Bài tập nguyên hàm

Xác định các hằng số a để... Giải bất phương trình fx gx b... Tìm họ nguyên hàm của fx b... Index of /Name Last modified Size Description Apache/1.3.34 Server at www.toanthpt.net Port 80

Trang 1

BÀI TẬP NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN

BÀI TẬP 1: Chứng minh rằng F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a;b) bằng định nghĩa:

1.CMR hàm số : F(x) = ln x - x 2 + 1 2 2

x + x 2 + 1 là một nguyên hàm của hàm số

2 4

2 2(x - 1) f(x) =

x + 1 trên R

2 CMR hàm số :

2

x (x ln x - 1) khi x > 0 F(x) = 4

0 khi x = 0

⎧

⎪

⎨

⎪⎩ là một nguyên hàm của hàm số

xlnx khi x > 0 f(x) =

0 khi x = 0

⎧

⎨

⎩

3 CMR hàm số :

x sin khi x 0

0 khi x = 0

⎪

⎨

⎪⎩ là một nguyên hàm của hàm số

2xsin - cos khi x 0

0 khi x = 0

⎪

⎨

4 CMR hàm số : là một nguyên hàm của hàm số

trên R

x

2

e khi x 0 F(x) =

x + x + 1 khi x < 0

⎪

⎨

⎪⎩

x

e khi x 0 f(x) =

2x + 1 khi x < 0

⎨

⎩

BÀI TẬP 2: Xác định các giá trị của tham số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a;b)

1.Xác định a; b; c để hàm số F(x) = (a + 1)sinx + sin 2x + sin 3x b c

2 3 là một nguyên hàm của hàm số trên R

f(x) = cosx

ĐS: a = b = c = 0

2 .Xác định a; b; c để hàm số F(x) = (ax + bx + c)e 2 - x là một nguyên hàm của hàm số f(x) = (x - 3x + 2)e 2 - x

3 .Xác định a; b; c để hàm số F(x) = (ax + bx + c) 2x - 3 với x > 2 3

2 là một nguyên hàm của hàm số

2

20x - 30x + 7

f(x) =

2x - 3

4 Xác định a; b để hàm số

2

x khi x 1 F(x) =

ax + b khi x > 1

⎨

⎩ là một nguyên hàm của hàm số

2x khi x 1 f(x) =

2 khi x > 1

≤

⎧

⎨

⎩

trên R

Trang 2

6 Cho hàm số y = f(x) = 4sinx + 3cosx

sin x + 2cosx Xác định các hằng số a để

Từ đó tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x)

4sinx + 3cosx = a(sinx + cosx) + b(cosx - 2sinx)

BÀI TẬP 3: Tính nguyên hàm của hàm số:

1

3

2

2008

5

2

1

2x + 1 + 3 - 2x

2

Q = dx

x - 4x + 3

4x - 9x - 1

Q = dx

4x - 9

1

x + x + 1

Q x 1 - 3x dx

x

Q = dx

1 - x

=

∫

1

3 2

8

9

dx

I =

1 + sinx

I = 8cos x.sin xdx

tgx

I = dx cos x 1

I = dx sinx.cos x 1

I = dx cos x 1

I = dx sin x sinx + cosx

I = dx

sinx - cosx

I = 8cos x.sin xdx

I = sin x + cos x dx

∫

1

x

x + 1 x - 1

3x - 2 5

8

dx

x.lnx.ln(lnx) 1

1 + e e

e + e

2 - 5

10

M = e dx

x + 1

x(xe + 1) 1

sinx.cos x sinx + cosx

3 + sin2x

∫

BÀI TẬP 4: Tính tích phân

4

2

1

0

2

-

2

2 3

0

K = sin - x dx

4

K = sin 7x.sin 2xdx

K = sin x.cos x - dx

4

π

∫

4 1 0

3 2 6

1

cosx.sin x +

4 1

sinx.sin x +

6

π

π π

π

∫

2 2 1

- 2 5 2 2 4 2 3

- 1

L = x - 1 dx

1

x + 2 + x - 2

L = x - 3x + 2 dx

∫

Trang 3

4

0

2

3

6

4

0

K = cos x.cos 5xdx

sin x

cos x

1

cos x

π

∫

2 3 0

cos2x

Q = dx

cosx + 1

π

∫

2

1 e 5 1 1 x 6

0

x + 1

x + xlnx

2 + lnx

2x

Q = e dx

∫

4 0

5 0 2 6 0

3 2

0

L = sin x - cosx dx

L = 1 - sin2xdx

L = 1 + sinxdx

sin x

1 + cos x

π π π π

∫

BÀI TẬP 5:Tích phân đổi biến cơ bản

10

0

1

3

0

2x

x + x + 1

x

x + 1

I = x x + 1dx

∫

6

0

2 0

2

3 0

sin 2x

2 sin x + cos x

tg x

cos 2x

T = cos x.sin xdx

π

∫

2

0 1

0

2 2

2 3

0

4sinx

sinx + cosx

1 2 + x

4 - x 2 - x

A = x x + 1dx

π

∫

BÀI TẬP 6 : Tích phân đổi biến

3

1

0

sin x

I = dx

cosx + 2

π

∫

2

0

I = m - x xdx∫

3

6 ln3

x 0

1

cosx.sin x 1

e + 1

π π

∫

2 1 0

2

0

sinx + 7cosx + 6

4sinx + 3cosx + 5 3sinx + 4cosx

3sin x + 4cos x

π π

∫

BÀI TẬP 7:Tích phân đổi biến chứa hàm hữu tỉ

2

1

x x + 1

π

∫

Trang 4

BÀI TẬP 8:

2

2 0

T = max f(x); g(x) dx trong đó f(x) = x và g(x) = 3x - 2∫

1 Tính tích phân

2 Cho hàm số

x cos khi x 1 2

f(x) =

x - 1 khi x > 1

π

⎪

⎨

⎪⎩ Xét tính liên tục của hàm số trên toàn trục số từ đó tính tích

phân

3

2

f(x)dx

−∫

3 Cho hàm số

sinx khi x

2 f(x) =

ax + b khi x >

2

π

⎪⎪

⎪

⎪⎩

Xét định a; b để hàm số trên toàn trục số từ đó tính tích phân

2

3

0

f(x)dx

π

∫

4 Tìm các hằng số a; b để

1

0

f(x) = a.sin x + b thỏa mãn f(1) = 2 và f(x)dx = 4π ∫

5 Tìm các hằng số a; b để

1 2

a b f(x) = + + 2 thỏa mãn f'(x) = - 4 và f(x)dx = 2 - 3ln2

6 Cho f(x) liên tục trên R và thỏa mãn :

3 2

3

- 2

f(x) + f(- x) = 2 - 2cos2x , x R Tính tích phân I = f(x)dx

HD: Đặt x = - t

π π

7 Cho hai hàm số f(x) = 3x - x - 4x +1 và g(x) = 2x + x - 3x - 1 3 2 3 2

2

- 1

a Giải bất phương trình f(x) g(x) b Tính tích phân T = f(x) - g(x)dx≥ ∫

8 Cho hai hàm số f (x) = 4cosx + 3sinx và g(x) = cosx + 2sinx

4

0

g(x)

a Tìm A, B để g(x) = Af(x) + Bf'(x) b Tính tích phân T = dx

f(x)

π

∫

9 Tìm a, b để cosx = a cosx + sinx + b cosx - sinx( ) ( ) Từ đó tính tích phân 4

0

1

I = dx

1 + tgx

π

∫

10 Cho hàm số f(x) = sinx

sinx + cosx

3

cosx - sinx

a Tìm A, B để f(x) = A + B b Tính tích phân T = f(x)dx

cosx + sinx

π

Trang 5

11 Cho hàm số

sin2x f(x) =

2 + sinx

0 2

- 2

A.cosx B.cosx

a Tìm A, B để f(x) = + b Tính tích phân T = f(x)dx

2 + sinx

12 Cho hàm số f(x) = sin 2x.cos 4x 2

2 x

- 2

f(x)

a Tìm họ nguyên hàm của f(x) b Tính tích phân T = dx

e + 1

π π

∫

13 Tìm a, b để

2b

a

f(x) = a.sin2x - bcos2x thỏa mãn f' = - 2 và adx = 1

2

π

⎛ ⎞

⎜ ⎟

14 Tìm a, b để

2

0

f(x) = a.sin2x + b thỏa mãn f'(0) = 4 và f(x)dx = 3∫π

BÀI TẬP 9 : Tính tích phân bằng phương pháp đặc biệt :

x = a sin t ; - t hoặc x = a cos t ; 0 t

2

2 1

2

- 1

3

2

3 2 1

K = 1 - x dx

L = 4 - x dx

1

4 - x

∫

3 2

3 2 0

1 3

3 2 0

1

1 - x 1

1 - x

∫

1

0

2

0

4

0

F = x 1 - xdx

cos x

7 + cos2x cos x + sinx

3 + sin2x

π π

∫

BÀI TẬP 10 : Tính tích phân bằng phương pháp đặc biệt :

x = ; - t và t 0 hoặc x = ; 0 t và t

4

3 x - 4 2

2

1

x x - 1

x - 1

x

∫

Trang 6

( )( )

2

1

3

2

0

3

2 1

1

0

9 + 3x

x

J = 3 + x dx

K = x 1 + x dx

1

x + 1 x + 2

∫

1

0 2

2 2 3

x

x + x + 1 1

x x - 1

∫

1

0

1

x + x + 1

∫

6 + 10 2

0

0 1

0

1 + x

x - 1

x + 1

x + 1 3

x + 1

∫

BÀI TẬP 12 : Tính tích phân bằng phương pháp đặc biệt : x = acos2t hoặc x = acost

0

- a

0

- 2

a + x

a - x

2 + x

2 - x

∫

1

5 0

1 - x

1 + x

- 1

1 + x

K = dx

1 - x

∫

B ÀI TẬP 13 : Tính tích phân bằng phương pháp đặc biệt : x = a + b - a sin t; 0 t ( ) 2

2

π

a + b

2

3a + b

4

I = ∫ x - a b - x dx; 0 < a < b ( )

3

3 2 2

1

- 4 + 5x - x

2

J = ∫ x - 1 5 - x dx

B ÀI TẬP 14 : Tính tích phân bằng phương pháp đặc biệt: Đặt t = x + a + x + b hoặc t = - x - a + - x - b

2

1

0

3

2

- 5

1

(x + 1)(x + 2)

1

(x + 1)(x + 2)

−

∫

1

0

1

x + 1 x + 8

3

K = ∫ x - 1 9 - x dx

B ÀI TẬP 15 : Tính tích phân bằng phương pháp đặc biệt: đặt t = tg x

2

3

1

2

2sinx - cosx + 1

π

0

1

sinx + cosx + 1

π

∫

Trang 7

B ÀI TẬP 16: Tính tích phân bằng phương pháp đặc biệt: ∫a

- a

f(x)dx đặt x = - t

1

2006

1

2

3

2

x

I = x sin xdx

I = cos nx.cos mxdx

I = sin nx.sin mxdx

sin x

2 + 1

−

π

− π

π

− π

π

− π

∫

1

2 1 2

2

- 2

cos x

e + 1

1 - x

1 + 2 x

x + 1

I = ln x + x + 1 dx

−

∫

2

1 1

3 1

x + cosx

4 - sin x

x + sinx

x + 1

M = (e sin x + e x )dx

π

−

∫

B ÀI TẬP 17 : Tính tích phân bằng phương pháp đặc biệt: 2

0

f(x)dx đặt x = - t

2

π

∫

2

I = cos nx.cos mxdxπ

1 0

I = cos x cos 2xdx

π

∫

B ÀI TẬP 18 : Tính tích phân bằng phương pháp đặc biệt

f(x)dx đặt x = - t ; f(x)dx đặt x = 2 - t xf(x)dx đặt x = a + b - x

2 1

0

I = x.sin x.cos xdx∫π 1 2 ( )

0

H = sin sin x + nx dx∫π 2 3

1 0

K = x cos xdx∫π

B ÀI TẬP 19:Tích Phân từng phần

2

1

0

2

0

Q = x.cos xdx

Q = x sinxdx

π

∫

2 2 1

0

2 2 2

0

T = x + 1 sin xdx

T = x.sin xdx

π π

∫

3 1 0

3

I = x.sinxdx

x

I = dx cos x

π π π

∫

Trang 8

0

2

5

0

x.cos x

1 + sin x

cosx

7 + cos2x

Đặt t = sinx hoặc sinx = 2sint

π

∫

3

0

4 5 0

2 6 0

x + sinx

cos x

x + sinx

1 + cosx

T = cos x.ln(cos x + 1)dx

π π π

∫

2

2 4

0

4

2 5

0

6 0

I = 2x - 1 cos xdx

I = x.(2 cos x - 1)dx

I = x.cos x.sin xdx

π π π

∫

ln2

x

1

0

1

2

0

1

3

0

e

2

4

1

N = x.e dx

N = x e dx

N = x + 1 e dx

N = x.ln xdx

−

∫

e

2 1

1 1

2 2

0 e

2 3

1 e 3 4

1

I = x ln x dx

I = x.ln(x + 1)dx

I = 1 - ln x dx

I = ln xdx

∫

e

1 e 2

1 2

1

2 3

2 1

ln x

x + 1

ln x

x

ln x + 1

x x.ln x + x + 1

x + 1

∫

B ÀI TẬP 20:Tích phân từng phần dạng kết hợp

2

2x

1

0

2

0

G = e sin 3xdx

G = e sin xdx

π

∫

2 -x 1

0 e 2 0

E = e cos 3xdx

E = cos(ln x)dx

π

∫

( )

2

e

2e

2 -x 0

0

1

2 lnx

E = e sin 3xdx

H = e sin x dx

π π

π

∫

B ÀI TẬP 21 : Bài tập đổi biến – từng phần

2

3

1

0

3

2

0

I = sin xdx

π

∫

2

1 0

3 2

3

K = e sin x.cos xdx

sin x - sinx

sin x

π π π

∫

3

2 3 0

I = sin xdx

π

⎛ ⎞

⎝ ⎠

∫

1 9 x

0

sin 2x + 1 4x - 1

∫

B ÀI TẬP 22 :Tích phân từng phần dạng khó

Trang 9

2

-

2

x sin x

F = dx

1 + 2

π

∫

1 1

ln 1 + ln x

x

1 0

H = ln 1 + tgx dx

π

∫

B ÀI TẬP 23: Giải phương trình:

x

2

0

x

3

2

0

x

4

0

x

2

0

1 dt = 0

1 - t

1 dt = tgx

1 - t

3

4 sin t - dt = 0

2

cos t - x dt = sinx

∫

2

x

1 e x

0 x

t - 1

7 0

1 + lnt dt = 0 t

1

2 ln 2 - 2t + 2 dt = 2 +

2

7 ln 7dt = 6log 6x - 5 ; x 1≥

∫

x t

0 x

0

e - 1dt = 0

e + e dt = 1

∫

2

3 2

t dt = 6 - 2x 1 + 2 1 - x

1 - t 1 + 1 - t

∫

B ÀI TẬP 25: Giải và biện luận phương trình:

2

x

2 2

m + 1 t - 2m t + 1

a = 0 b 3 t dt = 3 3x - 2 + 1

t + 2t t - 2mt - 2m

dt

c x + 1 + m x - 1 = m + 1 + 1 d x

-t - 1

−

0

t - 1

1 = dt

t - 2t + m

∫

B ÀI TẬP 26: Giải các bất phương trình

( )

3 4

e

0

a ln3 3 dt x - 4x + 3 b <

t

2 t 5t - 16t + 20

c dt 0

t - 4 t - 5t + 4

≤

∫

2 2

x

0

d + cost - sint dt + 1

B ÀI TẬP 27:

[ ]

Trang 10

Index of /

Name Last modified Size Description

Apache/1.3.34 Server at www.toanthpt.net Port 80

Định dạng
Số trang	10
Dung lượng	137,71 KB