Các bài toán phân tích đa thức tành nhân tử và cách khai thác bài toán

7/29/2017 Các bài toán phân tích đa thức tành nhân tử và cách khai thác bài toánTHƯ VIỆN TÀI LIỆU SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM BÀI GIẢNG - ĐÁP ÁN HOẠT ĐỘNG VĂN HÓA - VĂN NGHỆ THI ĐUA KHEN THƯỞN

Trang 1

7/29/2017 Các bài toán phân tích đa thức tành nhân tử và cách khai thác bài toán

THƯ VIỆN TÀI LIỆU

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

BÀI GIẢNG - ĐÁP ÁN

HOẠT ĐỘNG

VĂN HÓA - VĂN NGHỆ

THI ĐUA KHEN THƯỞNG

THƯ VIỆN ẢNH

THI VÀ TUYỂN SINH

THI ĐẠI HỌC - CAO ĐẲNG

THI TỐT NGHIỆP THPT

Tìm kiếm

Liên kết

Các bài toán phân tích đa thức tành nhân tử và cách khai thác bài toán

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO PHÙ CỪ

TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ TIÊN TIẾN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

CÁC BÀI TOÁN PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

VÀ CÁCH KHAI THÁC BÀI TẬP

Người viết: HOÀNG ĐỨC THIỆN Chức vụ: Giáo viên dạy toán 8 Đơn vị: Trường trung học cơ sở Tiên Tiến

Thành viên

Công văn mới HƯỚNG DẪN THI TUYỂN SINH THPT NĂM HỌC 2 ĐỐI TƯỢNG, ĐIỀU KIỆN DỰ THI,

DỰ TUYỂN; ĐĂNG KÍ DỰ THI, DỰ TUYỂN; HỒ SƠ DỰ THI, XÉT TRÚNG TUYỂN (Kèm theo Công văn số 552/SGDĐT-KTKĐ ĐẠI HỘI CHI BỘ NHIỆM KỲ 2017-2020

Trong những ngày tháng 5 lịch sử toàn đảng, toàn quân và nhân dân huyện nhà vừa tưng bừng kỷ niệm

20 năm ngày tái lập huyện Phù

Tài liệu mới

ĐỀ KIỂM TRA MÔN GDCD LỚP 6 TIẾT 9

4/7/2015 7:55:54 AM

4/1/2015 10:21:21 AM

Thông tin liên hệ

Trường THCS Tiên Tiến Email: Click để gửi email

Phone:

Fax:

Trang 2

Nội dung này đ ược giới thiệu trong ch ương trình Toán lớp 8 và có thể coi

là nội dung nòng cốt của ch ương trình Vì nó đư ợc vận dụng rất nhiều ở các

ch ương sau, trong các phần: Rút gọn phân thức, quy đồng mẫu các phânthức, biến đổi đồng nhất biểu thức hữu tỉ, giải phư ơng trình, … Thực tếgiảng dạy cho thấy, số tiết giảng dạy cho phần này không nhiều, bài tập chỉmang tính minh họa nên đa số học sinh còn lúng túng Học sinh khá giỏi thìcòn rất nhiều vấn đề của kiến thức chưa được đề cập tới Bài tập chưa đủkích thích sự tìm tòi, khả năng tư duy sáng tạo cho học sinh

Đặc biệt kỹ năng phân tích đa thức thành phân tử là một kỹ năng

cơ bản quan trọng, nếu nắm vững và thành thạo kỹ năng này thì họcsinh có khả năng giải quyết được nhiều vấn đề trong chương trình Đại

số lớp 8 và lớp 9 cũng như nhiều vấn đề Toán học khác có liên quan, tìmđược lời giải hay và ngắn gọn cho một bài toán Nhưng nhiều lúc việcphân tích đa thức thành nhân tử thật không dễ chút nào, nhất là trongtrường hợp các đa thức cần phân tích có bậc cao, hệ số lớn, phức tạp

Để giúp cho tất cả học sinh đại trà và học sinh khá giỏi đạt kết quả tốttrong việc phân tích đa thức thành nhân tử là một vấn đề cần đ ược quan tâm

Sau khi giới thiệu những phư ơng pháp cơ bản có ví dụ cụ thể, cần có các bàitập vận dụng tổng hợp các phương pháp trên

Trên cơ sở tạo ra ngân hàng các bài tập theo mức độ cho từng đối tượnghọc sinh Tôi chọn đề tài nghiên cứu phục vụ chính cho công tác giảng dạycủa bản thân và hy vọng góp một phần nhỏ vào thư viện trường làm tài liệutham khảo cho đồng nghiệp

2 Mục đích nghiên cứu

- Đưa ra một cách nhìn cụ thể cho từng phương pháp phân tích đa thức thànhnhân tử

- Xây dựng hệ thống bài tập áp dụng, bài tập vận dụng từ thấp đến cao

- Làm tài liệu bồi dưỡng học sinh

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

+ Đối tượng:

- Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

- Các bài tập liên quan trong chương trình toán 8+ Phạm vi

Thống kê truy cập

Số khách trực tuyến: 17 Tổng số truy cập: 473125

Thông tin giáo dục

Bộ Giáo dục & Đào tạo

Phần mềm tiện ích style=border: Phần mềm Hỗ trợ xếp TKB khối Tiểu học style=border: Phần mềm Hỗ trợ xếp TKB khối Trung học

style=border: Phần mềm soạn thảo văn bản mã nguồn mở

Trang 3

- Chương trình toán 8, trọng tâm phần các phương pháp phân tích đathức thành nhân tử

4 Phương pháp và nhiệm vụ nghiên cứu:

- Nghiên cứu các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử theochuẩn KTKN

- Nghiên cứu các tài liệu tham khảo thư viện trường

- Tông hợp các dạng bài tập theo chủ đề và khai thác nâng cao mức độ

PHẦN II NỘI DUNG

1 CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

Để phân tích một đa thức thành nhân tử có rất nhiều phương phápkhác nhau, nhưng chúng ta thường sử dụng một số phương pháp thông dụngnhư sau:

* Đặt nhân tử chung

* Sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ

* Nhóm các hạng tử

* Phối hợp nhiều phương pháp

* Tách một hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử

* Đổi biến số (đặt ẩn phụ)

* Thêm bớt cùng một hạng tử

Trang 4

* Dùng hệ số bất định

* Tìm nghiệm của đa thức

1.1 Phương pháp đặt nhân tử chung 1.1.1 Phương pháp :

+ Trước hết, ta tìm nhân tử có mặt trong tất cả các hạng tử của đathức Đó là nhân tử chung

+ Phân tích mỗi hạng tử của đa thức thành tích của nhân tử chung vàmột nhân tử khác

+ Đặt nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc

Ta thấy các hạng tử của đa thức đều chứa thừa số chung 5xy, tacó

A = 5x2y – 10xy2 = 5xy.x – 5xy.2y = 5xy(x - 2y)

2) B = 2x(3y – 7z) + 6y(7z – 3y) Đổi dấu hạng tử 6y(7z – 3y) = - 6y(3y – 7z), ta có thừa số (3y –7z) chung :

B = 2x(3y – 7z) + 6y(7z – 3y) = 2x(3y – 7z) - 6y(3y - 7z) = (3y – 7z)( 2x – 6y)

= (3y – 7z).2(x – 3y) = 2(3y – 7z)(x – 3y)

3) C = (y2 – z)(2x2y – yz) – (4yx2 + yz2)(z – y2) + 6x2z(y2 – z) Đổi dấu – (4yx2 + yz2)(z – y2) = (4yx2 + yz2)( y2 – z), ta có thừa số(y2 – z) chung:

C = (y2 – z)(2x2y – yz) – (4yx2 + yz2)(z – y2) + 6x2z(y2 – z) = (y2 – z)(2x2y – yz) + (4yx2 + yz2)( y2 – z) + 6x2z(y2 – z) = (y2 – z)[( 2x2y – yz ) + (4yx2 + yz2) + 6x2z]

1.1.3.Khai thác bài toán:

Trang 5

Nếu chú ý đến các hạng tử của các biểu thức và bằng cách đặt thừa

số chung, ta có thể giải các bài toán tương tự như sau:

Bài toán 1.1: Phân tích đa thức

Q = (x + 2z)(3x2 + 5x2y) – (7x2 – 3x2y)(2z + x)Bài toán 1.2: Phân tích đa thức

P = 3a(b2 – 2c) – (a – 4)(2c – b2)Bài toán 1.3: Phân tích đa thức

1.2.2 Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử

1) D = x2 – x + 2) E = 9(x + 5)2 – (x +7)23) F = – x3 + 9x2 – 27x + 274) G = 8 – 27a3b6

HD:

Ta thấy mỗi hạng tử của đa thức trên đều không có nhân tử chungnên không thể phân tích các đa thức đó thành nhân tử bằng cách đặtnhân tử chung Mặt khác ta thấy các biểu thức đêù có dạng hằng đẳngthức Vì thế có thể áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tíchcác đa thức đó thành nhân tử

1) D = x2 – x + =

2) E = 9(x + 5)2 – (x + 7)2 = [3(x + 5)]2 – (x + 7)2 = [3(x+5) + x +7][3(x+5) – (x+7)]

= (4x + 22)(2x + 8) = 4(2x + 11)(x + 4)3) F = - x3 + 9x2 – 27x + 27 =

= (-x +3)3.4) G = 8 – 27a3b6 = 23- (3ab2)3 = (2- 3ab2)( 4 + 6ab2 + 9a2b4)

1.2.3 Khai thác bài toán:

Bằng cách dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ , ta có thể giải các bàitoán tương tự như sau:

Trang 6

M = Bài toán 1.2: Phân tích đa thức

N = Bài toán 1.3: Phân tích đa thức

K = 1.3 Phương pháp nhóm nhiều hạng tử:

2) x2 - 2xy - z2 + y2 + 2zt – t2 3) 9 – x2 + 2xy – y2

HD:

Ta thấy các hạng tử đều không có thừa số chung cũng không thấy

có dạng hằng đẳng thức Vì thế ta sẽ nhóm hạng tử với nhau để làmxuất hiện nhân tử chung hoặc có dạng hằng đẳng thức để phân tích tiếp:

1) x2 – xy + x – y

* Cách 1: Nhóm hạng tử thứ nhất với hạng tử thứ hai, hạng tử thứ

ba với hạng tử thứ tư ta có :

x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y) = x(x – y) + (x – y) =(x – y)(x + 1)

* Cách 2: Nhóm hạng tử thứ nhất với hạng tử thứ 3, hạng tử thứ haivới hạng tử thứ tư, ta có :

x2 – xy + x – y = (x2 + x) – (xy + y) = x(x + 1) – y(x + 1) = (x + 1)(x – y)

Nhận xét : Ở ví dụ trên ta đã nhóm các hạng tử thích hợp để sử dụngphương pháp đặt nhân tử chung Đối với một đa thức có thể có nhiều cáchnhóm khác nhau những hạng tử thích hợp

2) x2 - 2xy - z2 + y2 + 2zt – t2 Nhóm hạng tử thứ nhất, thứ hai với hạng tử thứ tư, hạng tử thứ

ba, thứ năm với hạng tử thứ sáu để có dạng hằng đẳng thức và tiếp tụcphân tích, ta có :

x2 - 2xy - z2 + y2 + 2zt – t2 = (x2 – 2xy + y2) – (z2 – 2zt + t)2 = (x – y)2 – (z – t)2

= (x – y + z – t)(x – y – z + t)

3) 9 – x2 + 2xy – y2 = 9 – (x2 – 2xy + y2 )

Trang 7

= 32 – (x – y2) =(3 +x – y)( 3 – x + y) Nhận xét : Trong cách giải trên, ta đã nhóm 3 hạng tử cuối của đa thức

và đưa vào trong dấu ngoặc đằng trước có dấu “ – ” để phân tích đa thứcbằng phương pháp dùng hằng đẳng thức

Nếu chú ý đến phương pháp nhóm các hạng tử, ta có thể giải các bàitoán tương tự như sau:

E = 3x3 – 75x + 6x2 – 150Bài toán 1.2: Phân tích đa thức

F = Bài toán 1.3: Phân tích đa thức

G = 1.4 Phối hợp các phương pháp

1.4.1 Phương pháp:

Để phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phươngpháp, ta nên chú ý chọn các phương pháp theo thứ tự ưu tiên như sau : Bước 1: Đầu tiên ta xét xem các hạng tử có xuất hiện nhân tử chunghay không?

* Có nhân tử chung: Áp dụng phương pháp đặt nhân tử chung Sau

đó ta xem đa thức trong ngoặc là bài toán mới và quay lại với bước

1 và tiếp tục thực hiện đến kết quả cuối cùng

* Nếu không có nhân tử chung, chuyển sang bước 2

Bước 2: Nếu đa thức có dạng của một hàng đẳng thức thì áp dụngphương pháp hằng đẳng thức Nếu không thì chuyển qua bước 3

Bước 3: Dùng phương pháp nhóm hạng tử thích hợp để xuất hiệnhằng đẳng thức hoặc nhân tử chung

1.4.2 Ví dụ : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : 1) 2x2 + 4x + 2 – 2y2

2) 2a2 – 12ab + 18b2 3) 5x3z – 10x2z – 5xz3 – 5xy2z + 5xz + 10xyz2

HD1) Ta thấy các hạng tử đều có thừa số chung, ta đặt thừa số chung rangoài và tiếp tục phân tích đa thức ở trong ngoặc:

2x2 + 4x + 2 – 2y2 = 2(x2 + 2x + 1 – y2) Đặt nhân tử chung = 2 [(x2 + 2x + 1) – y2] Nhóm các hạng tử thích hợp của đathức

= 2[(x + 1)2 – y2] Xuất hiện hằng đẳng thức = 2(x + 1 – y)(x + 1 + y) Dùng hằng đẳng thức Như vậy thứ tự ưu tiên là:

Đặt nhân tử chung dùng hằng đẳng thức nhóm hạng tử

Trang 8

Vậy 2x2 + 4x + 2 – 2y2 = 2(x + 1 – y)(x + 1 + y)

2) 2a2 – 12ab + 18b2 Cách giải tương tự câu a) : 2a2 – 12ab + 18b2 = 2(a2 – 6ab + 9b2) = 2(a – 3b)23) 5x3z – 10x2z – 5xz3 - 5xy2z + 5xz + 10xyz2 = 5xz(x2 – 2x – z2 – y2 + 1 + 2yz) = 5xz[ (x2 – 2x + 1) – (y2 – 2yz + z2)]

= 5xz[(x – 1)2 – (y – z)2] = 5xz(x – 1 – y + z)(x – 1 + y – z)

Bằng phương pháp phối hợp các phương pháp để phân tích đa thứcthành nhân tử, ta có thể giải các bài toán tương tự như sau:

I = Bài toán 1.2: Phân tích đa thức

K = 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6axy2 – 3a2xy + 3xyBài toán 1.3: Phân tích đa thức

1.5.2 Ví dụ:

Ví dụ 1:

Phân tích: x2 – 6x + 8 Nhận xét:

Đa thức trên không chứa thừa số chung Không có dạng một hằngđẳng thức đáng nhớ, cũng không thể nhóm các số hạng Ta biến đổi đa thứcnày thành đa thức có nhiều số hạng hơn sau đó nhóm các hạng tử lại với nhaumột cách phù hợp:

Cách 1: Tách số hạng thứ hai

x2 – 6x + 8 = x2 – 2x – 4x + 8 = x(x – 2) – 4( x – 2) = (x – )(x – 4)

Cách 2: Tách số hạng thứ 3

x2 - 6x + 8 = x2 – 6x + 9 – 1 = (x – 3)2 – 1 = ( x – 3 – 1)(x – 3 + 1) = (x – 4)( x – 2)

Cách 3: x2 – 6x + 8 = x2 – 4 – 6x + 12 = ( x – 2)(x + 2) – 6(x – 2)

Trang 9

= (x – 2)(x – 4)Cách 4: x2 – 6x + 8 = x2 – 16 – 6x + 24 = ( x – 4)(4 + x) – 6(x – 4) = (x – 4)( x + 4 – 6) = (x – 4) ( x – 2)

Cách 5 : x2 – 6x + 8 = x2 – 4x + 4 – 2x + 4 = (x – 2)2 – 2( x – 2) = (x – 2)( x – 2 – 2) = ( x – 2)(x – 4)

Mặc dù có nhiều cách tách nhưng thông dụng nhất là cách sau:

* Cách 1: Tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử rồi dùng phươngpháp nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung mới

Tổng quát: Để phân tích tam thức bậc hai ax2 + bx + c thành nhân tử talàm như sau:

+ Tìm tích ac + Phân tích tích ac thành tích của 2 thừa số nguyên bằng mọi cách

+ Chọn hai thừa số có tổng bằng b

Khi đó hạng tử bx đã được tách thành 2 hạng tử bậc nhất

Ví dụ 2: 4x2 – 4x – 3

Ta có tích: ac = 4.( –3) = – 12Phân tích : – 12 = –1.12 = 1.( –12) = – 2.6 = –3.4 = 3.( – 4)Chọn 2 thừa số có tổng là : – 4 đó là 2 và (–6)

4x2 – 4x – 3 = 4x2 + 2x – 6x – 3 = 2x(2x + 1) – 3(2x + 1) = (2x + 1)(2x – 3)

* Cách 2: Tách hạng tử thứ ba thành 2 hạng tử rồi đưa đa thức vềdạng hiệu hai bình phương

4x2 – 4x – 3 = 4x2 – 4x +1 – 4 = ( 2x – 1) – 22 = ( 2x – 1 – 2)( 2x – 1 + 2) = (2x + 1)(2x – 3)

Ví dụ 3: 3x2 – 8x + 4 = 4x2 – 8x + 4 – x2 = (2x – 2)2 – x2 = ( 2x – 2 – x)(2x – 2 + x) = (x – 2)(3x – 2)

Ví dụ 4: Phân tích x2 – 5x + 6 Nhận xét : Đa thức trên có dạng a x2 + bx + c ta phải tách

bx = mx + nx Trong đó

x2 - 5x + 6 = x2 + x – 6x + 6 = (x2 + x) –(6x + 6)

Trang 10

= x(x + 1) – 6(x +1) = (x + 1)(x – 6)

Qua các ví dụ trên ta thấy việc tách một số hạng thành nhiếu số hạngkhác thường nhằm mục đích:

+ Làm xuất hiện các hệ số tỷ lệ nhờ đó mà xuất hiện thừa số chung(cách 1)

+ Làm xuất hiện hiệu của hai bình phương (cách 2)Với các đa thức có bậc từ 3 trở lên, để dễ dàng làm xuất hiện các hệ số tỷ lệngười ta thường dùng cách làm xuất hiện nghiệm của đa thức

Bằng phương pháp tách hạng tử (chủ yếu là hạng tử tự do và cáchạng tử bậc thấp), ta có thể giải các bài toán tương tự như sau:

H = x2 – 21x + 38Bài toán 1.2: Phân tích đa thức

I = x4 + 5x2 – 14Bài toán 1.3: Phân tích đa thức

1.6.2 Ví dụ:

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 1) f(x) = (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 122) h(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 243) g(x) = 4x( x + y)( x + y + z)( x + z) + y2x2

HD:

1) f(x) = (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 Đặt x2 + x + 1 = y x2 + x + 2 = y + 1f(x) = y(y + 1) – 12

= y2 + y – 12 = y2 – 3y + 4y – 12 = y(y – 3) + 4(y – 3) = (y – 3)(y + 4)

Thay y = x2 + x + 1 , ta được:

f(x) = (x2 + x – 2)(x2 + x + 5) Đến đây ta phân tích tiếp:

x2 + x – 2 = x2 – x + 2x – 2 = x(x – 1) + 2(x – 1)

Trang 11

h(x) = y(y + 2) – 24 = y2 + 2y – 24 = y2 - 4y + 6y – 24 = y(y – 4) + 6(y – 4) = (y – 4)(y +6) Thay y = x2 +5x + 4 , ta được:

h(x) = (x2 +5x)(x2 + 5x + 10) = x(x + 5)(x2 + 5x + 10) Kết quả: h(x) = x(x + 5)(x2 + 5x + 10)

3) g(x) = 4x(x + y)( x + y + z)(x + z) + y2z2 = 4x(x + y + z)(x + y)( x + z) + y2z2 = 4(x2 + xy + xz)(x2 + xz + xy + yz) + y2z2Đặt : x2 + xy + xz = m, ta có:

g(x) = 4m(m + yz) + y2z2 = 4m2 + 4myz + y2z2 = ( 2m + yz)2Thay m = x2 + xy + xz, ta được : g(x) = 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2

= (2x2 + 2xy + 2xz + yz)2 Kết quả: g(x) = (2x2 + 2xy + 2xz + yz)2

v DẠNG ĐẶC BIỆT Xét Q(x) = ay2 + by + c Nếu có các số m, n sao cho m.n = a.c, m + n

= b thì ay2 + by + c = ay2 + (m +n)y + m.n/a hay y2 + by + c = a(y + m/a)(y + n/a) (*).Nếu a = 1 thì y2 + by + c = (y + m)(y + n) Trong trường hợpnày a, b, c nguyên thì trước hết phân tích hai số nguyên m.n sao cho giá trịtuyệt đối của m và n nhỏ hơn b Sau đó chọn m, n thoả mãn m + n = b

Đa thức dạng: P(x) = ax4 + bx2 + c Cách HD: đặt biến phụ y = x2 và áp dụng HĐT (*)

Ví dụ: Phân tích P(x) = 6x4 + 19x2 + 15 thành nhân tử

HD:

Trang 12

Đặt y = x2 , ta có:

Q(y)= 6y2 + 19y + 15 Tìm m, n sao cho m.n = 90 và m + n = 19 với m < 19, n < 19

Vì 90 = 6.15 = 9.10 nên chọn m = 9, n = 10, ta có:

6y2 + 19y + 15 = 6y2 + 9y + 10y + 15 = 3y(2y + 3) + 5(2y +3) = (2y + 3)(3y + 5)

Do đó : P(x) = 6x4 + 19x2 + 15 = ( 2x2 + 3)(3x2 + 5)

v Đa thức dạng: P(x) = (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) + e với a + b = c +d

Cách giải Đặt biến phụ y = (x + a)(x + b) có thể y = (x + c)(x + d) hoặc y2 = x2 + (a + b) x

Ví dụ: Phân tích P(x) = (x +1)(x + 2)(x +3)(x + 4) – 15 thành nhân tử

HD:

Với a = 1, b = 4, c = 2, d = 3 thì a + b = 5 =c + d

Biến đổi: P(x) = (x + 1)(x + 4)( x + 2)( x + 3) – 15 = (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) – 15 Đặt y = x2 + 5x + 4 thì P(x) trở thành

Q(y) = y(y + 2) – 1 = y2 +2y – 15 = y2 – 3y + 5y – 15 = y(y – 3) + 5( y – 3) = (y – 3)(y + 5)

Do đó: P(x) = (x2 +5x + 1)(x2 + 5x + 9) Tổng quát: Nếu đa thức dạng P(x) = (a1x + a2)(b1x + b2)(c1x + c2)(d1x +

d2) thoả mãn a1b1 = c1d1 và a1b2 + a2b1 = c1d2 +c2d1 thì đặt y =(a1x + a2)(b1x + b2)

rồi biến đổi như trên

Đa thức dạng: P(x) = (a1x + a2)(b1x + b2)(c1x + c2)(d1x + d2) với a1b1 = c1d1 và a2b2 = c2d2

Ví dụ: Phân tích P(x) = (3x + 2)( 3x – 5)( x – 9)( 9x + 10) + 24x2 thànhnhân tử

HD:

Dễ thấy a1b1 = 3.3 = 9.1 = c1d1 và a2b2 = 2.(-5) =(-1).10 =c2d2P(x) = (9x2 – 9x – 10)(9x2 + 9x – 10) + 24x2

Đặt y = (3x +2)(3x – 5) = 9x2 – 9x – 10 thì P(x) trở thành:

Q(y) = y(y + 10x) = 24x2 Tìm m.n = 24x2 và m + n = 10x ta chọn được m = 6x , n = 4x

Ta được: Q(y) = y2 + 10xy + 24x2 = (y + 6x)(y + 4x)

Trang 13

Từ đó Q(y) = 2y2 + 3xy – 5x2Tìm m, n sao cho m.n = - 10x2 và m + n = 3x chọn m = 5x , n = - 2x

Ta có: Q(y) = 2y2 + 3xy – 5x2 = 2y2 – 2xy + 5xy – 5x2 = 2y(y – x) + 5x(y – x) = ( y – x)( 2y – 5x)

Do đó: P(x) = (x2 – x – 1 )(2x2 + 5x – 2)

Đa thức dạng: P(x) = x4 + bx3 + cx2 + dx + e với e = d2/b2HD: Đặt biến phụ y = x2 + d/b và biến đổi(x) về dạng chứa hạng tử y2+bxy rồi sử dụng HĐT (*)

Ví dụ: Phân tích P(x) = x4 - x3 – 10x2 + 2x + 4 thành nhân tử

HD:

Dễ thấy b = 1, d = 2, e = 4 đặt y = x2 – 2 suy ra y2 = x4 – 4x2 + 4Biến đổi P(x) = x4 – 4x2 + 4 – x3 – 6x2 + 2x

= (x2 – 2)2 – x(x2 – 2) – 6x2

Từ đó Q(y) = y2 – xy – 6x2 Tìm m, n sao cho m.n = - 6x2 và m + n = - x chọn m = 2x, n = -3x

Ta có: Q(y) = y2 + 2xy – 3xy – 6x2 = y(y + 2x) – 3x(y + 2x) = (y + 2x)(y – 3x)

Do đó: P(x) = (x2 + 2x – 2)(x2 – 3x – 2)

* Nếu đa thức P(x) có chứa ax4 thì có thể xét đa thức Q(x) = P(x)/a theocách trên

Đa thức dạng P(x) = (x + a)4 + ( x + b)4 +cHD: Đặt biến phụ y = x + ( a + b)/2 và biến đổi P(x) về dạng

mx4 + nx2 + p

Ví dụ: Phân tích P(x) = (x – 3)4 + ( x – 1) 4 – 16 thành nhân tử

HD:

Đặt y = x – 2 lúc đó P(x) trở thànhQ(y) = (y – 1)4 + ( y + 1) 4 – 16 = 2y4 + 12y2 – 14

Trang 14

= 2(y2 + 7)( y2 – 1) = 2(y2 + 7)(y – 1)(y + 1)

Do đó: P(x) = 2(x2 – 4x + 11)(x – 3)(x – 1)

Bằng cách đặt ẩn phụ , ta có thể giải các bài toán tương tự như sau:

A = Bài toán 1.2: Phân tích đa thức

B = Bài toán 1.3: Phân tích đa thức

C = (

1.7 Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử

1.7.1 Phương pháp : Thêm bớt cùng một hạng tử để đa thức có nhiều hạng tử hơn có dạnghằng đẳng thức rồi dùng phương pháp nhóm các hạng tử và đặt nhân tửchung để tiếp tục phân tích Thông thường hay đưa về dạng các hằng đẳngthức đáng nhớ sau khi thêm bớt

1.7.2 Ví dụ:

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử1) a3 + b3 + c3 – 3abc

2) x5 – 1 3) 4x4 + 81 4) x8 + x4 + 1

HD:

Các hạng tử của các đa thức đã cho không chứa thừa số chung, không

có một dạng hằng đẳng thức nào, cũng không thể nhóm các số hạng Vì vậy

ta phải biến đổi đa thức bằng cách thêm bớt cùng một hạng tử để có thể vậndụng các phương pháp phân tích đã biết

1) a3 + b3 + c3 – 3abc

Ta sẽ thêm và bớt 3a2b +3ab2 sau đó nhóm để phân tích tiếp

a3 + b3 + c3 = (a3 + 3a2b +3ab2 + b3) + c3 – (3a2b +3ab2 + 3abc) = (a + b)3 +c3 – 3ab(a + b + c)

= (a + b + c)[(a + b)2 – (a + b)c + c2 – 3ab]

= (a + b + c)(a2 + 2ab + b2 – ac – bc + c2 – 3ab]

= (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc)2) x5 – 1

Ta sẽ thêm và bớt x sau đó dùng phương pháp nhóm:

x5 – 1 = x5 – x + x – 1 = (x5 – x) + (x – 1) = x(x4 – 1) + ( x – 1) = x(x2 – 1)(x2 + 1) + (x - 1) = x(x+1)(x – 1)(x2 + 1) + ( x – 1)

Trang 15

= (x – 1)[x(x + 1)(x2 + 1) + 1]

3) 4x4 + 81

Ta sẽ thêm và bớt 36x2 sau đó nhóm các hạng tử phù hợp để có dạnghằng đẳng thức:

4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 – 36x2 = ( 2x2 + 9)2 – (6x)2 = (2x2 + 9 – 6x)(2x2 + 9 + 6x)4) x8 + x4 + 1

Ta sẽ thêm và bớt x4 sau đó nhóm các hạng tử sử dụng các hằng đẳngthức để phân tích tiếp:

x8 + x4 + 1 = x8 + 2x4 + 1 – x4 = (x4 + 1)2 – x4 = (x4 + 1 – x2)(x4 + 1 + x2) =(x4 – x2 + 1)(x4 + 2x2 – x2 + 1) =(x4 – x2 + 1)[(x2 + 1)2 – x2 ] =( x4 – x2 + 1)(x2 + 1 + x2)(x2 + 1 – x2) = (x4 – x2 + 1)(2x2 + 1)

Bằng phương pháp thêm bớt hạng tử, ta có thể giải các bài toántương tự như sau:

M = x4 + 4y4Bài toán 1.2: Phân tích đa thức

N = x4 + x2 + 1Bài toán 1.3: Phân tích đa thức

P = (1 + x2)2 – 4x(1 + x2)

1.8 Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp hệ số bấtđịnh:

1.8.1 Phương pháp : Nếu trên một tập hợp số nào đó mà hai đa thức f(x) và g(x) đồng nhấtvới nhau, tức là ứng với mọi giá trị của biến lấy trên tập hợp số đã cho mà f(x)

và g(x) luôn có các giá trị bằng nhau thì hệ số của các hạng tử cùng bậc làbằng nhau

1.8.2 Ví dụ : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

1) f(x) = x2 + 3x + 22) g(x) = x3 – 19x – 30 3) h(x) = x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + 1 4) k(x) = x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3

HD:

1) f(x) = x2 + 3x + 2

Định dạng
Số trang	30
Dung lượng	641,81 KB