Tìm đường vuông góc chung.. Ta cần tìm một điểm trên ∆.. Hãy viết phương trình đường vuông góc chung của ∆1 và ∆2.. b Viết phương trình dạng tổng quát của mặt phẳng cách đều ∆1 và ∆2...
Trang 1BÀI TOÁN TÌM ĐƯƠNG VUÔNG GÓC CHUNG CỦA
HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU
Cho ∆1 qua M1 (x1, y1, z1) và // U1(a1, b1, c1)
Cho ∆2 qua M2 (x2, y2, z2) và // U2(a2, b2, c2)
Biết ∆1 và ∆2 chéo nhau Tìm đường vuông góc chung
Phương pháp chung: Ta thường giải dạng bài toán này theo các cách sau
đây:
Cách 1: Viết phương trình ∆1, ∆2 ở dạng tham số lấy
H(x1 + a1t, y1 + b1t, z1 + c1t) ∈∆1
K(x2 + a2t, y2 + b2t, z2 + c2t) ∈∆2
Tìm K, H thỏa mãn
=
=
0
0 2
1
U HK
U HK
Phương trình đường thẳng HK chính là phương trình cần tìm
Cách 2: Xét U = [U ] là véctơ chỉ phương của đường vuông góc chung
∆ Ta cần tìm một điểm trên ∆
2
1, U
Xét mặt phẳng (P1) chứa ∆1 và có véctơ chỉ phương U, Khi đó ∆⊂ (P1) Lấy K là giao của ∆2 với (P1), khi đó K ∈∆
Cách 3 Xét mặt phẳng (P1) chứa ∆1 và song song với U, khi đó ∆⊂ (P1) Xét mặt phẳng (P2) chứa ∆2 và song song với U Khi đó ∆⊂ (P2)
Vì vậy ∆ = (P1) ∩ (P2) và ta viết được phương trình tổng quát của ∆
Áp dung (Đề thi Đại học Sư phạm II Hà Nội năm 1998)
đường thẳng ∆2 x 2z 2 0
a) Chứng tỏ ∆1 và ∆2 chéo nhau Hãy viết phương trình đường vuông góc chung của ∆1 và ∆2
b) Viết phương trình dạng tổng quát của mặt phẳng cách đều ∆1 và ∆2
Lời giải
a) Đường thẳng ∆1 qua M1 (2, 1, 0) và // U1 (1,-1,2)
Đường thẳng ∆2 qua M2 (0, 3, 1) và // U2 (-2, 0, 1)
Ta có M1M2(-2, 2, 1)
Trang 2) ,
,
( U1 U2 M1M2
D [U1, U2] M1M2 = -10 ≠ 0
Vì vậy ∆1, ∆2 chéo nhau
Xét H(2 + t, 1 - t, 2t) ∈∆1 và
K( -2s, 3, 1 + s) ∈∆2
HK ( -2s – t – 2, 2 + t, s - 2t + 1) là véctơ vuông góc với cả U Ở đó H
và K lần lượt là giao điểm của đường vuông góc chung ∆ với ∆
2
1, U
1 và ∆2
=
=
0
.
0
.
2
1
U
HK
U
HK
+ =
1 t 3
= −
⇒ H 5 4 , , 2
3 3 3
,
K (2, 3, 0)
Phương trình của đường vuông góc chung ∆ chính là phương trình của HK:
⇒
3
2
;
3
4
;
3
5
H // U (1, 5, 2)
Phương trình tham số của ∆:
= +
b) Mặt phẳng cách đều ∆1 và ∆2 chính là mặt phẳng trung trực của đoạn HK; Mặt phẳng đó qua điểm I 11 13 , , 2
6 6 6
và nhận véctơ U (1, 5, 2) là véctơ pháp tuyến
Phương trình của nó có dạng:
− + − + + =
hay x + 5y + 2z 12 = 0
Nhận xét Thường có ba cách để tìm đường vuông góc chung, tùy vào bài
toán cụ thể mà dùng phương pháp nào cho thích hợp Trong bài toán này, chú ý đến câu b), ta phải dùng cách 1) là hợp lý nhất