

b Tính tỉ số diện tích của hai tam giác ACD và BCD; ABD và BCD

c Suy ra diện tích của tam giác BCD theo S0

Bài tập 12 Trên các cạnh AB, BC, CA của ABC lấy lần lợt các điểm M, N, P sao

a Biết SABC = S0 Tính SMNP theo S0 và k

b ABC cố định Hãy chọn số k sao cho MNP có diện tích nhỏ nhất

Bài tập 13 Cho ABC có a4 = b4 + c4 Chứng minh ABC nhọn

Bài tập 14 Cho ABC nhọn, đờng cao AH và trung tuyến BE thoả mãn AH = BE.

Bsin.BAsin

Csin.CBsin.B



AC

Asin.ACsin.C

chứng minh rằng ABC là vuông

Bài tập 17 Cho ABC, diện tích bằng S, các đờng cao ha, hb, hc Chứng minh rằng

ABC đều khi và chỉ khi:

Bài tập 19 Cho hai ABC và DEF cùng nội tiếp trong đờng tròn (C) và có:

sinA + sinB + sinC = sinD + sinE + sinF

Chứng minh rằng hai ABC và DEF có cùng chu vi

Bài tập 20 Cho ABC cân tại A, biết B = C = , AI = m với I là đờng tròn nội tiếp

Bài tập 21 Từ điểm M tuỳ ý trong ABC, các đờng thẳng MA, MB, MC lần lợt cắt

BC, CA, AB tại A1, B1, C1 Chứng minh rằng:

1

1

AA

MA +

1

1

BB

MB +

1

1

CC

MC = 1

Bài tập 22 Cho ABC không cân tại đỉnh A, trung tuyến BD và CE, có các cạnh a, b,

c Chứng minh rằng:

a AB2.CE2AC 2BD2 =

4

)a2bc)(

bc( 2  2 2  2  2 .

b AB.CE = AC.BD  b2 + c2 = 2a2

Bài tập 23 Cho ABC vuông tại A; AH là đờng cao HE, HF lần lợt là các đờng cao

của AHB, AHC Chứng minh rằng:

Bài tập 24 Cho ABC có các cạnh a, b, c thoả mãn 5c2 = a2 + b2 Chứng minh rằng

ABC có hai trung tuyến AA1 và BB1 vuông góc với nhau

Bài tập 25 Cho hai tam giác vuông ABC và A1B1C1 vuông tại A và A1 và đồngdạng với nhau Chứng minh rằng:

2

1

BB

BB +

AH

1

+

HB

BH

1

+

HC

CH

1  6,khi nào dấu “ = ” xảy ra

Bài tập 28 Cho ABC, chứng minh rằng:

r =

2

Acos

2

Csin.2

Bsin.a

Bài tập 29 Cho ABC có độ dài các đờng cao ha, hb, hc, độ dài các đờng trung tuyến

ma, mb, mc, R và r theo thứ tự là bán kính đờng tròn ngoại tiếp và nội tiếp của ABC.Chứng minh rằng

a

a

h

m +

b

b

h

m +

c

c

h

m 

r

R

r 

, dấu “ = ” xảy ra khi nào ?

Bài tập 30 Cho ABC, chứng minh rằng:

Bài tập 32 Cho đờng tròn (O), A là điểm cố định trên (O), còn B là điểm di động

trên (O) Các tiếp tuyến của (O) tại A và B cắt nhau tại C Tìm tập hợp tâm đ ờng trònnội tiếp ABC

C hớng dẫn  đáp số Bài tập 1.

a Ta có:

p =

2

BCAC

AB  =

2

43

2  =

29

3.2

1.2

= 2 15

= 4

abc

=

154

3.4

2.3.4

= 15

15

H

S = pr  r =

p

S

= 6

BH =

 sin

a.Trong KAB, ta đợc:

BK =

cos2

BC

=



 cos sin 2

a

.sin =

 cos 2

a

b Ta có:

AC = 2R.sinB  R =

Bsin2

a

=



 cos.sin

AC.BH21





=

) cos 1 ( 2

b

49 bc c

 



 8 c 5 b

.Vậy, độ dài ba cạnh của ABC là a = 7, b = 5, c = 8

Bài tập 4. áp dụng định lý hàm số sin trong BMC, ta có:

RBMC =

Csin2

A

PO

A

B

CM

b p )(

a p ( p

= 2

AH = 4

BC

1

O

B1C1 = C2A2 = A1B2  OI = OJ = OK

 O là tâm đờng tròn nội tiếp ABC

Khi đó bán kính R của đờng tròn cần xác định đợc cho

20   R =

2

3 18

AP AC

b

NB AM MB

AM AB

EQ AE EM AE AM

p

Vậy rMax =

3 3

p, đạt đợc khi:

pa = pb = pc  a = b = c  tam giác là đều

EM

NQ

Asin.AN.AM2

AK.DC2

Bsin.BN.BA2

BN

 =

1NCBNNCBN



=

1k

k



 SABN =

1k

k

 S0.

Ta cã:

BM

 =

1MABMMABM



=

1k

1



 SBNM =

1k

k

 S0 = S0[1 2

)1k(

k

 ) nhá nhÊt  2

)1k(

k3

 lín nhÊt

Ta cã:

(k + 1)2  4k  2

)1k(

k3

 

41

b a

 



 C A

B A

AH =

21

CF  EB2

AH =

H

E1F

E2

 AH = CF  ABC cân.

Ngoài ra ta có B = 600 do đó ABC đều

Bài tập 15 Sử dụng định lý hàm số sin trong ABC, ta biến đổi biểu thức về dạng:

BA

R2

b.BR

R2

b.CR2

b.B





+

AC

R2

c.AR2

c.C





=

R2

a

+

R2

b

+

R2c



BA

b.Ba

c.Cb.B





+

A C

a A c C





= a + b + c

(1)

Trong ABC đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn, do đó:

(AB)(ab)  0  A.a + B.b  A.b + B.a

 2(A.a + B.b)  A.b + B.a + A.a + B.b = (A + B)(a + b)



BA

b.Ba

c.Cb

a A c

b.Ba

c.Cb.B





+

A C

a A c C





 a + b + c

(5)

Vậy (1) có đợc khi dấu “ = ” xảy ra tại (5)  a = b = c  ABC đều

Bài tập 16 Sử dụng công thức Hêrong, ta biến đổi (1) về dạng:

) c p )(

b p )(

a p

(

p    = (pc)(pb)

 p(pa)(pb)(pc) = (pc)2(pb)2  p(pa) = (pc)(pb)

 (a + b + c)(b + ca) = (a + bc)(a + cb)

 a2 + b2 = c2  ABC là vuông tại C

Bài tập 17 Ta biến đổi hệ thức giả thiết về dạng:

 a = b = c  ABC đều

Bài tập 18 Lấy điểm N trên MC sao cho:

N A B M

A

cung 1 n

ắ ch A C M A B

a

+

R2

b

+

R2

c

= R

pABC

.(2)

Trong DEF, ta có:

sinD + sinE + sinF =

R2

d

+

R2

e

+

R2

f

= R

pDEF

.(3)

Thay (2), (3) vào (1), ta đợc:

R

pABC

= R

sin

AB

 =

I B A sin

AI

  AB =

2sin

)290sin(

)]

290(180sin[

)290sin(

2



Trong A1AB, ta có:

BC = 2BA1 = 2AB.cos = 2m.cotg

AM

 =

sin2

AB

=



sin22gcot.m

A

1

1

1

CC

MC =

ABC

MBC

S

S +

ABC

AMC

S

S +

ABC

AMB

S

S =

ABC

ABC

S

S = 1

BA

BH =

BC.BH

BH4 =

BC

BH3 (1)Trong AHC:

C

B

AD

EG

E

GB2 =

2 1 BB 3

Suy ra:

GA2 + GB2 =

9

1(a2 + b2 + 4c2) =

9

1(5c2 + 4c2) = c2 = AB2

 GAB vuông tại G  AA1BB1, đpcm

Bài tập 25.

a Trong ABC , ta có b = acos, c = asin,

Trong A1B1C1, ta có b1 = a1.cos, c1 = a1.sin

Từ đó suy ra:

bb1 + cc1 = aa1.cos2 + aa1.sin2 = aa1.(cos2 + sin2) = aa1, đpcm

b Trong ABC , ta có b =

 sin

h, c =

 cos

h

Trong A1B1C1, ta có b1 =

sin

h1, c1 =

cos

h1

sinhh

1 +



2 1

coshh

1 =

1

2 2

hh

cossin  

= 1

2 1

AA.AA

AA

=

2

cb

)2

acb(21

2 2

2 2 2

= 1

)cb(2

a

2 2

b

2 2 2

)ba(2

c

2 2 2

2

1

CC

CC = 3

c b

a

+

2 2 2

ca

b



 2 2 2

b a

c

(2)

ca

b



+

2 2 2

ba

b

2

ba

c

 = 1 + 2 2

2

cb

a

 + 1 + 2 2

2

ca

b

 + 1 + 2 2

2

ba

c

 3 = (a2 + b2 + c2)( 2 2

cb

1

 + 2 2

ca

1

 + 2 2

ba

1

 )3 =

cb

1

 + 2 2

ca

1

 + 2 2

ba

) b a )(

a c )(

c b (

1

2 2 2 2 2

2

1

CC

CC  3

HAAA

HBBB

HCCC

BB

1

1 +

HC

CC

1

1 3 =

HA.a21

AA.a21

1

1

+

HB.b21

BB.b21

1

1

+

HC.c21

CC.c21

=

HBC

HCA HBC

HAB

S

SS

HAB

S

SS

HAB

S

SS

a

 =

2

CBsin

a

 =

)2

A90sin(

 IB =

2

Acos2

Csin.a

MÆt kh¸c ta l¹i cã IB =

2

Bsin

Csin.a

=

2

Bsin

r

 r =

2

Acos

2

Csin.2

Bsin.a

A1

c

h

m  R(

a

h

1

+ b

h

1

+ c

b

1

h

OB +

c

1

h

OC.(4)

Gọi S là diện tích ABC, ta lại có:

h

1

= a

h.a

a

+ b

h.b

b

+ c

h.c

c

= S 2

c b

c

1

h

OC =

a

1

h.a

OA.a

+

b

1

h.b

OB.b

+

c

1

h.c

OC.c

=

S

SS

c

c

h

m 

 dấu “ = ” xảy ra tại (4)  dấu “ = ” xảy ra tại (1), (2) và (3)

 O thuộc AA1, BB1, CC1  ABC đều

Bài tập 30 Trên trung tuyến BB1 lấy điểm D đối xứng với B qua B1, suy ra B1D = mb.Trong ABD, ta có:

, mc + ma >

2

b3

.Cộng theo vế ba bất đẳng thức, ta đợc:

Bài tập 31 Gọi I là trung điểm AB và H là hình chiếu

vuông góc của M lên AB, ta có:

H

Vậy tập hợp điểm M thuộc đờng thẳng (d) qua H và vuông

góc với AB

Bài tập 32 Gọi I là giao điểm của OC với (O), ta có ngay

AI là phân giác góc A, từ đó suy ra I là tâm đờng tròn nội

tiếp ABC

Vậy tập hợp tâm I thuộc đờng tròn (C), ngoại trừ bốn

điểm A, A1, A2, trong đó A1A2 là đờng kính vuông góc với

OA

Giỏo ỏn điện tử của bài giảng này giỏ: 1.250.000đ.

1 Liờn hệ thầy Lấ HỒNG ĐỨC qua điện thoại 0936546689

2 Bạn gửi tiền về:

Lấ HỒNG ĐỨC

Số tài khoản: 1506205006941 Chi nhỏnh NHN0 & PTNT Tõy Hồ

3 3 ngày sau bạn sẽ nhận được Giỏo ỏn điện tử qua email.

LUễN LÀ NHỮNG GAĐT

ĐỂ BẠN SÁNG TẠO TRONG TIẾT DẠY

B

CIA

O