MỘT SỐ PP TÍCH PHÂN HÀM ẨNPP1.. Biến đổi đưa về nguyên hàm cơ bản PP2.. Phương pháp đổi biến số PP3.. Phương pháp tính tích phân từng phần PP4.. Tạo bình phương cho hàm số dưới dấu tích
Trang 1MỘT SỐ PP TÍCH PHÂN HÀM ẨN
PP1 Biến đổi đưa về nguyên hàm cơ bản
PP2 Phương pháp đổi biến số
PP3 Phương pháp tính tích phân từng phần
PP4 Tạo bình phương cho hàm số dưới dấu tích phân
1 BIẾN ĐỔI ĐƯA VỀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN
a Kiến thức sử dụng
* Nếu F x�( ) f x( ) với mọi x K� thì F x( )�f x dx( )
* Các công thức về đạo hàm:
1) u v u v� � uv �; 2) u v uv2 u
�
� � � �� �
� �; 3)
2
u
u u
; 4) nu u n 1 � u n �; 5) u2 1
�
� � �
� �
� �.
b Ví dụ áp dụng
3
( ) 1 2 ( )
x f x� x f x với �x 1;2 Tính tích phân 2
1 ( )
I �f x dx
Nhận xét: từ gt ta có
2
( ) 1 2 ( )
�
, biểu thức vế trái có dạng u2 1
�
� � �
� �
� � từ đó ta có lời giải.
Lời giải
�
2
3
f �c
Nên ta có
2
2
( )
f x
1
� � �
Ví dụ 2. Cho hàm số f x( ) liên tục, không âm trên R và thỏa mãn f x f x( ) ( ) 2 � x f x2( ) 1 0
với �x R và f(0) 0 Tính tích phân
1
0 ( )
I �f x dx
Nhận xét: từ gt ta có 2
( ) ( )
2 ( ) 1
f x f x
x
f x
�
, biểu thức vế trái có dạng 2
1
uu
u u
�
�
từ đó ta có
lời giải.
Lời giải
2
( ) ( )
( ) 1
f x f x
f x
�
�
2( ) 1 2 2( ) 1 2
f x xdx f x x c
f x x � f x x � f x x x � f x x x
Trang 2(vì f x( ) không âm trên R) Khi đó
I �f x dx�x x dx�x x dx
1
2 ( ) ( )
x x f x f x� với �x 1;4 Biết (1) 3
2
f , tính
4
1 ( )
I �f x dx
Lời giải
Do f x( ) đồng biến trên đoạn 1; 4 �f x�( ) 0, x 1; 4
2 ( ) ( ) 1 2 ( ) ( )
x x f x f x� �x f x f x� , do x� 1; 4 và f x�( ) 0,� x� 1; 4
1
( )
2
f x
1 2 ( )
f x
f x
2
3
Khi đó
4
( )
� �
2 f x( ) f x f x( ) ( )� f x�( ) 0 với �x 0; 2 Biết 6
(0) 1, (2)
f f e , tính tích
0
2
(2 1) ( )
Nhận xét: từ gt ta có
2
2
( ) ( ) ( )
2 ( )
f x f x f x
f x
, biểu thức vế trái có dạng ( )
( )
f x
f x
�
�
� � từ đó ta có lời giải.
Lời giải
Do f x( ) đồng biến trên đoạn 0; 2 nên ta có 6
(0) ( ) (2) 1 ( )
f ���f x� f f x e
2
2
( ) ( ) ( )
( )
f x f x f x
f x
( )
f x
f x
�
�
1
1
ln ( )f x x cx c Do 1
6
1 1
0
(2)
c
c c
�
2
2
f x x x f x e
2 2
(2 1) ( ) (2 1) x x x x ( x x) x x 1
2
( )
f x e
f x
� với �x R Biết
(0) 1
f , tính tích phân 7
0 ( )
I �x f x dx
2
Trang 3Lời giải
2
2
( )
f x
3 ( ) 2 1 2 1 2 2 1
e xe dx e d x e c
f �e e c �c �e e � f x x � f x x
I �x f x dx �x x dx �x d x ��x x ��
Ví dụ 6. Cho f x( ) có đạo hàm trên 0;1 thỏa mãn f x( ) x 1 ( ) 1 f x� với �x 0;1 Biết 7
(5)
6
f , tính tích phân
1
0 ( )
I �f x dx
Nhận xét: từ gt ta có x1�f x( ) x 1 ( ) 1 f x� , vế trái là biểu thức có dạng
u v u v� � uv �, từ đó ta có lời giải
Lời giải
Ta có f x( ) x 1 ( ) 1 f x� �x1�f x( ) x 1 ( ) 1 f x� � ��x1 f x �( )��1
x1 f x( ) dx x1 f x( ) x c
f � c�c
1
x
x
Khi đó
x
� � �
Nhận xét: với u x( )là biểu thức cho trước thì ta có u x f x( ) ( )� �u x f x( ) ( )u x f x( ) ( )�
Đặt v x( )u x�( ) ta được u x f x( ) ( )�v x f x( ) ( )u x f x( ) ( )� (*) Như vậy nếu biểu thức có dạng
( ) ( ) ( ) ( )
v x f x u x f x� ta có thể biến đổi đưa về dạng u x f x �( ) ( ) .Khi đó ta có bài toán tổng quát cho ví dụ 5 như sau:
Cho A x B x( ); ( );g x( )là các biểu thức đã biết Tìm hàm số f x( ) thỏa mãn
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
A x f x B x f x� g x (**)
Do vế trái có dạng (*) nên ta có thể biến đổi (**) � u x f x( ) ( )�g x( )
Trong đó u x( )được chọn sao cho : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
�
ln ( )u x G x( )c
� (với G x( ) là một nguyên hàm của B x A x( )( ))�từ đây ta sẽ chọn được biểu thức u x( ).
2018
f và 2018 ( )f x x f x ( ) 2� x2018
với �x 0;1 .Tính tích phân
1
0 ( )
I �f x dx
Nhận xét : trước hết ta đi tìm biểu thức u x( ) Ta có
2018 2018
ln ( )u x dx ln ( )u x 2018ln x c ln ( )u x lnx c
x
nên ta chọn u x( )x2018, khi đó ta có lời giải như sau:
Trang 4Lời giải
Ta có ��x2018 ( )f x ���2018x2017f x( )x2018f x�( )x20172018 ( )f x xf x�( )x2017 2��x2018��2x4035
2018
x
x f x �x dx�x f x c, do (1) 1 1 1
2018 2018 2018
0
c
khi đó
1
1 ( )
2018 2019.2018 2018.2019
� �
Ví dụ 8. Cho f x( ) có đạo hàm trên 1; 2 thỏa mãn (x1) ( )f x x f x ( ) 2� e x với �x 1; 2 Biết (1)
f e, tính tích phân
2
1 ( )
I �x f x dx
Nhận xét : trước hết ta đi tìm biểu thức u x( ) Ta có
1
x
u x xe c
chọn u x( )xe x, từ đó ta có lời giải
Lời giải
Ta có ��xe f x x ( )��� xe x �f x( )xe f x x ( )� e xxe x f x( )xe f x x ( )�
e x f x xf x� �xe f x ��e � �e xe f x e dx
�� �� �� � � �� � � xe f x x ( )e2xc do
2
f e�e e e c�c ( ) 2 ( )
x
x
Khi đó
2 2 1
I �x f x dx�e dx e e e
Ví dụ 9. Cho f x( ) liên tục và có đạo hàm trên R\1;0 thỏa mãn x x( 1) ( )f x� f x( )x2x
với x R� \1;0 và f(1) 2ln 2 Tính tích phân
2
1 ( )
xf x dx
�
Nhận xét : trước hết ta đi tìm biểu thức u x( ).Ta có ln ( ) 1
( 1)
x x
�
x
( )
1
x
u x
x
, từ đó ta có lời giải
Lời giải
�
2 2
1
1
1 (1) 2ln 2 ( 2ln 2) 1 ln 2 1
2
2 1 ( 1).ln 1
1
x
4
Trang 5
2
2
1
4
x
1
( 1).ln 1
I �x x dx ; đặt �� �u dvln((x x1)1)dx� 2
2
1 1
1 1
1
x x
�
�
�
2 2 2
1
1 1
I � x x � x dx
2 2 1
1
x
ln 3 2ln 2 ln 3 2ln 2
I I �� ��
2 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
a Kiến thức sử dụng
Công thức : ( )
( ) ( ) ( ) ( )
u b b
f u x u x dx� f u du
Chú ý: Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ số thay cho x Như vậy tích phân không phụ thuộc vào biến tức là ( ) ( ) ( )
f x dx f u du f t dt
� � �
b Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1. Cho hàm số f x( ) liên tục trên Rvà thỏa mãn 2018 ( )f x f( x) e x với �x R Tính tích phân
1
1 ( )
I f x dx
Nhận xét: giả thiết chứa f x( ) và f(x), nên ta biến đổi tạo ra hai biểu thức này bằng cách
đặt x t, từ đó ta có lời giải
Lời giải
Đặt x t�dx dt, đổi cận : �� �x x 1�1�t t11
Khi đó
� � � � .Vì
2018I I 2018 f x dx( ) f( x dx)
1
2019I 2018 ( )f x f( x dx)
1
2019
2019
3
� �
� � và thỏa mãn 2 ( ) 3 (2 ) 5
3
x
2
;1
3
x � �
�� �� � Tính tích phân
1
2 3
( )
f x
x
�
Nhận xét: giả thiết chứa f x( ) và ( 2 )
3
f
x , nên ta biến đổi tạo ra hai biểu thức này bằng cách đặt 2
3
x
t
, từ đó ta có lời giải
� , đổi cận :
2
1 3
2 1
3
� �
�
�
� �
�
Khi đó
2
1
2 1 ( )
2 3
3
f
t t
t
�
Trang 61 1
2 ( )
f
2
3
x
3 ( ) 4 (2f x f x) x 12x16
với �x 0; 2 Tính tích phân
2
0 ( )
I �f x dx
Nhận xét: giả thiết chứa f x( ) và f(2x), nên ta biến đổi tạo ra hai biểu thức này bằng cách
đặt x 2 t, từ đó ta có lời giải
Đặt x 2 t�dx dt, đổi cận : 0 2
�
�
� �
�
Khi đó
I �f t dt�f t dt�I �f x dx
3I4I 3�f x dx( ) 4�f(2x dx) �3 ( ) 4 (2f x f x dx) 2 2
0
12 16
x
�
Ví dụ 4. Cho hàm số f x( ) liên tục trên R và thỏa mãn f x( ) 4 ( ) 2 xf x2 x1 với �x R Tính tích phân
1
0 ( )
I �f x dx
Nhận xét: giả thiết chứa f x( ) và 2
( )
f x , nên ta biến đổi tạo ra hai biểu thức này bằng cách đặt 2
x t , từ đó ta có lời giải
Lời giải
Đặt x t 2�dx2tdt, đổi cận : 0 0
�
�
� �
�
Khi đó
I �f t tdt�I �xf x dx Ta có
2
I I �f x dx �xf x dx
1
2 0
( ) 4 ( )
f x xf x dx
2 0 0
2x 1 dx x x 2
� � I 2� I 2
Như vậy từ 4 ví dụ trên ta thấy nếu giả thiết cho mối liên hệ giữa f x( ) và f u x( ( ))
Thì ta đặt x u t ( )
f x x x với �x R Tính tích phân
10
1 ( )
I �f x dx
Lời giải
Đặt x t 3 2t 2�dx3t22t dt , đổi cận :
3
3
�
�
�
I �f t t t t dt�t t t dt 2 3 2
1
9t 3t 2t dt
6
Trang 72 4
3 2
1
t
t t
� �
f x f x x với
1;5
x
� Tính tích phân
4
0 ( )
I �f x dx
Đặt t f x( )�t2019 t 2 x�dx2019t20181dt
Đổi cận :
2019
2019
�
�
�
với x t( ) là hàm số liên tục theo t trên 0;� .Tính tích phân 7 2
0 ( )
I �x t dt
Lời giải
Đặt t 4 4x3 dt 8x32 4dx
3
3
1
2
�
�
�
1
1 3
1 2
1
2
8
x
x
3 PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
a Kiến thức sử dụng
Công thức ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
b a
u x v x dx� u x v x v x u x dx�
� � (trong đó u v, có đạo hàm liên tục trên K và
,
a b là hai số thuộc K).
b Ví dụ áp dụng
3
2 0
( )
1 1
f x dx
x
�
2
0 ( )ln 1
I �f x� x x dx
Lời giải
2
1
1
x
�
2
2
0 0
( ) ( ) ln 1
1
f x dx
x
� 3 ln 2 31
3
0
302
15
f x� x dx
3
0
( ) 1
f x
x
�
Lời giải
Trang 8Đặt
1 1
( ) 1
x
v f x x
�
0
x
�
3
0
1
2 2
I
I
I
3
1
( )
0
1
xf x
dx
x
�
3
2 1
( ) ln 1
x
�
Lời giải
3
2 1
( ) ln
1
x
2
1
1
1
x
1 1
( ) 1 ( ) ln
�
1
(3) ln 3 (1) 0 ln 1
4 4
2
f và
1
2 0
( ) ln(1 ) 2 ln 2 1
f x� x x dx
1 2 0
( ) 1
xf x
x
�
Lời giải
0
( ) ln(1 ) 2 ln 2 1
f x� x x dx
2
2
( )
2 2
x
v f x
�
�
Khi đó
1 1 2
2
2 0
0
x
( ) (1) 1 ln 2 2
1
xf x
x
4 TẠO BÌNH PHƯƠNG CHO HÀM SỐ DƯỚI DẤU TÍCH PHÂN
a Kiến thức sử dụng
b
a
f x dx�
� , dấu "=" xảy ra � f x( ) 0, x� a b;
Hệ quả: 2( ) 0 ( ) 0
b
a
f x dx � f x
� với �x a b; .
b Ví dụ áp dụng
8
Trang 9Ví dụ 1. Cho hàm số f x( ) liên tục, có đạo hàm trên đoạn 0;1 Biết
1
0 ( ) 1
xf x dx
� và
1
2
0
f x dx
� Tính tích phân 1 2018
0 ( )
I �f x dx.
Nhận xét : giả thiết chứa 2
( )
f x và xf x( ) nên ta tạo bình phương dạng 2
( )
f x ax
Ta chọn a sao cho 1 1
f x ax dx � f x axf x a x dx
f x dx a xf x dx a x dx
3
a
� � .Từ đó ta có lời giải
Lời giải
f x x dx � f x xf x x dx
� � 1 2 1 1 2
f x dx xf x dx x dx
3 6 3 0 f x( ) 3 x
� � Khi đó 1 2018 20181 2018 2018
3
2019
I �f x dx �x dx .
2
� �
� � Biết ( ) 0
2
f ,
2
2
0
( )
f x dx
� và 2
0
cos ( )
2
x f x dx
0 ( )
I f x dx
�
Nhận xét : giả thiết chứa 2
( )
f x� và f x( ) nên ta chưa thể tạo bình phương, do đó trước hết
ta biến đổi 2
0 cos ( )x f x dx
� để tạo biểu thức f x�( ) bằng cách đặt
�
�
0 0
( )sinx ( )sin x
�
2
0
( )sin x
2
�� Đến đây ta được hai biểu thức 2
( )
f x� và f x�( ).sinx nên ta tạo bình phương dạng 2
( ) sinx
f x� a Ta chọn a sao cho
2 2
ta có lời giải
Lời giải
Xét 2
0
cos ( )
2
x f x dx
�
�
Trang 10khi đó 2 2
0 0
( )sinx ( )sin x
� 2
0
( )sin x
2
( ) 2sinx 0 ( ) 4sinx ( ) 4sin
� � 2 44 0 f x( ) 2sinx
( ) 2cos
f x x c
2
f �c nên ta có f x( ) 2cos x Ta có 2 2
10
f 2
0
1
105
f x
dx
x
�
� và 0
1
103
1 ( )
420
x f x dx
1
0 ( )
I �f x dx
Nhận xét : giả thiết chứa
2 ( )
f x x
�
� � và f x( ) nên ta chưa thể tạo bình phương, do đó trước hết ta biến đổi 0
1
1 ( )
x f x dx
� để đưa về f x�( ) bằng cách đặt
( ) ( )
1
2
du f x dx
u f x
x
�
�
�
2
1 1
x
�
0
2
1
169
2 ( )
105
x x f x dx
�
2 ( )
f x x
�
� � và x22x f x �( )
nên ta tạo bình phương dạng ( ) 3 2 2
2
f x
x
�
� �, ta chọn a sao cho
2
2
2
( )
f x
x
�
2
169 169 169
105 a105 105 a a
� � .Từ đó ta có lời giải
Lời giải
Xét 0
1
103
1 ( )
420
x f x dx
( ) ( )
1
2
du f x dx
u f x
x
�
�
�
0 0 2
2
1 1
x
�
1
169
2 ( )
105
x x f x dx
�
2
2
( )
f x
x
�
105 105 105
f x
x
10
f �c 10
Trang 11nên 1 5 1 4
( )
f x x x Khi đó
1
( )
I f x dx �� x x dx�� �� x x ��
� �
( ) 21 12 12 ( )
f x� x x xf x với �x 0; 2 Tính tích phân
2
0 ( )
I �f x dx
Lời giải
f x� dx �� x x xf x dx��
� �
f x� dx x x dx xf x dx
552
5
f x� dx xf x dx
Đến đây ta có hai biểu thức 2
( )
f x� và f x( ) nên ta chưa thể tạo bình phương, do đó trước hết
ta biến đổi
2
0
( )
xf x dx
� để tạo ra f x�( ) bằng cách đặt 2
( ) ( )
2
du f x dx
u f x
x
dv xdx v
�
�
Khi đó
2
x
� � 2 2 2 2
288
5
f x� dx x f x dx�
Mà
2
4
0
288 9
5
x dx
f x� dx x f x dx� x dx
2
2
0
��� � � � mà f(2) 7 �c 1� f x( ) x3 1
I �f x dx�x dx
1
0 ( ) 2
f x dx
1
0
7 ( )
6
xf x dx
� và
1
2
0
13 ( )
3
f x dx
� Tính tích phân 1 3
0 ( )
I �f x dx
Nhận xét : giả thiết chứa 2
( )
f x ,xf x( )và f x( ) nên ta tạo bình phương dạng 2
( )
f x ax b ,
ta chọn a b, sao cho 1 2
0
f x ax b dx
�
1
0
f x axf x bf x abx a x b dx
f x dx a xf x dx b f x dx ab xdx a x b dx
2
a
3b 7 4 3b 12b 13 0 3 b 1 0 b 1 a 2
� � � � � , từ đó ta có lời giải
Lời giải
Trang 12Ta có 1 2
0
( ) 2 1
f x x dx
� 1
0 ( ) 4 ( ) 2 ( ) 4 4 1
� Khi đó 1 3 1 3
I �f x dx�x dx
2
� �
� � thỏa mãn 2
0
2
f x dx
� ,
2
0
sin ( ) 1
4
x f x dx
� và 2 2
0
3
4
f x dx
0 ( ).cos
�
Nhận xét : giả thiết chứa 2
( )
f x ,sin ( )x f x và f x( ) nên ta tạo bình phương dạng
( ) sin
f x a x b ,ta chọn a b, sao cho 2 2
0
f x a x b dx
�
2
0
3
� � � �
có a thì 2 2 2
16 b 1 2 b 1 0
�
16 2 b1 0 b 1 a 1
� � � � Từ đó ta có lời giải
Lời giải
Ta có 2 2
0
( ) sin 1
0 ( ) 2sin ( ) 2 ( ) 2sin sin 1 0
�
0
3 sinx 1 cos
2
12