Ba bài toán cổ nổi tiếng

3.”Cầu phơng hình tròn” còn gọi là “biến tròn thành vuông”, tức là dựng một hình vuông có diện tích bằng diện tích của một hình tròn cho trớc.. Ba bài toán này xuất hiện khoảng thế kỉ VI

Ba bài toán cổ nổi tiếng

Thời cổ đại đã có 3 bài toán nổi tiếng (còn gọi là ba bài toán lớn):

1.”Tăng đôi khối lập phơng”, tức là dựng cạnh của một khối lập phơng có thể tích gấp 2 lần thể tích của một khối lập phơng cho trớc

2.”chia 3 một góc”, tức là chia một góc bất kì thành ba phần bằng nhau

3.”Cầu phơng hình tròn” (còn gọi là “biến tròn thành

vuông”), tức là dựng một hình vuông có diện tích bằng diện tích của một hình tròn cho trớc

Ba bài toán này xuất hiện khoảng thế kỉ VI đến thế kỉ IV trớc CN, với hạn chế là chỉ dùng các dụng cụ Euclid và với một

số lần hữu hạn, nên đã trở thành các bài toán khó Tuy vậy,

đã khêu gợi hứng thú, thu hút không biết bao nhiêu tinh lực, tâm huyết của bao ngời, mong tìm đợc lời giải Mãi đến thế kỉ XIX ngời ta mới chứng minh đợc tính chất bất khả thi của chúng, tức là về cơ bản thì không thể giải đợc ba bài toán này bằng các dụng cụ Euclid (nhng có thể giải đợc bằng phép xấp xỉ), mặc dù các dụng cụ này đã đợc dùng để giải thành công rất nhiều bài toán dựng hình khác

Năm 1830, ngời thanh niên Pháp 19 tuổi là Evariste Galois (Galoa) (26.10.1811-31.5.1832) đã phát minh ra lí thuyết nhóm Galois Theo lí thuyết nhóm Galois thì việc chứng minh ba bài toán này không có lời giải là khá đơn giản

Năm 1839, Wansel (lúc này còn là sinh viên 23 tuổi) đã

chứng minh là nếu chỉ dùng dụng cụ Euclid thì không thể tìm đợc lời giải cho bài toán 1 và 2

Năm 1882, nhà số học Carl Louis Ferdinand von Lindemann (Linđơman) (12.4.1852-1.3.1939) ngời Đức đã chứng minh

đợc rằng bài toán 3 là không có lời giải

Ngời ta đã chứng minh đợc hai định lí sau đây để khẳng

định tính bất khả thi vừa nêu ở trên

1 Số đo của bất kì chiều dài nào dựng đợc bằng các dụng cụ Euclid từ một chiều dài đơn vị cho trớc là một

số đại số

2 Từ một chiều dài đơn vị cho trớc, không thể dựng đợc bằng các dụng cụ Euclid một đoạn mà độ đo chiều dài của nó là nghiệm của một phơng trình bậc 3 với

những hệ số hữu tỉ nhng không có nghiệm hữu tỉ

Ba bài toán này đã trở thành những vấn để lịch sử

Tuy vậy, việc tìm cách giải ba bài toán này đã ảnh hởng sâu sắc đến môn hình học Hi Lạp và đã mang lại nhiều khám phá ích lợi cho các thiết diện conic, nhiều đờng bậc 3, bậc 2, đờng siêu việt,…

Các dụng cụ Euclid gồm thớc thẳng và compa

-Với thớc thẳng (không chia đơn vị và đánh dấu) thì có thể

vẽ đợc một đờng thẳng có chiều dài không xác định đi qua hai điểm phân biệt đã cho

-Với compa (khác với compa ngày nay) thì có thể vẽ đợc một

đờng tròn với bất cứ điểm nào cho trớc làm tâm và qua một

điểm khác bất kì

Với compa ngày nay thì có thể vẽ đợc một đờng tròn có một

điểm C bất kì làm tâm và một đoạn thẳng AB bất kì làm bán kính

Có lẽ không có bài toán nào lại thu hút sự chú í và thời gian của con ngời nh bài toán “biến tròn thành vuông” (bài toán 3) vừa nêu ở trên

Từ năm 1800 trớc CN, ngời Ai Cập cổ đại đã “giải” đợc bài toán này bằng lấy cạnh của một hình vuông bằng 8/9 đờng kính của đờng tròn đã cho

Có cả hàng nghìn ngời tìm cách giải bài toán này và mặc

dù đã có một cách chứng minh rằng, một phép dựng hình

nh điều kiện của bài toán “biến tròn thành vuông” là không thể thực hiện đợc bằng các dụng cụ Euclid, song không năm nào trôi qua mà không có những thu hoạch của những nhà

“cầu phơng hình tròn”

Ngời nghiên cứu bài toán “biến tròn thành vuông sớm nhất là nhà học giả Anaxagaras (khoảng 499-427 TCN) ngời Hi Lạp

cổ đại Lúc đó tệ mê tín rất thịnh hành nhng ông lại không tin vào thần thánh Trong thần thoại Hi Lạp thì Apolo là vị thần Mặt Trời, nhng Anagaxaras lại cho rằng Mặt Trời không phải là thần, mà chỉ là một quả cầu lửa Do vậy, ông đã bị gán cho tội “bất kính thần thánh” và bị bắt giam

Trong nhà ngục, một tay Anagaxaras cầm cây gỗ, một tay cầm dây, đo tới đo lui Nhà ngục đã hạn chế hành động của ông nhng không thể buộc ông ngừng suy nghĩ Ông tìm cách vẽ đợc một hình vuông mà diện tích của nó bằng diện tích của một hình tròn cho trớc Tuy vậy, những gì

mà ông đã nghiên cứu đợc thì ngày nay vẫn cha ai biết đợc Chỉ biết rằng, cho đến khi tạ thế, Anagaxaras vẫn không giải đợc bài toán “biến tròn thành vuông”

Sau khi Anagaxaras không còn nữa, bài toán “biến tròn

thành vuông” đợc lan truyền rộng rãi hơn và hấp dẫn nhiều nhà nghiên cứu đến mức ở Hi Lạp cổ đại đã xuất hiện một chuyên đề với tên “Hiến thần cho bài toán “biến tròn thành vuông””

Hippocrates ở Chios đã thành công trong việc cầu phơng một số những Mặt Trăng đặc biệt hoặc những hình có dạng Mặt Trăng đợc giới hạn bởi hai cung tròn, có lẽ với hi vọng rằng việc nghiên cứu đó có thể dẫn đến cách giải bài toán

“biến tròn thành vuông”