KIẾN THỨC HÌNH HỌC 11

CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi và SA = SC.. CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hìn

Trang 1

ÔN TẬP KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC 11

Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng TĐ

Trang 5

BÀI TẬP QUAN HỆ VUÔNG GÓC

I CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi và SA = SC.

a) Chứng minh AC ⊥ (SBD)

b) Kẻ đường thẳng qua S vuông góc (ABCD) tại I Chứng minh rằng I cách đều A và C

Bài 2: Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là hai tam giác đều, gọi I là trung điểm của BC.

a) Chứng minh BC ⊥ (AID)

Trang 6

b) Vẽ đường cao AH của tam giác AID Chứng minh AH ⊥ (BCD).

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, BC = a , mặt bên SBC vuông tại B, mặt bên SDC vuông tại D và SD = a

a) Chứng minh SA ⊥ (ABCD) và tính SA

b) Mặt phẳng qua A vuông góc với AC và cắt các đường thẳng CB, CD tại I, J Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SC Hãy xác định các giao điểm K, L của SB, SD với (HIJ) Chứng minh rằng

AK ⊥ (SBC), AL ⊥ (SCD)

c) Tính diện tích tứ giác AKHL

Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân, có AC = AB = a và = 1200, đồng thời

SA = SB = SC = 2a Gọi D là điểm đối xứng của A qua trung điểm của BC

a) Chứng minh BC ⊥ (SAD) b) Tính góc giữa SB và (ABC)

Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang vuông ( = 900), đáy lớn AD = 2a và AB = BC = a, đồng thời SA = SC = SD Gọi M là trung điểm của AD Chứng minh SM ⊥ (ABCD) và AC ⊥ (SBM)

II CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD tâm O và có SA = SC, SB = SD.

a) Chứng minh SO ⊥ (ABCD)

b) Gọi I, K lần lượt là trung điểm các cạnh BA, BC Chứng minh rằng IK ⊥ (SBD) và IK ⊥ SD

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Mặt bên SAB là tam giác đều, SCD là

tam giác vuông cân tại đỉnh S Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD

a) Tính các cạnh của tam giác SIJ và chứng minh SI ⊥ (SCD), SJ ⊥ (SAB)

b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên IJ Chứng minh SH ⊥ AC

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều, SC =

Gọi H, K lần lượt là trung điểm AB, AD

a) Chứng minh SH ⊥ (ABCD) b) Chứng minh AC ⊥ SK, CK ⊥ SD

Trang 7

Bài 4: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ Gọi H là trực tâm tam giác ABC và biết rằng A’H ⊥ (ABC) Chứng minh rằng :

a) AA’ ⊥ BC và AA’ ⊥ B’C’

b) Gọi MM’ là giao tuyến của (AHA’) với mặt bên BCC’B’, trong đó M thuộc BC, M’ thuộc B’C’ Chứng minh rằng tứ giác BCC’B’ là hình chữ nhật và MM’ là đường cao của hình chữ nhật đó

Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và SA ⊥ (ABC) Gọi D là điểm đối xứng của B qua trung điểm O của cạnh AC Chứng minh CD ⊥ CA, CD ⊥ (SAC)

Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a và SA = a, hình chiếu vuông góc của S

xuống (ABCD) trùng với trung điểm M của cạnh AB; gọi N là trung điểm AD Chứng minh rằng BC

⊥ (SAB) và CN ⊥ SD

Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật và SA = SB Chứng minh rằng CD ⊥ (SIJ), trong đó I, J tương ứng là trung điểm của AB và CD

Bài 8: Cho hình chóp S.ABC có = 1200; = 600; = 900 và SA = SB = SC Chứng minh rằng ABC là tam giác vuông và SI ⊥ (ABC), trong đó I là trung điểm BC

III GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG, GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Bài 1: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:

a) AC và A’D b) BD và AC’

Bài 2: Cho tứ diện OABC, có OA = OB = OC = a và OA ⊥ OB, OB ⊥ OC, OC ⊥ OA Gọi M là trung điểm của OB Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng:

a) AM và BC b) AM và OP, với P là trung điểm BC

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, cạnh bên SA = AB và SA ⊥ BC

a) Tính góc giữa hai đường thẳng SD và BC

b) Gọi I, J lần lượt là các điểm thuộc SB và SD sao cho IJ // BD Chứng minh rằng góc giữa hai đường thẳng IJ và AC không phụ thuộc vào vị trí của I và J

Bài 4: Cho tứ diên ABCD Gọi M, N là trung điểm của BC và AD Tính góc giữa hai đường thẳng

AB và CD biết AB = CD = 2a và MN =

Trang 8

Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a, SA = , SA ⊥ (ABCD) Tính góc giữa :

a) SC và (ABCD) b) SC và (SAB) c) SB và (SAC) d) AC và (SBC)

Bài 6: Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a, cạnh bên AA’ =

a) Tính góc giữa đường thẳng BC’ và (ABA’B’)

b) Gọi M là trung điểm của CC’ Tính tang của góc giữa đường thẳng BM và (A’B’C’)

Bài 7: Cho tam giác ABC cân tại A, có = 1200, BC = Lấy điểm D ở ngoài mặt phẳng chứa tam giác sao cho DA = a Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD

a) Chứng minh AO ⊥ (DBC)

b) Tính góc giữa đường thẳng DA và (DBC), nếu = 900

Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và có tâm O, SO ⊥ (ABCD) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và BC Biết góc giữa MN và (ABCD) bằng 600

a) Tính độ dài MN và SO

b) Tính góc giữa MN và (SBD)

Bài 9: Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác cân, AB = AC = a, Biết SA, SB, SC đều hợp với (ABC) một góc

a) Chứng minh rằng hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

b) Tính khoảng cách từ S đến (ABC)

Bài 10: Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a Đường chéo BC’ của mặt bên BCC’B’ hợp

với (ABB’A’) một góc 300

a) Tính AA’

b) Tính khoảng cách từ trung điểm M của AC đến (BA’C’)

c) Gọi N là trung điểm của BB’ Tính góc giữa đường thẳng MN với (BA’C’)

Trang 9

Bài 11: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC vuông cân tại A, AA’ ⊥ (ABC) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và B’C’, MN = a MN hợp với đáy một góc và hợp với mặt bên (BCC’B’) một góc

a) Tính các cạnh đáy và cạnh bên của lăng trụ theo a và

b) Chứng minh :

Bài 12: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, có AB = a, AC = Các cạnh bên tạo với đáy một góc 600 Tính góc tạo bởi :

a) SA và (SBC) b) SA và BC

Bài 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, có AB = a, AD = a Các cạnh bên tạo với đáy một góc 450 Gọi M là trung điểm của AD

a) Chứng minh BM ⊥ SA b) Tính góc giữa BM và SC

Bài 14: Cho hình vuông ABCD và ∆SAB đều cạnh a nằm trong hai mặt phẳng vuông góc Gọi I là trung điểm của AB

a) Chứng minh : SI ⊥ (ABCD) và tính góc hợp bởi SC và (ABCD)

b) Tính khoảng cách từ B đến (SAD) Suy ra góc của SC hợp với (SAD)

c) Gọi J là trung điểm CD Chứng minh (SJI) ⊥ (ABCD) Tính góc hợp bởi đường thẳng SI và (SDC)

IV XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = a Tính góc giữa các cặp mặt phẳng sau :

a) (SBC) và (ABCD) b) (SCD) và (ABCD) c) (SBC)

và (SCD)

Bài 2: Cho tứ diện S.ABC có = 900, AB = 2a, BC = a , SA = 2a và SA ⊥ (ABC)

a) Tính góc giữa (ABC) và (SBC)

Trang 10

b) Gọi M là trung điểm của AB Tính độ dài đường cao AK của tam giác AMC.

c) Tính tanα, với α là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (SMC)

Bài 3: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AB = a, AC = 2a, AA’ = 2a và = 1200 Gọi M là trung điểm cạnh CC’ Chứng minh rằng MB ⊥ MA’ và tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (A’BM)

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AB =

2a, SA ⊥ (ABCD) và SA = a Tính góc giữa các cặp mặt phẳng sau:

a) (SAD) và (SBC) b) (SCD) và (SBC)

Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy là hình bình hành tâm O Các mặt phẳng (SAB) và (SAC) là các

tam giác vuông lần lượt tại A và C, cùng hợp với đáy một góc α, biết

a) Chứng minh SO ⊥ (ABCD)

b) Chứng minh (SBC) và (SAD) cùng hợp với đáy (ABCD) một góc β thỏa mãn

Bài 6: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc = 600 Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AA’ và CC’

a) Chứng minh 4 điểm B’, M, D, N đồng phẳng Tứ giác B’MDN là hình gì ?

b) Tính độ dài AA’ theo a để tứ giác B’MDN là hình vuông

c) Khi tứ giác B’MDN là hình vuông, tính góc giữa hai mặt phẳng (B’MDN) và (ABCD)

V KHOẢNG CÁCH TỪ 1 ĐIỂM ĐẾN 1 ĐƯỜNG THẲNG CHO TRƯỚC

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = a Gọi I là trung điểm của SC và M là trung điểm của AB

a) Chứng minh rằng OI ⊥ (ABCD) b) Tính d(I, CM)

Bài 2: Cho hình chóp S.ABC, ABC là tam giác vuông cân (AB = AC = a); SB ⊥ (ABC) và SB = a Tính khoảng cách từ S đến CM, với M thuộc đoạn AB và AM = a/3

Trang 11

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, SA = AB = 2a, = 600 và SA ⊥ (ABCD)

a) Chứng minh BD ⊥ SC, từ đó suy ra khoảng cách từ O đến SC

b) Tính d(O; SB) và d(D; SC)

Bài 4: Cho tam giác ABC với AB = 7cm, BC = 5cm, CA = 8cm Trên đường thẳng vuông góc với

mp(ABC) tại A lấy điểm O sao cho OA = 4cm Tính d(O; BC) ?

Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại B(AB = a, BC = 2a) Ax và Cy cùng vuông góc với (ABC) và ở

về cùng một phía Lấy M ∈ Ax, N ∈ Cy với AM = a, CN = a Chứng minh rằng AB ⊥ (BCy) Tính d(M; BN) ?

VI KHOẢNG CÁCH TỪ 1 ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG CHO TRƯỚC

Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), ∆ABC đều cạnh a và SA = a Xác định và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = 2a Xác định và tính :

a) d(A; (SCD)) b) d(O; (SCD)) c) d(B; (SCD)) d) d(C; (SBD))

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = a Gọi

G là trọng tâm tam giác SAB Tính d(G; (SAC))

Bài 4: Cho hình thoi ABCD tâm O có cạnh a và AC = a Từ trung điểm H của cạnh AB dựng SH ⊥ (ABCD) với SH = a

a) Tính d(H; (SCD)) Từ đó suy ra khoảng cách từ O đến (SCD)

b) Tính d(A; (SBC))

Bài 5: Cho tứ diện D.ABC có ABC là tam giác vuông tại A, DB = a và AC = 2a Các mặt (DAB) và

(DAC) cùng hợp với (ABC) một góc α, mặt bên (SBC) ⊥ (DBC)

a) Tính d( D; (ABC)) theo a và α

b) Tìm số đo α khi biết d(D; (ABC)) = , khi đó hãy tính d(C; (DAB))

Trang 12

Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có góc tạo bởi hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600, ∆SBC và

∆ABC đều, AB = a Tính theo a khoảng cách từ B đến (SBC)

Bài 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a và các cạnh bên cùng hợp với đáy một góc 600

a) Tính d(S; (ABC)) , d(A; (SBC)), d(C; (SAB))

b) Tính cosin góc giữa SB và AC

c) Tính cosin góc giữa (SBC) và (SAC)

VII ĐOẠN VUÔNG GÓC CHUNG VÀ KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

CHÉO NHAU

Bài 1: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = OB = OC = a Gọi I

là trung điểm của BC Hãy dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của các cặp đoạn thẳng:

a) OA và BC b) AI và OC

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a và vuông góc với

(ABCD) Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của:

a) SB và CD b) SC và BD c) SC và AB d) AC và SD

Bài 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC và AD

Tính các khoảng cách :

a) d(A; (CDD’C’)) c) d(AA’; (BB’D’D)) e) d(BD; A’C) f) d(AI; JC’)

b) d(A; CC’) d) d((AIA’); (CJC’)) f) d(AA’; BD’)

Bài 4: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, mặt đáy ABC là tam giác cân tại đỉnh A có = 1200, cạnh bên bằng a

a) Tính d(A; (BCC’B’))

b) Xác định đoạn vuông góc chung của hai đoạn thẳng AA’ và B’C

Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a , đáy ABC vuông tại

B có BA = a Gọi M là trung điểm của AB Tính d(SM; BC) ?

Trang 13

Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang và = 900, SA = AB = BC = a

và AD = 2a Biết hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy

a) Tính d(S; (BCD)) ; d(A; (SBC)) ; d(AD; (SBC))

b) Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD)

c) Tính d(SA; CD) ; d( BC; SD) ; d(SB; CD)

Bài 7: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có ABC và ABB’ là hai tam giác đều cạnh a và nằm

trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau

a) Tính d(B’; (ABC)) ; d(A; (BCC’B’))

b) Tính khoảng cách và góc giữa hai đường thẳng AB’ và CC’

Bài 8: Cho khối chóp S.ABC có ∆ABC đều có cạnh a, chân đường cao của hình chóp trùng với trung điểm BC và góc giữa SA và (ABC) bằng 600

a) Tính d(SA; BC) ; d(B; (SAC))

b) Gọi G là trọng tâm ∆SBC Tính góc giữa (ABC) và (ABG), từ đó suy ra diện tích ∆ABG

Định dạng
Số trang	13
Dung lượng	0,98 MB